Résistivité associée au processus à deux phonons

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Submitted on 1 Jan 1968

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Résistivité associée au processus à deux phonons

Marc Natta

To cite this version:

Marc Natta. Résistivité associée au processus à deux phonons. Journal de Physique, 1968, 29 (11-12),

pp.1019-1023. �10.1051/jphys:019680029011-120101900�. �jpa-00206740�

RÉSISTIVITÉ ASSOCIÉE

AU PROCESSUS A DEUX PHONONS

Par MARC NATTA

(1),

Laboratoire de Physique ^{des Solides} (2), Faculté des Sciences, 91-Orsay.

(Reçu

^{le 19}

juillet

1968, révisé le 16

septembye.)

Résumé. - Dans un modèle de

Debye

pour les

phonons,

d’électrons libres pour ^la bande de conduction et de Thomas-Fermi pour ^les

potentiels ioniques,

^{on peut} estimer les

importances

relatives des termes à deux

phonons

^{et à un}

phonon, quant

^{aux effets sur la} résistivité à haute

température.

Abstract. ²⁰¹⁴

Using

^a

Debye

^{model for}

phonons,

^free electrons for the conduction band, and Thomas-Fermi ionic

potentials,

^{we can} estimate, ⁱⁿ the Nordheim

approximation,

^the

importance

^{of the}

two-phonon

^term

compared

^{to the}

one-phonon

^term

usually

^considered

in

high temperature resistivity.

Introduction. ^- Pour écrire l’hamiltonien du _pro- bleme de l’interaction

électron-phonon,

^on

peut

^faire le choix d’un

potentiel

de Nordheim. Dans un hamil- tonien a un

electron,

^le

potentiel V(r)

^{s’6crit :}

v(r - Ri)

^{6tant un}

potentiel

^{centre sur le site}

Ri.

Cette

hypoth6se

^est

proche

de celle de l’ion

rigide

^dans

F approximation adiabatique;

^{dans ce dernier cas, les}

electrons de conduction 6crantent le mouvement de

l’ion,

^{dans la limite} des faibles

fr6quences (~ kB eD/n)

ceci

signifie

que les electrons de conduction suivent l’ion et que le

potentiel

^{ainsi cree}

peut

^{etre considéré}

comme lie au centre

Ri

^{de l’ion.}

Dans cette

approximation,

1’hamiltonien total H s’6crit avec des notations évidentes :

avec :

les fonctions _propres de

He

^sont des ondes de

Bloch,

pour les electrons de

conduction;

^{afin de}

pouvoir

faire les

calculs,

^nous

prendrons

des ondes

planes : exp(ik.r)/Q.1/2 d’6nergie

Ek ⁼

h2k2/2m,

^{Q = volume}

du metal.

L’hamiltonien

phonon Hph

peut ^{s’6crire en faisant} la transformation

canonique [1] (valable

pour ^un metal

monoatomique) :

M,

^{masse de}

l’ion; N,

nombre d’atomes.

(1)

^Adresse permanente : Centre d’Etudes Nucléaires,

B.P. no 269, 38-Grenoble.

(2)

Laboratoire associ6 ^au C.N.R.S.

L’hamiltonien d’interaction est :

en 6crivant :

on peut

distinguer

^{le terme a un}

phonon :

et le terme a deux

phonons :

I,e terme

HI(1)

^est habituellement

pris

pour le calcul de la

r6sistivit6,

^nous traiterons

egalement le

^terme

Hi2).

Nous ferons de

plus I’hypoth6se

^de

Debye qui

consiste a

negliger

^la

dispersion

^des

phonons

^{et à}

traiter le solide comme

continu;

^la

fr6quence

^s’6crit

alors :

I. Calcul de

P kk" probability

de transition de I’£tat k a l’état k’. ^-

Pkk,

^{est la somme des}

probabilités

des transitions 616mentaires

Pkk’12

faisant intervenir les

phonons

^{1 et 2 :}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019680029011-120101900

1020

Posons q == k’ ^-

k;

^en effectuant des calculs clas-

siques,

^on peut ^{écrire :}

avec

Cependant,

6tant donne k et

k’,

^{un seul}

type

^de

terme dans la somme

(8) intervient;

^on

peut distinguer quel

^terme intervient avec la

quantite :

1. e

^{1. - Ce cas}

peut

^{6tre dit «}

elliptique »,

en

effet ) e ) I

^est l’ excentricité de

1’ellipse

^sur

laquelle

doit se situer l’extrémité de q1 ^{et de} q2

(jig. 1).

^De

FIG. 1. ^- Cas cc

elliptique o :

^: I ek’ ^- ek I > As [ q

plus,

^il y ^a des conditions dans

1’hypoth6se

^de

Debye qui

font que :

En posant :

on peut écrire que :

avec

Le

signe

^{est + ou - selon que les}

phonons

^sont

6mis ou absorbés.

2. I e I >

^{1. - La}

figure

^{est alors la suivante}

( fig. 2) :

FIG. 2. ^- Cas «

hyperbolique »:

^: I Ek’ - Ek I

/ís I q I.

En posant :

on peut ecrire :

Les

expressions (10)

^et

(11)

^{ne sont} pas

integrables;

neanmoins,

comme nous attendons que les ^{termes a} deux

phonons

^{soient surtout}

importants

^{a haute tem-}

p6rature,

^nous allons faire le calcul a haute

temp6ra-

ture en

approximant

les fonctions

N(co)

^par

kB T /IíÜJ,

ainsi _que

(N(w)

⁺

1)

par

N(w);

^on

peut

alors ecrire le resultat suivant de

l’int6gration :

II.

