L'approximation de Thomas-Fermi associée a une formule des niveaux d'énergie arbitraire

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L’approximation de Thomas-Fermi associée a une formule des niveaux d’énergie arbitraire

L. Dagens

To cite this version:

L. Dagens. L’approximation de Thomas-Fermi associée a une formule des niveaux d’énergie arbitraire.

Journal de Physique, 1970, 31 (10), pp.837-846. �10.1051/jphys:019700031010083700�. �jpa-00206987�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

L’APPROXIMATION DE THOMA S-FERMI ASSOCIÉE A UNE FORMULE

DES NIVEAUX D’ÉNERGIE ARBITRAIRE

par L. DAGENS

Commissariat à

l’Energie Atomique,

Centre de Limeil B. P.

27, 94, Villeneuve-Saint-Georges

(Reçu

^{le 19}

juin 1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ On construit une densité générale ^du type Thomas-Fermi comme une approxima-

tion fonctionnelle de la densité d’Hartree. On utilise la méthode de Brillouin à partir ^{de la densité}

à une particule qui ^{dérive d’une formule} approchée pour les niveaux d’énergie. ^Une correspondance biunivoque ^{existe entre densité} Thomas-Fermi et formule des niveaux. Celle de WKB donne la théorie Thomas-Fermi usuelle. On obtient celle de Kirzhnits et de Golden à partir ^{de la formule} de Dunham (développement ^en 01272).

On établit les formules générales pour la densité, l’énergie ^et l’énergie ^{libre. On montre} que le principe variationnel général ^{de Kohn et} Sham est satisfait, ^ainsi que la relation du viriel. La densité satisfait également ^{une condition} d’intégrabilité fonctionnelle qui généralise ^un résultat de Kirzhnits. On explicite ^{les formules} générales ^{dans le cas où la} formule des niveaux est du type local.

On

applique

^{la théorie à une} approximation ^{de la densité due à} Swiatecki. Celle-ci ne vérifiant pas la condition d’intégrabilité fonctionnelle (ni ^{la relation du} viriel) ^{on établit une}

expression

modifiée qui ^{coïncide avec} celle de Swiatecki quand ^le

potentiel

^vérifie

l’équation

^de

Laplace.

Elle dérive d’une nouvelle formule des niveaux, ^exacte

jusqu’à

^{l’ordre 01272} inclus, ^et vérifie donc les

propriétés

générales ^énoncées plus ^haut.

Abstract. ²⁰¹⁴ A generalized Thomas-Fermi density ^is constructed as a functional

approximation

of the Hartree density. The Brillouin’s method is applied ^{to a one} particle ^state density variationally derived from ^a given approximate ^one dimensional level formula n(Ek) = k ; n ^~ n[v] ^{is a func-} tional of 03BD ⁼ 2 m(Ek - V/01272. ^{A one to one} correspondence is derived between ^a Thomas-Fermi- type theory and the related level formula. The ^{WKB formula}

gives

^{the usual} Thomas-Fermi theory. ^The Kirzhnits and Golden theory ^is obtained from the Dunham formula

(semi-convergent

h2

expansion

^of

n[03BD]).

We give ^the general formulas for the density, energy and free energy in the one and three dimen- sional case. More explicit ^{results are} obtained when n[03BD] ^is restricted to be of the local type. ^The général theory ^satisfies the Kohn and Sham variational principle ^{and the} virial theorem. The den- sity ^{satisfies a} functional integrability ^{condition which} generalise ^{a result of Kirzhnits.}

The present theory ^is applied ^{to a} density approximation given by Swiatecki. This is a local type expression ^{which does not} satisfy the functionnal integrability condition. A modified form ^is established, associated to a new level formula, ^and

equal

^{to the} Swiatecki’s

approximation

^when

the

potential

satisfies the Laplace equation.

Tome 31 ND 10 OCTOBRE 1970

Introduction. ^- Le

problème

^{du fondement et de}

la

généralisation

^de

l’approximation

^de Thomas-Fermi

a été souvent abordé

depuis

^{les travaux} anciens de Dirac

[1]

^et de Brillouin

[2].

^{La méthode de Dirac}

est basée sur la considération de la matrice densité.

Elle a été

particulièrement développée

^{par Kirzh-}

nits

[3]

^et par Golden

[4].

^{Elle est très}

générale

^et

permet ^d’inclure

l’échange

^et les corrélations. Elle permet ^en

particulier

d’obtenir la densité

p[’1 - V]

sous forme d’un

développement

^{limité en}

^Fi2.

