Alg`ebre et Arithm´etique 1 Universit´e de Nice
L2 MATH Ann´ee 2017-2018
Examen du 23 mai 2018
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Exercice 1.(10 points) QCM.Une seule r´eponse parmi les 5 choix possibles (A,B,C,D ou E) est correcte. Il suffit d’indiquer la lettre pour chaque question ; aucun argument/ justification/calcul n’est demand´e.
Bar`eme : r´eponse correcte +1 point, r´eponse fausse : -0,5 point.
1. Parmi les 5 sous-ensembles suivants de ((Z/10Z)∗, .) lequel n’est pas un sous-groupe ? A :{1} B : {1,3} C : {1,3,7,9} D : {11,13,17,19} E : {999,1001}
2. Le th´eor`eme des restes chinois affirme qu’on a un isomorphisme d’anneaux Φ : (Z/1001Z)→(Z/7Z)×(Z/11Z)×(Z/13Z).
L’image Φ(2018) est ´egale `a
A : (3,6,4) B : (2,5,3) C : (1,5,4) D : (2,0,18) E : (20,1,8)
3. On consid`ere l’anneauA=F5[X]/(X2−3X+ 2) et on notex la classe deX dans A. Alors l’´el´ement x+ 4 est
— A : un diviseur de z´ero.
— B : l’unit´e de l’anneau A.
— C : inversible d’inverse x−4.
— D : inversible d’inverse x−2.
— E : une solution de l’´equationy2 = 1 dans A.
4. On consid`ere le polynˆome P(X) = X3 +X + 1 ∈ K[X], o`u K est un corps. Alors P(X) est irr´eductible dans K[X] si K est ´egal `a
A : R B : C C : F2 D : F3 E :F11
5. Le nombre d’´el´ements du corps fini F125 v´erifiant l’´equation x2−1 = 0 est ´egal `a A : 1 B : 2 C : 62 D : 63 E : 124
6. L’ordre de la classe 3 dans le groupe ((Z/19Z)∗, .) est
A : 2 B : 3 C : 6 D : 18 E : 19
7. On consid`ere le corps fini F16 = F2[X]/(X4 +X + 1) et l’homomorphisme de groupes f : F16 →F16 d´efini par f(α) = α·x2 pour tout ´el´ement α ∈F16. Ici x est la classe de X dans F16 et · est la multiplication dansF16. Alors l’ordre de l’image de f est ´egal `a
A : 1 B : 2 C : 8 D : 15 E : 16
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8. On consid`ere le corps fini F49=F7[X]/(X2+ 1). On note x la classe deX dans F49. Alors l’inverse multiplicatif de 2x+ 1 dans F49 est ´egal `a
A : x+ 3 B : x+ 4 C : 2x−3 D : 5x+ 4 E : 5x+ 6 9. Le nombre 21001 + 1 est
— A : premier.
— B : divisible par 5.
— C : divisible par 7.
— D : divisible par 213+ 1.
— E : divisible par 21000+ 1.
10. Soit R[X] l’anneau des polynˆomes en une variable X `a coefficients r´eels. On consid`ere le sous-ensemble, not´e R[X2], des polynˆomes P(X) qui s’´ecrivent P(X) = Q(X2) pour un certain polynˆome Q(X)∈R[X]. Alors
— A : R[X2] est un id´eal de R[X].
— B : R[X2] est un espace vectoriel de dimension 2.
— C : R[X2] est un corps.
— D : (1 +X)2 ∈R[X2].
— E : R[X2] est un sous-anneau de R[X].
Exercice 2. (4 points) D´eterminer toutes les solutions (x, y)∈N2 de l’´equation 11x+ 8y= 89.
Exercice 3. (6 points) Pour n∈N, on d´efinit deux entiers positifs an et bn par la formule (1 +√
3)n =an+√ 3bn. On consid`ere dn=P GCD(an, bn) pour tout n ≥0.
1. Calculerd0, d1, d2 etd3.
2. Exprimer an+1 etbn+1 en fonction de an et bn. 3. Exprimer an+1 etbn+1 en fonction de an−1 etbn−1.
4. En utilisant la formule ´etablie en (3), calculerdn+1 en fonction dedn−1.
5. En d´eduire une formule donnant dn en fonction de n. On distinguera les deux cas corres- pondants `a la parit´e de n.
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