R£sistivit£,

calcul du

temps

^de relaxation. ^- Dans ce modele

isotrope,

^avec

dégénérescence

^de

spin,

la

r6gle

de Matthiesen

s’applique.

FIG. 3. ^- Calcul du

temps

de relaxation.

Le temps de relaxation s’6crit

(fig. 3) :

Nous devons remarquer que le

principe

d’exclusion

ne

joue

pas parce que nous avons fait

I’hypoth6se

que

N(w) --

^{1 +}

N ( CJ) ) ,

^{ceci entraine que}

Pkk’

⁼

Pk’k;

de

plus,

^{la formule}

(13)

suppose que

I Ek’

^-

Ek I kB T,

donc _que nous sommes à haute

température.

Etant

donne la

proximite

^de

1’energie

^{de Fermi}

EF

des electrons k et

k’,

^{nous 6crivons :}

ceci entraine que d3k’ ⁼

27tq dq d(ð.k).

Avant

d’intégrer,

^nous

prendrons

^les

param6tres

suivants sans dimensions :

On

peut

alors écrire l’inverse du

temps

de relaxation associ6 au processus a deux

phonons :

La definition de

L(q, (), qui correspond

^a

1’expres-

sion

(12),

^et

1’integration sur (

^{sont données en}

appendice

^A.

III.

Comparaison

^des

temps

^de relaxation _{Tl et T2} dans le cas d’un

potentiel

de Thomas-Fermi. ^- Pour finir litteralement le

calcul,

^nous

prendrons

pour

v(q)

un

potentiel

^du type

ionique

^écranté

[2] :

ou :

n 6tant la densite

electronique

^{et ze la}

charge

^{de l’ion.}

En posant ^{a =}

kFT/2kD,

^{on trouve} finalement :

et :

Les valeurs de

N(a)

^et

M(a)

^{sont donn6es en} appen- dice B. Ceci donne _pour le

rapport

des résistivités :

Remarquons

que le facteur de ^structure correspon- dant au choix de

v(q) : f(q)

⁼

2mze/h2 (q2+ kFT)

^est

tres inferieur au facteur

atomique generalemen t

^ad-

mis

[3]; néanmoins,

l’influence de ce choix sur 1’ex-

pression (17) est limitee,

car,

plus

que la valeur

absolue,

c’est la variation de

v(q) qui

intervient dans le _rap-

port P2/P1’

^Plus

critiquable,

pour la

presence

^{du terme}

a deux

phonons,

^est

l’hypothèse

de Nordheim

(3).

Dans ce

traitement,

^les processus

Umklapp,

respon- sables en fait _pour

pres

de la moiti6 de la r6sistivit6

[4],

ont ete

negliges; cependant,

ils interviennent de

façon

similaire sur les processus ^a deux

phonons.

^{Les r6sul-}

tats

num6riques,

donn6s dans le

tableau,

^montrent

TABLEAU COMPARATIF

Les valeurs

experimentales

^{sont tir6es de l’article de Gerritsen}

[5].

1022

que le terme considere ici n’est pas

n6gligeable,

^et

qu’en particulier

pour les m6taux

alcalins,

^au

voisinage

du

point

^de

fusion,

^sa contribution est de l’ordre de 5

%

de la r6sistivit6 totale. Bien

qu’il

y ait d’autres causes de r6sistivit6 a haute

temperature (en particulier

creation de

lacunes),

le resultat

precedent peut permettre d’interpr6ter

^{le fait} que la r6sistivit6

ne suit pas

toujours

^{une loi}

^lin6aire,

^fait

qui

^ne

peut

s’expliquer uniquement

^{en tenant} compte de la dila- tation du reseau

[5].

Cependant,

^de

façon g6n6rale,

^{les faits}

exp6rimen-

taux

n’indiquent

pas clairement la

presence

^{de ce}

terme, ^si bien que le

probl6me

de la validite des

hypotheses,

^en

particulier

^du

d6veloppement (3)

pour le choix de l’hamiltonien

électron-phonon,

reste ouvert.

Remerciements. ^- L’auteur remercie M. le Pro- fesseur

J.

^Friedel pour ^ses conseils.

APPENDICE

APPENDICE A. ^- Definition de

L(q, () :

Les differentes situations sont donn6es dans le schema

A .1;

^en

principe, c’est ) ( ) I qui intervient,

FIG. A .1. ^- Definition de

L(7j, ) .

mais nous

prendrons (

> 0 en mettant un facteur 2 dans l’inverse du temps de relaxation.

lntégration

^sur

^(.

^-

L’intégration sur (

^{donne une}

serie dont nous connaissons le terme

général :

FIG. A. 2. ^- Fonction

L(n).

On v6rifie que les deux ^{sommes sont}

6quivalentes

pour q ⁼

0,5.

^{Afin de rendre} compte ^{des valeurs} suivantes de

L(7]) :

nous

approximerons L(~)

^{par le}

polyn6me :

APPENDICE B. ^- Definition de

M(a)

^et

N(a).

On trouve :

De meme pour le processus ^{a un}

phonon,

^nous

devons calculer :

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^{Voir par}

exemple

^{D. PINES,} Elementary Excitations in Solids.

[2]

^Référence

[1],

p. ^268.

[3]

^IBERS

(J. A.)

^{et VAISHTEIN}

(B. K.),

International Tables for X-Ray

Crystallography.

[4] JONES (H.),

^{Handbuch der}

Physik

^XIX, p. 250.

[5]

^GERRITSEN

(A. N.),

^{Handbuch der}

Physik

^XIX,

p. 171.