L’unité d’aire, notée . . . , est l’aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0; 1),

I INTÉGRALE ET AIRE:VIDÉO1 1 UNITÉ D’AIRE

Soit ³ O; ~ i , ~ j ´

un repère orthogonal du plan.

L’unité d’aire, notée . . . , est l’aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0; 1),

J(0; 1) et K(1; 1).

x

y

~ i

~ j

I

J K

u.a.

2 INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE DÉFINITION

Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a ;b] et C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal ³

O; ~ i , ~ j ´ .

L’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine D

compris entre la courbe C

, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b

Ce nombre est noté : . . . .

0

x

y

~ i

~ j

I

J K

a b

C

1 u.a

REMARQUES

— Z

a

f (x) dx se lit « . . . de f (x) dx » ou encore « somme de a à b de f (x) dx ».

— Les réels a et b sont appelés . . . de l’intégrale Z

a

f (x) dx.

— La variable x est dite . . . , elle n’intervient pas dans le résultat. C’est à dire qu’on peut la remplacer par n’importe quelle autre variable distincte des lettres a et b :

Z

f (x) dx = Z

a

f (t ) dt = Z

a

f (u) du

— Z

a

f (x) dx = . . . . , car le domaine D

est alors réduit à un segment.

EXEMPLES: (vidéo 2) Calculons

Z4

−1(−0,4x+3,6) dx.

La fonction affine f définie pour tout réel x par f(x) = −0,4x+3,6 est . . . sur l’intervalle [−1; 4]

L’intégrale Z4

−1(−0,4x+3,6) dxest égale à . . .. . . ..

Z₄

−1(−0,4x+3,6) dx = (AD+BC)×AB 2

= (4+2)×5 2

= . . . ^{-1 1 2 3 4}

1 2 3 4

O x

y

A B

C D

C_f

3 INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE ET NÉGATIVE: (VIDÉO3)

Sif est une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] alors, la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [a;b] par . . . est une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire du domaineD_f compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=best égale à l’aire du domaineD_g compris entre la courbeC_g, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.

0 x

y

~i

~j

I

J K

a b

C_f C_g 1 u.a

DÉFINITION

Soitf une fonction définie, continue et négative sur un intervalle [a;b] etC_f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³

O;~i,~j´ .

L’intégrale de la fonctionf entreaetbest égale à l’opposé de l’aireA, exprimée en unités d’aire, du domaineD_f compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b:

Zb a

f(x) dx= −. . . .

4 FONCTION DÉFINIE PAR UNE INTÉGRALE: (VIDÉO4)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. On peut définir une nouvelle fonctionF qui à tout réelx de l’intervalle [a;b], associe l’intégrale def entreaetx:F(x)=

Zx a

f(t) dt

THÉORÈME (admis)

Soitf une fonction continue sur un intervalle [a;b].

La fonctionFdéfinie sur [a;b] parF(x)= Z....

.... f(t) dtest dérivable sur [a;b] et a pour dérivéef.

EXEMPLE

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [−1; 4] parf(x)=x+1.

Sixest un réel de l’intervalle [0; 4], la fonctionFdéfinie par F(x)=

Zx

0 f(t) dtest égale à . . . . On rappelle ( ! !) :

A_{t r apèze}=(pet i t e base+g r ande base)×haut eur 2

On a doncF(x)=((x+1)+1)×x

2 = x²+2x

2 La fonctionF est dérivable sur [0; 4] etF^′(x)=

µx²+2x 2

¶^′

=. . . .=. . . .

1 2 3

-1 1 2 3

O x

Cf

II PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE: (VIDÉO5) 1 DÉFINITION

Soitf une fonction définie sur un intervalleI.

Une . . . def surIest une fonctionFdérivable surIet telle que pour tout réelxdeI,F^′(x)=. . . .

EXEMPLE

f est la fonction définie surR_parf(x)=5−3x La fonctionFdéfinie surR_parF(x)= −3

2x²+5xest une . . . def surR_. La fonctionGdéfinie surR_parG(x)= −3

2x²+5x−2 est aussi une . . . def surR_. De façon générale, toute fonctionGdéfinie surR_parG(x)= −3

2x²+5x+. . . . , où . . . . est un réel, est une primitive def surR_.

2 ENSEMBLE DES PRIMITIVES D’UNE FONCTION

PROPRIÉTÉ (admise)

Toute fonctionf continue sur un intervalleIadmet . . . surI.

THÉORÈME

SiFest une primitive def sur un intervalleI, alors les primitives def surIsont les fonctionsGdéfinies pour tout réelxdeIparG(x)=F(x)+. . . . où . . . . est un réel.

3 PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalleI. Soitx0un réel de l’intervalle I ety0 un réel quelconque.

Il existe une . . .. . . .Fdef surItelle queF(x0)=y0.

