Algèbre et Arithmétique 1 Université Nice Sophia Antipolis
Examen du 18 mai 2017
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Exercice 1 Soitnun nombre entier positif. Montrer queaest inversible dans l’anneauZ/nZ,+,· si et seulement si les entiers a et n sont premiers entre eux.
Exercice 2 On pose N = 3772−1. a) Calculer 377 mod 4.
b) En déduire queN est impair.
c) Montrer que a−b est un diviseur de an−bn pour tous les entiers a, b et pour tout entier positif n.
d) En déduire queN n’est pas un nombre premier.
Exercice 3 Soient n un nombre entier positif et d un diviseur de n.
a) Montrer que l’application
ϕ:Z/nZ,+ −→ Z/dZ,+ : [x]n 7−→ [x]d,
est un morphisme de groupes bien défini, où[x]ndésigne la classe dexdansZ/nZ,+ et[x]d désigne la classe de xdans Z/dZ,+.
b) Déterminer l’image de ϕ.
c) Calculer le noyau de ϕ.
Exercice 4
a) Calculer le reste de la division euclidienne de 20172021 par 25.
b) Quels sont les deux derniers chiffres de20172021.
Exercice 5 On considère l’anneauA= F3[x]/(2x2+x+ 1).
a) Enumérer ses éléments.
b) Calculer dans l’anneau A le produit des classes de 2x2 et 2x et en donner le représentant de degré minimal.
c) Est-ce que l’anneau A est un corps ?
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