CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES

(1)

1

CALCUL DIFFERENTIEL

EXERCICES

EXERCICE 1 :

On considère la fonction f définie sur ²par

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 2

6 4 si , 0,0

,

0 si , 0,0

x y x y

f x y x y

x y

 

= +

 =

 1) Montrer que pour tous réels positifsuetv, 2 uv +u v

2) En déduire que la fonction f est continue sur ²

3) Montrer que la fonction f admet des dérivées partielles d’ordre 1 en tout point de ² EXERCICE 2 :

Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions f suivantes : 1) f x y, x² xy 2y²; 2)^{f x y}

( )

^, ⁼^sin²^x⁺^sin²^y^;³⁾ ^{f x y}

( )

^, ^{ln 1} ^x

y

 

=  + 

 ; 4) ^{f x y}

( )

^, ⁼^e^x²⁺^y²

EXERCICE 3 :

Soit f: → continue sur

Pour tout entier natureln, on définit la fonction

( ) ( ) ( )

2

0

:

, !

n y n

G x t

x y f t dt

n

 →

 −





1) Montrer que la fonctionG_nest continue sur ² 2) Montrer que la fonctionG_nest de classe C¹sur ² EXERCICE 4 :

Soit la fonction f de ² dans définie par : x y, ²,f x y, e²^x ^y Soit A 1, 2 et ¹ , ¹

2 2

u

1) Vérifier que u est un vecteur unitaire de ²

2) Déterminer la dérivée de la fonction f dans la direction u au pointA EXERCICE 5 :

Calculer les dérivées partielles d’ordre1 et d’ordre 2 des fonctions f suivantes : 1) ^{f x y}

( )

^, ⁼^x² ^y ²⁾ ^{f x y}

( )

^, ⁼^ln

(

^x⁺ ^x²⁺^y²

)

³⁾ ^{f x y}

^{( ) (}

^, ⁼ ^x⁺^y

⁾

^y

4) ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

⁼^e^x²^{+ +}^y² ^z² ⁵⁾ ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

⁼^xy⁺^yz⁺^zx

EXERCICE 6 :

1) Déterminer le développement limité d’ordre 2 de la fonction ^f ^:

( )

^{x y}^, ^ln

(

^e^x⁺^e^y

)

^au

pointO=(0,0)

2) Déterminer le développement limité d’ordre 2 de la fonction f :

( )

x y, sin(x+2 )y au pointO=(0,0)

3) Déterminer le développement limité d’ordre 2 de la fonction ^f ^:

( )

^{x y}^, ^e^x²^cos^y^au

pointA=(1,0)

(2)

2 EXERCICE 7 :

Soit la fonction f définie sur ²par ^{f x y}

( )

^, ⁼^x²⁺^y²⁻^xy.Déterminer les extrema locaux de f et préciser leur nature. Les éventuels extrema sont-ils globaux ?

EXERCICE 8 :

( )

^, ^{= −}²

(

^x⁻^y

)

²⁺^x⁴⁺^y⁴^.

Montrer que f admet 3 points critiques : l’origine O et deux points A, B tels que A ait une abscisse positive.

Montrer que f admet en A un minimum relatif ; montrer que f n’admet pas d’extremum relatif en O.

EXERCICE 9 :

Soit f la fonction définie sur ²par :

( )

^{x y}^, ^{f x y}

( ) (

^, ^{= −}^x ^{y e}

)

^{x y}⁻

1) Justifier que f est une fonction de classe C² sur ²

2) Montrer qu’il existe une infinité de points vérifiant les conditions nécessaires d’un extremum.

3) A l’aide des variations de la fonctiont te^t, montrer qu’en ces points la fonction f admet un minimum.

EXERCICE 10 : (EDHEC E 2005)

Soit f la fonction définie sur ²par : (x, y) ², f (x, y) = x e^{x y}⁽ ²⁺¹⁾. 1) Justifier que f est de classe C² sur ².

2) a) Déterminer les dérivées partielles premières de f.

b) En déduire que le seul point en lequel f est susceptible de présenter un extremum local est A = (–1, 0).

3) a) Déterminer les dérivées partielles secondes de f.

b) Montrer qu’effectivement, f présente un extremum local en A. En préciser la nature et la valeur.

4) a) Montrer que : (x, y) ², f (x, y)  x e ^x.

b) En étudiant la fonction g définie sur Par g(x) = x e ^x, conclure que l’extremum trouvé à la question 2b) est un extremum global de f sur ².

