Corrigé de l examen du cours sur les systèmes hyperboliques. Jeudi 8 février 2018

Universit´e Paris-Saclay

M2 Analyse, Mod´elisation et Simulation Ann´ee 2017-2018

Corrig´e de l’examen du cours sur les syst`emes hyperboliques Jeudi 8 f´evrier 2018

Exercice 1.

On consid`ere le syst`eme











∂_tτ−∂_xv= 0, t >0, x∈R,

∂_tu+∂_xπ= 0,

∂tv+^a_b∂xπ= 0,

∂_tπ+ab∂_xv= 0,

(1)

o`u u(x, t) = (τ, u, v, π)(x, t) est le vecteur des inconnues et a > b >0 sont des constantes fix´ees. L’espace des ´etats admissibles est d´efini par

Ω ={u= (τ, u, v, π)∈R, τ >0}.

1) Montrer que le syst`eme est hyperbolique. On notera λ1, λ2 et λ3 les valeurs propres du syst`eme num´erot´ees dans l’ordre croissant.

2) Montrer que les champs caract´eristiques associ´es aux valeurs propres du syst`eme sont tous lin´eairement d´eg´en´er´es.

3) Montrer que trois invariants de Riemann associ´es `a la plus petite des valeurs propres du syst`eme sont donn´es par

I₁¹(u) =π+bv, I₂¹(u) =π+au et I₃¹(u) =π+abτ, avec τ = 1/ρ.

On v´erifiera que les gradients sont lin´eairement ind´ependants.

4) Donner trois invariants de Riemann I₁³(u), I₂³(u) et I₃³(u) associ´es `a la plus grande des valeurs propres et dont les gradients sont lin´eairement ind´ependants.

5) Donner deux invariants de Riemann I₁²(u) et I₂²(u) associ´es `a la valeur propre interm´ediaire et dont les gradients sont lin´eairement ind´ependants.

6) Quelle est la forme de la solution du probl`eme de Riemann associ´ee `a (1) avec la donn´ee initiale

u(x,0) =

u_L si x <0, uR si x >0,

de combien d’´etats interm´ediaires est-elle constitu´ee ?

7) Quel syst`eme faudrait-il r´esoudre pour calculer explicitement cette solu- tion, c’est-`a-dire pour d´eterminer les ´etats interm´ediaires ? (on ne demande pas de r´esoudre le syst`eme correspondant).

Exercice 1, corrig´e succinct.

1) Dans le jeu de variable (τ, u, v, π), la matrice jacobienne de ce syst`eme est donn´ee par

A(u) =









0 0 −1 0

0 0 0 1

0 0 0 ^a_b 0 0 ab 0







 .

Les valeurs propres sont λ₁ =−a < λ₂ = 0< λ₃ =a(rappelons que a >0 etρ > 0). La valeur propre λ2 est double mais son sous-espace propre est de dimension deux. Le syst`eme est donc hyperbolique.

2) Des calculs simples montrent que les vecteurs propres sont donn´es par

r₁ =







 1 b a

−ab









, r_2a=







 1 0 0 0









, r_2b =







 0 1 0 0









, r₃=







 1

−b

−a

−ab









et que les gradients des valeurs propres sont tous nuls de sorte que tous les champs caract´eristiques sont lin´eairement d´eg´en´er´es (∇λ_j.r_j = 0 o`u rj est un vecteur propre associ´e `a la valeur propreλj).

3) La relation d´efinissant les invariants de RiemannI est

∇I.r₁ = 0 ce qui donne ici

∂τI+b∂uI+a∂vI −ab∂πI = 0.

Les invariants

I₁¹(u) =π+bv, I₂¹(u) =π+au et I₃¹(u) =π+abτ, avec τ = 1/ρ v´erifient clairement cette relation et ont des gradients lin´eairement ind´epen- dants.

4) La relation d´efinissant les invariants de RiemannI est

∇I.r₃ = 0

ce qui donne ici

∂_τI−b∂_uI−a∂_vI −ab∂_πI = 0.

Les invariants

I₁¹(u) =π−bv, I₂¹(u) =π−au et I₃¹(u) =π+abτ, avec τ = 1/ρ.

v´erifient clairement cette relation et ont des gradients lin´eairement ind´epen- dants.

5) La relation d´efinissant les invariants de RiemannI est

∇I.r₂ = 0 ce qui donne ici

∂_τI = 0 et ∂_uI = 0.

Les invariants

I₁²(u) =π et I₂²(u) =v

v´erifient clairement cette relation et ont des gradients lin´eairement ind´epen- dants.

6) La solution du probl`eme de Riemann est compos´ee de trois ondes sim- ples de type discontinuit´e de contact dont les vitesses de propagation sont donn´ees par −a, 0 et a. Il y a deux ´etats interm´ediaires.

7) Pour r´esoudre le probl`eme de Riemann associ´e au syst`eme, il suffit de noter que les ondes sont toutes des discontinuit´es de contact. Les invari- ants de Riemann ´etant constants `a la travers´ee de telles discontinuit´es, si on noteu<sup>∗</sup><sub>L</sub> etu<sup>∗</sup><sub>R</sub> les ´etats interm´ediaires, on a alors un syst`eme lin´eaire de 8 ´equations `a 8 inconnues pour trouver les ´etats u^∗_L et u^∗_R, les 8 ´equations

´etant donn´ees par la continuit´e des invariants de Riemann `a la travers´ee des discontinuit´es correspondantes. Plus pr´ecis´ement, ce syst`eme est donn´e par les relations



























π_L+au_L=π_L^∗ +au^∗_L, π_L+bv_L=π_L^∗ +vv_L^∗, πL+abτL=π_L^∗ +abτ_L^∗, π_L^∗ =π^∗_R,

v^∗_L=v_R^∗,

π_R^∗ −au^∗_R=πR−auR, π_R^∗ −bv^∗_R=π_R−bv_R, π_R^∗ +abτ_R^∗ =π_R+abτ_R. Exercice 2.