EXEMPLE

f est la fonction définie surR_parf(x)=5−3x.

Déterminer la primitiveFdef vérifiant . . . .

On a montré que les primitives def étaient sous la forme :F(x)= −3

2x²+5x+c On veut que . . . donc−3

2×4+10+c=0⇐⇒ . . . . D’où :F(x)= −3

2x²+5x. . . . . III CALCUL DE PRIMITIVES

1 PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES(VIDÉO6)

f est définie surIpar . . . Une primitiveFest donnée par . . . Validité

f(x)=a(aest un réel) F(x)=. . . surR

f(x)=x F(x)=. . . .

. . . .x² surR

f(x)=xⁿ(nest un entier naturel) F(x)= xⁿ⁺¹

. . . surR

f(x)=1

x F(x)=ln(. . . . ) sur ]0;+∞[

f(x)=e^x F(x)=e^.... surR

2 LINÉARITÉ(VIDÉO7)

— SiFetGsont des primitives respectives des fonctionsf etgsur un intervalleI, alors . . . est une primitive de . . . surI.

— SiFest une primitive de la fonctionf sur un intervalleIetαun réel, alorsα. . . . est une primitive deα. . . sur I.

EXEMPLE

Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ parf(x)=x²−3 x.

La fonctionudéfinie paru(x)=x²admet comme primitive la fonctionUdéfinie parU(x)= x³ . . . .. Sur l’intervalle ]0;+∞[ la fonctionx7→1

x admet pour primitive la fonctionx7→lnx. Donc sur l’intervalle ]0;+∞[ la fonctionvdéfinie parv(x)= −. . . .

x admet comme primitive la fonctionV définie parV(x)=. . . lnx.

Donc la fonctionf =u+vadmet comme primitive la fonctionF=U+V définie parF(x)= x³

. . . . −. . . . lnx.

3 PRIMITIVES DES FORMES USUELLES(VIDÉO8)

Soituune fonction dérivable sur un intervalleIetu^′sa dérivée.

Fonctionf Une primitiveFest donnée par. . .

f =u^′u F= 1

. . . .u²

f =u^′uⁿ nentier,n>0 F= uⁿ⁺¹

. . . .

f =. . . . .e^.... F=e^u

f =. . . . .

u² une s’annule pas surI F= −. . . .

. . . .

EXEMPLE(vidéo 9)

Déterminer la primitiveFde la fonctionf définie surR_parf(x)=xe^1−x2telle queF(1)=0.

Soitula fonction définie pour tout réelxparu(x)=1−x²alorsu^′(x)=. . . . On a :f(x)= −1

2×(. . . )×e^1−x2soitf = −1

2×. . . . .e^u.

Une primitive def surRest la fonctionFdéfinie pour tout réelx, parF(x)= −1

2e^1−x2+coùcest un réel à déterminer.

OrF(1)=0⇐⇒ −1 2

+. . . .=0⇐⇒ . . . .=1 2.

Ainsi, la primitive de la fonctionf est la fonction définie surR_{par :F(x)}= − 1

. . . .e^1−x2+ 1 . . . .. IV INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE

1 DÉFINITION(VIDÉO10)

Soitf une fonction continue sur un intervalle [a;b] etFune primitive de la fonctionf sur [a;b].

L’intégrale def entreaetbest le nombre réel égal àF(b)−F(a) : Zb

a f(x) dx=F(. . . . )−F(. . . . )

REMARQUES

— La différenceF(b)−F(a) se noteh F(x)ib

a; ainsi Zb

a

f(x) dx= h

F(x)ib a

=. . . .

— Le choix de la primitiveFn’influe pas sur la valeur de l’intégrale.

En effet, siGest une autre primitive def surI, il existe un réelktel queG(x)=F(x)+. . . . d’où G(b)−G(a)=(F(b)+. . . . )−(F(a)+k)=. . . )

— Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] alors l’intégrale Zb

a

f(x) dx =F(b)−F(a) est . . . , exprimée en unité d’aire, du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=aetx=b.

EXEMPLE

Z_e

1

µ x−1

x+ e x²

¶ dx=

·x²

. . . .−ln(. . . . )−e x

¸^e

....

= µ e²

. . . .−ln(e)−e e

¶

− µ 1²

. . . .−ln(. . . . )−e 1

¶

=e²

2 +e−. . . . . . . . 2 UTILISATION DE LA CALCULATRICE(VIDÉO11)

Calculer une valeur approchée de : Z1

0.5

e^−x2dx Méthode :

1. On représente graphiquement la fonction à l’écran, en choisissant bien une fenêtre adaptée aux bornes de l’intégrale.

2. On appuie sur . . . ., touche . . . . .

3. On sélectionne le . . . , touche . . . pour élargir le menu.

4. On choisis la touche ". . . ", . . . . .

5. On commence par entrer la borne inférieure, ". . . .".

6. Puis la borne supérieure, ". . . .".

La calculatrice affiche :

Z1

0.5e^−x2dx≈. . . . 3 PREMIÈRES PROPRIÉTÉS(VIDÉO12)

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR. Pour tout réelaappartenant àI. Z....

