UFR des sciences et des techniques

UFR des sciences et des techniques

D´epartement de math´ematiques

Nom de l’U.E. : G´eom´etrie euclidienne Code de l’U.E.: 32

Date de l’examen : 27 juin 2007 Dur´ee : 1h30

Documents autoris´es : 1 feuille A4 recto-verso Calculatrice autoris´ee : oui non

Ann´ee universitaire 2006-2007 Semestre 1 2

Session 1 2

Le sujet est constitu´e de deux exercices ind´ependants

La pr´ecision, la clart´e et la rigueur des explications seront consid´er´ees pour la notation.

En particulier, les r´eponses non justifi´ees ne pourront pas ˆetre prises en compte.

I

(A) Soitnun vecteur unitaire de l’espace euclidienR³ et Φ_n, Ψ_nles transformations d´efinies surR³ d´efinies par

Φn(v) =v−2hn, vin, Ψn(v) = hn, vin+n∧(n∧v), v ∈R³. (A.1) Montrer que les applications Φ_n, Ψ_n sont des isom´etries.

(A.2) Montrer la relation Φ_n+ Ψ_n= 0.

(A.3) D´ecrire g´eom´etriquement ces deux transformations.

(B) Soit R la transformation lin´eaire de l’espace euclidienR³ repr´esent´ee dans la base cano- nique deR³ par

1 3





−2 −1 2 2 −2 1

1 2 2



.

(B.1) Montrer que R est une isom´etrie.

(B.2) D´eterminer les vecteurs (non nuls) invariants ou anti-invariants de R, s’il en existe.

(B.3) D´ecrire g´eom´etriquement l’isom´etrie R.

(B.4) D´ecomposer R comme le produit de sym´etries hyperplanes.

II

Si Π est un plan vectoriel de R³, on d´esigne par P_Π la projection orthogonale sur Π.

Soit H le plan “horizontal”H ={(x, y,0), x, y ∈R}.

Soit C le cercle de rayon 1 centr´e `a l’origine et inclus dans le plan horizontal H : C ={(x, y,0), x²+y² = 1}={cosθb₁+ sinθb₂, θ∈R},

si (b₁, b₂) est une base orthonorm´ee (quelconque) du plan H.

(A) On suppose que l’application induite PΠ : H → Π n’est pas un isomorphisme lin´eaire entreH et Π.

(A.1) Montrer qu’il existe u ∈ H non nul tel que P_Π(u) = 0 et que si v est un vecteur unitaire de H orthogonal `a u, on aP_Π(H) =Rv.

(A.2) En d´eduire que l’image P_Π(C) est un segment dont on pr´ecisera les extr´emit´es.

(B) On suppose que l’application induiteP_Π:H →Π est un isomorphisme lin´eaire entreH et Π.

(B.1) Montrer que l’image P_Π(C) est une ellipse.

(B.2) Soit A l’op´erateur sym´etrique deH tel que

hAv, wi=hP_Πv, wi, v, w∈H.

Il existe (v₁, v₂) est une base orthonorm´ee de H telle que Av_i =λ_iv_i avec λ_i ∈R : montrer queλi >0 pour i= 1,2.

Montrer que P_Πv₁ est orthogonal `a P_Πv₂ et que kP_Πv_ik=√

λ_i pouri= 1,2.

En d´eduire que l’ellipse P_Π(C) a ses axes de longueur 2√

λ₁ et 2√ λ₂.

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