an 09. p59. Polynésie, juin 2008.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. Soit f la fonction solution sur IR de l’équation différentielle : y’ = − y + 2 telle que f(ln2) = 1.
Proposition 1 : « La courbe représentative de f admet au point d’abscisse 0, une tangente d’équation y = 2x ».
2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [A ; +∞[ où A est un réel strictement positif.
Proposition 2 : « Si limx→+∞ f(x) = 0 alors limx→+∞ f(x)g(x) = 0 ».
3. On admet qu’un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.
Proposition 3 : « A partir de la soixante−dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».
4. Soient A et B deux évènements d’un même univers Ω muni d’une probabilité p.
Proposition 4 ; « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A ∪ B) = 0,8 ».
5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.
Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 ».
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. Soit f la fonction solution sur IR de l’équation différentielle : y’ = − y + 2 telle que f(ln2) = 1.
Proposition 1 : « La courbe représentative de f admet au point d’abscisse 0, une tangente d’équation y = 2x ». VRAI.
f est solution de y’ = − y + 2 donc f(x) = k e−x + 2 avec k ∈ IR.
f(ln2) = 1 ⇔ k e−ln2 + 2 = 1 ⇔ k eln(1/2) + 2 = 1 ⇔ k/2 = −1 ⇔ k = −2 donc f(x) = −2 e−x + 2 La tangente à Cf au point d’abscisse 0 a pour équation y = f’(0)(x – 0) + f(0)
or f’(x) = 2e-x donc f’(0) = 2 et f(0) = 0 donc cette tangente a bien pour équation y = 2x.
2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [A ; +∞∞∞∞[ où A est un réel strictement positif.
Proposition 2 : « Si limx→→→→+∞ f(x) = 0 alors limx→→→→+∞ f(x)g(x) = 0 ». FAUX.
f : x → 1/x et g : x → x² sont deux fonctions définies sur [1 ; +∞[ et limx→+∞ f(x) = 0 mais f(x)g(x) = x donc limx→+∞ f(x)g(x) = +∞.
3. On admet qu’un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.
Proposition 3 : « A partir de la soixante−dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ». FAUX.
Soit u0 = 10.000 g la masse initiale du bloc de glace.
chaque minute la masse est multipliée par 0,9 donc u est une suite géométrique de raison 0,9 au bout de n minutes, un = u0 0,9n = 10.000×0,9n
au bout de 70 minutes, u70 = 10.000×0,970 ≈ 6,26 g
4. Soient A et B deux évènements d’un même univers ΩΩΩΩ muni d’une probabilité p.
Proposition 4 ; « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A ∪∪∪∪ B) = 0,8 ». FAUX.
On sait que P(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) = 0,8 − p(A ∩ B)
A et B sont indépendants donc p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0,16 d’où p(A ∪ B) ≠ 0,8
5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.
Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 ». VRAI.
On note D l’évènement « la pièce est défectueuse », A l’évènement « la pièce est acceptée », R « la pièce est refusée » p(D) = 0,02 donc p(D− ) = 0,98
p(R|D) = 0,99 donc p(A|D) = 0,01 p(A|D− ) = 0,97 donc p(R|D− ) = 0,03
p(A) = p(A ∩ D) + p(A ∩ D− ) = p(D) × p(A|D) + p(D− ) × p(A|D− ) = 0,02×0,01 + 0,98×0,97 = 0,9508.