.... f(x) dx=. . . . Preuve :

SoitFune primitive def surI.

Za a

f(x) dx=. . . .=. . . .

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR_,aetbdeux réels appartenant àI.

Zb a

f(x) dx=. . . Z....

.... f(x) dx Preuve :

SoitFune primitive def surI.

Z_b

a f(x) dx=. . . et Z_a

b f(x) dx=. . . .

V PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE

1 POSITIVITÉ(VIDÉO13)

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels appartenant àI. SiaÉbetf Ê. . . . sur l’intervalle [a;b], alors

Zb a

f(x) dxÊ. . . . . Attention la réciproque est fausse :

Soitf la fonction définie surR_parf(x)= −x²+3x+1 Z3

−2

¡−x²+3x+1¢ dx=

·

−x³ 3 +3

2x²+x

¸³

−2

= µ

−9+27 2 +3

¶

− µ8

3+6−2

¶

=. . . . . . . . Ainsi

Z3

−2f(x) dxÊ0 maisf(−1)=. . . .

On démontre de manière analogue la propriété suivante :

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels appartenant àI. SiaÉbetf É. . . . sur l’intervalle [a;b], alors

Z_b

a f(x) dxÉ. . . . . 2 LINÉARITÉ(VIDÉO14)

Soitf etgdeux fonctions continues sur un intervalleIdeR. Pour tous réelsaetbappartenant àI, et pour tout réelα

Z_b

a

¡f(x)+g(x)¢ dx=

Z_b

a . . . dx+ Z_b

a . . . dx et Z_b

a α. . . dx=α Z_b

a . . . dx 3 RELATION DECHASLES

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR. Pour tous réelsa,betcappartenant àI Z_b

a f(x) dx= Z_....

.... f(x) dx+ Z_....

.... f(x) dx

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:

Dans le cas oùf est une fonction continue et positive sur [a;b].

L’aire du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=best égale à . . . . du domaine compris entre la courbe C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=aetx=c et du domaine compris entre la

courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=cetx=b. ⁰ x

y

~i

~j

a c b

C_f 1 u.a

4 ORDRE(VIDÉO15)

Soientf etgdeux fonctions continues sur un intervalleI,aetbdeux réels appartenant àItels queaÉb.

Si pour tout réelxappartenant à [a;b],f(x)É. . . ., alors Z_b

a f(x) dxÉ Z_b

a . . . dx

❊ DÉMONSTRATION

Si pour tout réel xappartenant à [a;b], f(x)É. . . ., alors f(x)−. . . É0. Comme f etg sont deux fonctions continues sur [a;b], la fonctionf −gest continue sur [a;b].

Par conséquent, siaÉbet . . . É0 alors Zb

a (f−g)(x) dxÉ. . . . ⇐⇒

Zb

a f(x) dx− Zb

a g(x) dxÉ. . . .

Attention la réciproque est fausse :

Considérons les fonctionsf etgdéfinies surR_parf(x)=4−x²etg(x)=x²+x−2.

Ainsi, Z3

−4

f(x) dxÉ Z3

−4

g(x) dx

mais nous ne pouvons pas conclure que sur l’intervalle [−4; 3], . . . É. . . comme on peut le constater sur le graphique ci- contre.

1 2 3 4

-1 -2 -3 -4

-4 -8 -12 4 8 12

0 x

y

C_f C_g

VI INTÉGRALE ET MOYENNE

1 INÉGALITÉS DE LA MOYENNE(VIDÉO16)

Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] deR_(a<b). SoitmetMdeux réels.

Si pour tout réelxappartenant à l’intervalle [a;b], . . . . .Éf(x)É. . . , alors : . . . . .×(b−a)É

Zb a

f(x) dxÉ. . . . .×(b−a)

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:

Dans le cas oùf est une fonction continue et positive sur [a;b]

L’aire du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=aetx=best comprise entre les aires des rectanglesR1etR2:

R1de côtésmetb−a;

R2de côtésMetb−a. ~i

~j

0 x

y

a b

C_f

m M

R₁ R₂

2 VALEUR MOYENNE

Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] deR_(a<b).

On appelle valeur moyenne def sur [a;b] le réelµ= . . . . . . . .

Zb a f(x) dx

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:

Dans le cas oùf est une fonction continue et positive sur [a;b]

L’aire du domaine compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=aetx=best égale à l’aire du rectangle de côtésµetb−a.

×

~i

~j

0 x

y

a b

C_f µ