On consid`ere le syst`eme

∂_tρ+∂_x(ρu) = 0, t >0, x∈R,

∂_t(ρu) +∂_x(ρu²+ρ) = 0, (2) o`u v(x, t) = (ρ, ρu)(x, t) est le vecteur des inconnues. L’espace des ´etats admissibles est d´efini par Ω ={v = (ρ, ρu)∈R, ρ >0}.

Les trois parties sont ind´ependantes.

Partie 1. Etude du syst`eme.

1) D´eterminer la matrice jacobienne de ce syst`eme.

2) Montrer qu’elle admet deux valeurs propres r´eelles λ1 et λ2, telles que λ₁ < λ₂, que l’on d´eterminera.

3) Que peut-t-on dire sur la nature du syst`eme ? Partie 2. Solveur de Rusanov.

4) Donner la forme d’un solveur de Riemann approch´e de type Rusanov pour ce syst`eme.

5) D´eterminer les valeurs de ρ et de (ρu) de l’´etat interm´ediaire associ´e, en fonction de la vitesse de propagation des ondes du solveur approch´e.

6) Comment sugg´erez-vous d’´evaluer simplement cette vitesse de propaga- tion dans un programme informatique ?

7) Donner l’expression du flux num´erique associ´e `a la m´ethode de Rusanov.

Partie 3. Solveur de Roe.

On rappelle que la m´ethode de Roe est bas´ee sur la construction d’une matriceA(vL, vR), avec les propri´et´es suivantes

(i) A(vL, vR) est diagonalisable;

(ii) A(v, v) =∇F(v);

(iii) F(v_R)−F(v_L) =A(v_L, v_R)(v_R−v_L);

o`u on a pos´e F(v) = (ρu, ρu²+ρ)^t.

8) Montrer que pour tout couple (v_L, v_R) appartenant `a Ω×Ω, on a ρ_Ru²_R+ρ_R−ρ_Lu²_L−ρ_L= (1−u²)(ρ_R−ρ_L) + 2u(ρ_Ru_R−ρ_Lu_L) avec

u=

√ρLuL+√ ρRuR

√ρ_L+√ ρ_R .

9) Donner une matrice de Roe associ´ee au syst`eme consid´er´e.

10) Donner les valeurs propres de la matrice de Roe puis r´esoudre le probl`eme

de Riemann associ´e au syst`eme lin´earis´e donn´e par la matrice de Roe.

Exercice 2, corrig´e succinct.

1) La matrice jacobienne de ce syst`eme est donn´ee par A(v) =

0 1 1−u² 2u

. 2) Le polynˆome caract´eristique est donn´e par

p(λ) =λ²−2uλ+u²−1.

On a donc

λ1 =u−1, λ2=u+ 1.

Ces valeurs propres sont r´eelles et on a bienλ₁ < λ₂. 3) Il s’agit d’un syst`eme strictement hyperbolique.

4) Un solveur de Riemann approch´e de type Rusanov est compos´e de deux discontinuit´es qui se propagent avec des vitesses −c etc, et qui s´eparent les deux ´etats initiaux vL etvRpar un ´etat interm´ediairev∗.

5) Les relations de consistance s’´ecrivent ρRuR

ρ_Ru²_R+ρ_R

−

ρLuL

ρ_Lu²_L+ρ_L

=−c

ρ∗−ρL

(ρu)∗−ρ_Lu_L

+c

ρR−ρ∗

ρ_Ru_R−(ρu)∗

, ce qui donne

ρ∗ = 1

2(ρ_L+ρ_R)− 1

2c(ρ_Ru_R−ρ_Lu_L) et

(ρu)∗= 1

2(ρ_Lu_L+ρ_Ru_R)− 1

2c(ρ_Ru²_R+ρ_R−ρ_Lu²_L−ρ_L).

6) On peut simplement poser en premi`ere approximation c= max

v=vL,vR

maxi=1,2(|λ_i(v)|).

7) Le flux num´erique s’´ecrit f(vL, vR) = 1

2(F(vL) +F(vR))− c

2(vR−vL) o`u on a pos´e F(v) = (ρu, ρu²+ρ)^t.

8) La relation se v´erifie simplement en d´eveloppant le membre de droite.

9) On v´erifie facilement que la matrice A(v_L, v_R) =

0 1 1−u² 2u

.

convient.

10) Les valeurs propres sont donn´ees par

λL=u−1 et λR=u+ 1.

La solution du probl`eme de Riemann associ´e au syst`eme lin´earis´e de Roe est compos´ee de deux ondes qui se propagent avec les vitesses λ_L et λ_R (λ_L6=λ_R) et qui sont s´epar´ees par un ´etat constantv∗qui v´erifie les relations de consistance

ρRuR

ρ_Ru²_R+ρ_R

−

ρLuL

ρ_Lu²_L+ρ_L

=λ_L

ρ∗−ρL

(ρu)∗−ρ_Lu_L

+λ_R

ρR−ρ∗

ρ_Ru_R−(ρu)∗

, ce qui permet facilement d’en d´eduire les valeurs de l’´etat interm´ediaire

comme dans le cas du sch´ema de Rusanov.