EXERCICE 11 : Soit

( )

3

: , ,

f x y z xy yz zx xyz

 →

 + + −



1) Déterminer les points critiques de la fonction f sur ³ 2) Montrer que la fonction n’admet pas d’extremum sur ³ EXERCICE 12 :

Soit

( )

3

2 2 2

:

, , 2

f

x y z x y z xyz

 →



+ + −



3) Déterminer les points critiques de la fonction f sur ³ 4) Montrer que la fonction n’admet pas d’extremum sur ³

(3)

3 EXERCICE 13 :

Soit

( )

3

2 3 2

: , , 2 2 3 4 1

f x y z x y z x y z

 →



− + − + + +



1) Déterminer les points critiques de la fonction f sur ³ 2) Etudier si la fonction présente un extremum en ces points EXERCICE 14 :

Soit

( ) ( )

3

2 2 2

: , , ln 1

f x y z x y z

 →

 + +



1) Déterminer les points critiques de la fonction f sur ³ 2) Etudier si la fonction présente un extremum en ces points EXERCICE 15 :

Soit ^D⁼

 ( )

^{x y}^, ^ ²^{/ 1}^{−   }^x ^y ¹



^et ^f la fonction définie sur D par ^{f x y}

(

^,

) (

⁼ ^y⁻^x

)

²⁺⁶^xy^.

1) La fonction f admet-elle des extrema sur D?

2) Déterminer les points critiques de f sur D.Déterminer les extrema de f sur D EXERCICE 16 :

Soient ^A⁼

( )

^{0,1 ;}^B^{= −}

(

^{1,1 ;}

)

^C^{= − −}

(

^{1, 1 ;}

)

^D⁼

(

^{0, 1}⁻

)

quatre points du plan muni d’un repère orthonormé

(

^{O i j}^{, ,}

)

^.

( )

^, ^{= −}²^x³^{− −}^x² ^y²⁺⁵^.

1) Montrer que la restriction de f au rectangle ABCD, notée g, est bornée.

2) Déterminer le maximum et le minimum de g sur le rectangle ABCD.

EXERCICE 17 :

( )

^, ⁼

(

¹⁺^x^x²

)(

⁺¹^y⁺^y²

)

1) On pose^F⁼

   

^0,1^ ^0,1 , justifier que la fonction f est bornée surFet y atteint son maximum. On pose alors

( )

max, ,

x y F

M f x y

= 

2) Montrer que si le maximum est atteint en un point de l’ouvert ^{ =}

   

^0,1^ ^0,1 ^alors

3 3 M = 8

3) Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de Fet le comparer à 3 3 8 .Déterminer M

(4)

4 EXERCICE 18 :

Soientnun entier naturel supérieur ou égal à 2, ^F ⁼

 (

^x¹^,...^xⁿ

)

^ ⁿ^,^x¹²^{+ +}^... ^xⁿ²^¹



et la fonction

(

1

) ( )

² ²

1 1

: ,...,

n n

n k k

k k

f X x x F f X x x

= =

 

=  =  −









1) Montrer que la fonction f admet un minimum met un maximumM 2) Montrer que metMne sont pas atteints en un point de

( )



¹^,... ⁿ ⁿ^, ¹² ^... ⁿ² ¹



E= x x  x + +x  3) Montrer quem= −1

4) Utiliser l’inégalité de Cauchy Schwarz pour prouver que M= −n 1 EXERCICE 19 :

EXERCICE 20 : EDHEC 2014

(5)

5 EXERCICE 21 : EDHEC 2010

EXERCICE 22 : EDHEC 2005

(6)

(7)

7 EXERCICE 24 :

Etudier les extrema de la fonction ^f ^:

(

^{x y z}^{, ,}

)

⁻³^x²⁻³^y²⁺²^z²⁺²^xy sous la contrainte

2 2 2

1 x +y +z = EXERCICE 25 :

EXERCICE 26 :

Déterminer les extrema éventuels de la fonction

( )

3

2 2 2

: , , f

x y z x y z

 →



+ +

 sous la contrainte

3 x+ + =y z

EXERCICE 27 :

( )

3

:

, , ^x ^y ^z

f

x y z e e e

 →



+ +

 sous la contrainte

0 x+ + =y z

EXERCICE 28 :

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2 Déterminer les extrema éventuels de la fonction

(

1

)

²

1

: ,...,

n n

n k

k

f x x x

=

 →







sous la contrainte

1

n k k

x

=



=

EXERCICE 29 :

Soit

( )

3

: 2

, , 2

f

x y z x xy yz y z

 →



− + + −



Déterminer les points critiques et les extrema éventuels sous la contrainte ² ¹ 1 x y x z

 − =

 + =



EXERCICE 30 :

( )

4

2 2 2 2

: , , f

x y z x y z t

 →



+ + +

 sous la

contrainte ²

0 x y

z t

 + =

 + =



(8)

8 EXERCICE 31 : ECRICOME 2017

(9)

EXERCICE 33 : ORAL ESCP 2019

(10)

10 EXERCICE 34 : ORAL ESCP 2019

EXERCICE 35 : ORAL ESCP 2018

(11)

11 EXERCICE 36 : ORAL ESCP 2018

EXERCICE 37 : ORAL HEC 2018

(12)

12