L2 SSF
Examen du 12 Mai 2017
Dur´ee : 3h
Questions de cours.
(1) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions `a valeurs complexes d´efinies sur un in- tervalle I ⊆ R, et soit t0 ∈ I. On suppose que toutes les fn sont continues au point t0, et que la suite (fn) converge uniform´ement vers une fonction f :I →C. Montrer que f est continue au point t0.
(2) Montrer que la formule f(t) = P∞ n=0
cos(nt)
1+n3t d´efinit une fonction de classe C1 sur ]0,∞[.
(3) Soit E un espace vectoriel norm´e complet. Montrer que si (uk)k∈N est une suite de points de E telle que la s´erie P
kukk est convergente, alors la s´erie Puk converge dans E.
(4) D´eterminer les rayons de convergence des s´eries enti`eresP
n≥1 cos(n1))n3znet P
n≥1 n!
nnzn.
(5) Montrer que la fonction arctangente est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−1,1[, et d´eterminer son d´eveloppement.
(6) Soient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites de nombres complexes. Pourn ∈N, on posecn =Pn
k=0akbn−k. On suppose que les 3 s´eries P an, P
bn etP
cn sont convergentes. En utilisant le Th´eor`eme d’Abel, montrer que
∞
X
n=0
cn =X∞
n=0
an
×X∞
n=0
bn .
(7) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique f telle que f(t) = t pourt ∈]−π, π], et en d´eduire la valeur de S=
∞
P
k=1 1 k2·
(8) Soita v´erifiant 0< a < π. En consid´erant la fonction 2π-p´eriodiquef valant 1 sur [−a, a] et 0 sur [−π,−a[∪]a, π], ´etablir la formule
∞
X
k=1
sin(ka)
k = π−a 2 ·
Exercice 1. Soit f :R→C la fonction d´efinie par f(t) =
∞
X
n=0
ei2nt n! ·
1
2
(1) Justifier la d´efinition.
(2) Montrer que f est de classe C∞ sur R, et pour k ∈N, exprimer f(k)(t) sous forme d’une s´erie.
(3) Montrer que f(k)(0) =ike2k pour tout k ∈N.
(4) En d´eduire quef n’est pas d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0.
Exercice 2. Soit E un espace de Banach, et soit K ⊆ E un ensemble non vide, convexe et ferm´e. Soit ´egalementf :K →K une application 1-lipschitzienne.
(1) Soit x0 ∈K. Pourn ∈N∗, on d´efinitfn :K →E par fn(x) = 1
nx0+
1− 1 n
f(x).
Montrer que fn poss`ede un unique point fixe xn∈K.
(2) On suppose que K estborn´e. Montrer qu’il existe une constante C telle que kf(x)−fn(x)k ≤ Cn pour toutn ∈N∗ et pour toutx∈K; et en d´eduire que f(xn)−xn tend vers 0 quand n → ∞.
(3) On suppose que K estcompact. Montrer quef poss`ede un point fixe.
Exercice 3. Le but de l’exercice est d’´etablir la formule Z 1
0
log(x) log(1−x)dx= 2−π2 6 ·
(1) Montrer que la fonction x 7→ log(x) log(1−x), a priori d´efinie sur ]0,1[, se prolonge en une fonction f continue sur [0,1], et donner les valeurs de f(0) etf(1). Dans la suite, on posera
I = Z 1
0
log(x) log(1−x)dx = Z 1
0
f(x)dx.
(2) Pour n ≥ 1, justifier l’existence de Jn = R1
0 xnlog(x)dx; puis calculer Jn `a l’aide d’une int´egration par parties.
(3) Pour n ∈N∗, on d´efinit un : [0,1]→R par un(0) = 0 et un(x) = 1nxnlog(x) si 0< x ≤1. ´Etudier un sur [0,1], et en d´eduire qu’on a |un(x)| ≤ en12 pour tout x∈[0,1].
(4) Montrer qu’on peut ´ecriref(x) =−
∞
P
n=1
un(x) pour tout x∈[0,1].
(5) D´eduire des questions pr´ec´edentes que I =
∞
P
n=1 1 n(n+1)2· (6) V´erifier que n(n+1)1 2 = n1 − n+11
−(n+1)1 2 pour toutn≥1, puis d´emontrer la formule annonc´ee.
