Universit´e Paris-Dauphine M´ethodes num´eriques
D´epartement MIDO Ann´ee/
DE MI2E deuxi`eme ann´ee
Examen du 23 Mai 2017
Les documents de cours, calculatrices, t´el´ephones et ordinateurs sont interdits.
Il sera tenu compte de la pr´esentation de la copie et de la r´edaction dans l’´evaluation.
Dur´ee : 2 heures.
Exercice 1: D´ecomposition LU.
Soit α∈Ret l’on consid`ere
A=
4 1 −3
4 −1 −1
12 3−2α 3α−10
, b=
5
−1 14−5α
.
Questions :
1. Calculer la d´ecompositionLU de A en explicitant les matricesLetU en fonction de α.
2. Calculer le d´eterminant de A. Pour quelles valeurs de α le syst`eme Ax = b admet-il une unique solution ?
3. R´esoudre le syst`eme Ax=b pour ces valeurs en utilisant la d´ecomposition LU. Exercice 2: Calcul approch´e de π.
On cherche une approximation deπ comme z´ero de la fonction f :x7→cos(x/2).
1. ´Ecrire l’algorithme de Newton correspondant. Quel est son ordre ?
2. Une variante `a l’algorithme de Newton pour approcher le z´ero d’une fonctionf est le suivant :
xn+1 =xn−f(xn)
g(xn), n≥0 avec g(xn) = f(xn+ff(x(xn))−f(xn)
n) etx0 donn´e,
(a) Quel est l’avantage de cet algorithme par rapport `a celui de l’algorithme de Newton ? (b) Proposer une impl´ementation en langage Python de l’algorithme et o`u les it´erations se
poursuivent tant que |xn+1−xn|> εpour un param`etre ε >0.
Exercice 3: Calcul approch´e d’une racine carr´ee.
On se propose d’utiliser la m´ethode de Newton pour calculer la valeur approch´ee de la racine carr´ee d’un nombre r´eel.
1. Soita >0. Trouver une fonctionf :R→Rdu typef(x) =αx2+βx+γtelle quef(±√ a) = 0.
La fonction f doit ˆetre enti`erement d´etermin´ee `a partir du nombre a puisque c’est la seule donn´ee connue au d´epart du processus.
1
2. Soit x0 > 0. Montrer que l’application de la m´ethode de Newton pour r´esoudre f(x) = 0 permet de construire la suite
xn+1 = 1 2
xn+ a xn
, n≥0.
3. Montrer que la suite est bien d´efinie :xn>0 pour tout nentier.
4. Montrer que l’on a
xn+1−√ a= 1
2xn(xn−√ a)2 et en d´eduire que xn>√
apour toutn≥1 (six0 6=a).
5. On supposex0 6=√
a. Montrer que l’on a alorsxn+1< xnpour tout entiern≥1. En d´eduire que la suite (xn) converge vers une limite x∞. Montrer que x∞=√
a.
6. Dans le cas a = 2 et x0 = 1, calculer x1, x2 et x3. Comparer ces premiers it´er´es avec ceux obtenus par dichotomie. On partira par exemple de l’encadrement 1<√
2<2.
Exercice 4: Noyau de P´eano.
Soit f ∈ Cm+1([a, b]). Nous consid´erons l’approximation de l’int´egrale Rb
af(x) dx par une formule de quadrature d’ordrem de la forme
b−a 2
n
X
j=0
ωjf(xj),
o`u a≤x0<· · ·< xn≤bsont les n+ 1 points de la quadrature et les poidswj satisfont
n
X
j=0
ωj = 2.
On rappelle que le fait que la quadrature soit d’ordre m veut dire que la formule est exacte pour l’int´egration de polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a m. Soit
E(f) :=
Z b a
f(x) dx−b−a 2
n
X
j=0
ωjf(xj)
l’erreur de quadrature. Dans le cours, nous avons prouv´e la borne
|E(f)| ≤C(b−a)m+2kf(m+1)k,
o`u C := 1+
1 2
Pn j=0|ωj|
2m+1(m+1)! et k · k est la norme du sup. Dans cet exercice, on propose de prouver qu’il est possible d’obtenir une meilleure constante C par une analyse plus fine. Pour cela, on introduit pour toutt∈Retm∈Nla fonction
gt,m(x) := (x−t)m+ = (max{x−t,0})m
et on rappelle que le d´eveloppement de Taylor de f `a l’ordremavec reste int´egral autour du point aest
f(x) =pm(x) + 1 m!
Z x a
(x−t)mf(m+1)(t) dt, pm(x) =
m
X
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k.
2
1. En utilisant le d´eveloppement de Taylor pr´ec´edent, montrer que
f(x) =pm(x) + 1 m!
Z b
a
gt,m(x)f(m+1)(t) dt.
2. En d´eduire l’´egalit´e
E(f) = 1 m!
Z b a
Km(t)f(m+1)(t) dt, avec
Km(t) :=
Z b a
gt,m(x) dx− b−a 2
n
X
j=0
ωjgt,m(xj).
La fonctionKm est appel´eenoyau de Peano de la m´ethode de quadrature.
3. En d´eduire que
|E(f)| ≤ 1 m!
Z b a
|Km(t)|dt
kf(m+1)k Afin d’´evaluerRb
a|Km(t)|dt, on introduit le changement de variable φ: [−1,1]→[a, b]
y7→φ(y) = b−a
2 y+b+a 2 pour relier Km au noyau de Peanokm pour la quadrature sur [−1,1],
km(t) :=
Z 1
−1
gt,m(y) dy−
n
X
j=0
ωjgt,m(yj)
o`u les points yj appartiennent `a [−1,1].
4. Montrer que
Km(t) = b−a 2
Z 1
−1
˜
gt,m(y) dy−
n
X
j=0
ωj˜gt,m(yj)
.
avec ˜gt,m:=gt,m◦φ et les pointsyj satisfaisantxj =φ(yj).
5. Montrer que
˜
gφ(t),m(y) =
b−a 2
m
gt,m(y).
6. En d´eduire que
Km(φ(t)) =
b−a 2
m+1
km(t) et
Z b a
|Km(x)|dx=
b−a 2
m+2Z 1
−1
|km(y)|dy.
3
7. En d´eduire une borne pour l’erreur de quadrature. Pr´esenter le r´esultat sous la forme
|E(f)| ≤C(be −a)m+2kf(m+1)k, o`u Ce est une constante que l’on explicitera.
8. Application: Sif(x) =xm+1, montrer que l’erreur de quadrature sur l’intervalle [−1,1] donne exactement
E(f) = (m+ 1) Z 1
−1
km(t) dt et que
Ce= 1
(m+ 1)!2m+2
1 + (−1)m+1 m+ 2 −
n
X
j=0
ωjyjm+1 .
4
