N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 1
Lois de probabilité continues
Lois à densité sur un intervalle
fini muni d’une loi de probabilit P qui attribuait chaque issue sa
Toute variable al atoire d finie sur Ω ne prenait qu’un nombre fini de valeurs.
On s’int resse maintenant des univers qui contiennent une infinité d’issues, par exemple toutes valeurs dans l’intervalle . Les variables aléatoires utilisées sur ces univers prennent toutes valeurs dans un intervalle donné.
Définition – Densité de probabilité
On appelle densité de probabilité sur un intervalle de , toute fonction continue, positive sur et telle que l’aire sous la courbe est égale à 1 u.a.
Ainsi toute fonction continue, positive sur est une densité de probabilité si:
Définition – Loi à densité
Soit une densité de probabilité sur un intervalle .
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi de densité signifie qu’à tout intervalle inclus dans , on associe la probabilité où est le domaine de l’aire sous la courbe sur
l’intervalle .
Conséquences
Pour tout nombre réel
Si (Aire sous la courbe délimitée par ).
Propriétés
Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s’étendent au cas continu. Ainsi :
(Complémentaire).
En particulier, si et si alors
Si et sont deux intervalles inclus dans ,
alors
Si alors
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 2 Exemple
est la fonction définie sur l’intervalle par la courbe ci-contre :
1) Vérifier que l’aire, en unité d’aire du domaine coloré est égale à 1. Que peut-on en déduire pour ?
2) est une variable aléatoire continue à valeurs dans dont la loi de probabilité a pour densité . a) Calculer
b) Calculer
Définition – Espérance mathématique
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire dont la densité de probabilité est définie sur un intervalle fermé est .
Remarque
Cette définition prolonge au cadre continu la définition donnée de l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
Loi uniforme sur
La loi uniforme est la loi de phénomènes continus uniformément répartis sur un intervalle.
Définition
Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle , avec , lorsque sa densité de probabilité est une fonction constante sur .
Propriété
La densité de probabilité de la loi uniforme sur est la fonction définie sur par .
Preuve
La densité de probabilité de la loi uniforme sur est une fonction constante.
Posons .
On doit avoir soit .
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 3 Remarques
1. Si l’on choisit au hasard un nombre dans l’intervalle , la probabilité que ce nombre soit dans l’intervalle est le quotient da la longueur par celle de .
En effet, pour tout intervalle ,
2. Si deux intervalles et ont la même longueur alors . D’où le nom de loi uniforme.
Exemple
On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle .
Par définition la variable aléatoire qui indique le nombre choisi suit la loi uniforme sur ; ;
Propriété – Espérance mathématique
Soit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle . Alors son espérance est
Preuve
Exemples d’utilisation de la loi uniforme
1) Jeanne a dit qu’elle passerait chez Jean entre 18h et 20h30. Quelle est la probabilité qu’elle arrive pendant qu’il mange entre 19h et 19h30 ?
On note la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Jeanne chez Jean. Elle prend ses valeurs dans l’intervalle . suit une loi uniforme sur .
La probabilité que Jeanne arrive pendant le repas est .
2) Un feu tricolore reste 55 secondes au vert, 5 secondes à l’orange et 60 secondes au rouge.
Un piéton ne peut traverser que lorsque le feu est rouge. A 8h00, le feu passe au rouge.
On s’intéresse aux piétons qui se présentent entre 8h00 et 8h05. est la variable aléatoire qui donne, en seconde, le temps écoulé de 8h00 jusqu’à l’heure d’arrivée devant le feu d’un piéton désirant traverser. On suppose que suit la loi uniforme .
On veut calculer la probabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes puis plus de 20 secondes.
a) Faire un schéma illustrant la succession des feux.
b) Pour une attente de moins de 10 secondes, dans quels intervalles de temps doit se situer T ? Une attente de moins de 10 secondes signifie que ou ou .
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 4 Les évènements , , sont deux à deux disjoints donc
c) Calculer la probabilité que l’attente dure plus de 20 secondes.
Une attente de plus de 20 secondes signifie que ou . Ces évènements sont deux à deux disjoints donc
3) La fonction Rand ou NbrAléat sur TI ou Ran# sur Casio d’une calculatrice donne un nombre au
« hasard » dans l’intervalle . Ce nombre aléatoire suit la loi uniforme sur . Par exemple la probabilité que est . Plus généralement, si et sont deux nombres tels que , la probabilité que est .
a) Calculer
b) Sachant que , quelle est la probabilité de l’évènement : « son chiffre des centièmes est 1 ».
Les nombres inférieurs à 0,3 dont le chiffre des centièmes est 1 sont dans les intervalles ou ou .
c) Calculer l’espérance de .
Lois exponentielles
La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement. Par exemple, la durée de vie des êtres humains : la probabilit de vivre 40 ans pour un enfant la naissance est de l’ordre de 0,98.
La probabilité pour une personne de 50 ans de vivre encore 40 ans est environ égale à 0,65.
Il existe des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure. Dans la pratique, ils relèvent d'événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale.
L’absence de « mémoire » ou de vieillissement se traduit par le fait qu’un ph nom ne a autant de chances de se produire sur un laps de temps donn apr s l’instant qu’apr s l’instant . La probabilité qu’il survienne aujourd’hui sachant qu’on l’attend depuis un si cle est la même que si on l’attendait depuis un jour.
Les lois exponentielles modélisent ces ph nom nes dont la dur e de vie n’est pas affect e par l’âge, par exemple la durée de vie d’un noyau radioactif ou d’un composant lectronique.
Définition
désigne un nombre réel strictement positif.
Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre lorsque sa densité de probabilité est la fonction définie sur par .
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 5 Remarque
La fonction définie sur par
est bien une densité de probabilité sur :
est continue et positive sur et si . Or, lorsque tend vers , aussi et donc tend vers 0. On a donc
Propriétés
Pour tous nombres réels et tels que :
Théorème (Propriété de perte de mémoire) Pour tous nombres réels positifs et ,
.
La durée de vie sur un laps de temps , ne d pend pas de l’âge à partir duquel on considère cet évènement.
Preuve
Pour tous nombres réels positifs et ,
. Proposition – Espérance mathématique
L’espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre est .
Preuve (Exigible)
Pour tout nombre réel positif , on calcule .
La fonction est le produit des fonctions dérivables et . Donc est dérivable sur .
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 6 On admet que les variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules variables
aléatoires à densité sans vieillissement.
Exemple d’utilisation de la loi exponentielle
La durée de vie d’une ampoule d’un certain modèle peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre où est un réel strictement positif.
Que vaut sachant que ?
d’où
Sachant que l’évènement est réalisé, déterminer la probabilité de l’évènement
On sait que pour tous nombres réels positifs et , . On remarque que , d’où en prenant et
Démontrer que, pour tout réel et , Pour tous nombres réels positifs et , on a :
Sachant qu’une ampoule a fonctionné 3000 heures, quelle est la probabilité qu’elle tombe en panne avant 4500 heures ?
Déterminer la durée de vie moyenne d’une ampoule de ce modèle (on arrondira à l’heure près) La durée de vie moyenne est égale à l’espérance de , c’est-à-dire soit environ 2808.