^{Le terme}

d’ordre zéro est

l’approximation

Thomas-Fermi usuelle.

Kirzhnits

[3]

^a calculé les termes d’ordre

Fi2

et

Fi4.

En réalité une

comparaison

^avec la méthode décrite

plus

^{loin montre que ce}

développement

^{est inexact}

dès l’ordre

Fi2

si le spectre

énergétique

^{est discret :}

les corrections de structure discrète du

spectre, signa-

lées _par Plaskett

[5], n’y

^sont pas incluses.

La seconde

méthode, qui

^{remonte à Brillouin}

[2],

sert de cadre à ce travail. Elle a une

portée plus

^limitée

mais permet ^une discussion

beaucoup plus précise

et

approfondie

^des

approximations

faites. Elle a été

principalement développée

par

Fényes [6],

^Plaskett

[5]

et March et Plaskett

[7].

^On part directement des

équations

^{d’Hartree et on fait} successivement les trois

approximations

suivantes :

(a)

les fonctions d’ondes radiales sont calculées à

l’approximation

^WKB.

(b)

on obtient la densité

correspondante

^en faisant la moyenne du carré de la fonction d’onde ^{sur une} oscil-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019700031010083700

lation

(cos’ --> 1/2). (c)

^{la somme sur} les niveaux occu-

pés

^est

remplacée

par ^une

intégrale.

March et Plaskett

[7]

^{ont montré} que l’erreur due à

l’approximation ^(c)

^était

importante

^{en ce}

qui

concerne

l’énergie

Thomas-Fermi des atomes. Elle est alors d’ordre h à cause du caractère

singulier

^du

potentiel

coulombien. Les termes correctifs peuvent être calculés ^en utilisant la formule sommatoire d’Euler-

Maclamin,

^{comme l’a}

indiqué

^Plaskett

[5].

^Une

correction

analogue

existe pour la fonctionnelle densité. L’auteur a

montré,

^{dans un travail en cours,}

qu’elle

^{était d’ordre !i 2 comme la}

première

^correction

quantique.

Payne [8]

^{a fait une} remarque

importante.

^{Il a}

montré sur un

exemple

que la densité

(d’Hartree)

exacte différait de la densité Thomas-Fermi _{par des} termes oscillants d’ordre h et n’admettait donc pas de

développement

^{limité en}

puissances

^de

!i2,

^ce

qui

contredit

apparemment

^{les résultats de Golden}

[4]

et de Kirzhnits

[3].

L’auteur a

indiqué

^récemment comment cette diffi- culté

pouvait

être éliminée

[9].

^{La densité Thomas-}

Fermi est

interprétée

^{comme une}

approximation

^de

la densité d’Hartree considérée comme fonctionnelle linéaire. Elle permet ^le calcul des valeurs moyennes des fonctions

f (x)

suffisamment

régulières.

^{On a}

montré dans

[9]

que la fonctionnelle linéaire valeur moyenne de

f (x)

^{sur la fonction}

d’onde gi d’énergie

fixée ^£ admettait un

développement asymptotique

^en

puissances

ascendantes de

!i2.

La densité correspon- dante admet donc un

développement ^{en h’}

^notée p dont les coefficients sont d’ailleurs des

distributions, singulières

^aux

points

tournants. La différence

1 If¡ 12

^{- p est} localement d’ordre h mais sa moyenne

sur toute fonction indéfiniment dérivable est d’ordre

!i 00. On ^a montré aussi dans

[9]

que le

développement

p résultait

simplement

^{de celui de la formule des niveaux}

WKB-Dunham

[10], qui

^{donne le}

développement asymptotique

^{en h’ du nombre de} zéros de la fonction d’onde

d’énergie

^e.

On peut alors donner une extension considérable à la méthode de Brillouin-March-Plaskett

[2, 7].

C’est

l’objet

^{de ce travail. On}

remplace

^les

approxi-

mations

(a)

^et

(b) indiquées plus

haut par la seule

approximation 1 If 12

-->

p,

^{où la densité} fonctionnelle

approchée

^{dérive de}

l’expression k

⁼

n[E - V],

que

nous

appellerons

^{« formule} des niveaux _», ^en suivant la

méthode

décrite dans

[9],

à propos de la formule WKB-Dunham. On obtient

ainsi,

^en laissant n arbi-

traire,

^{une classe très étendue de} théories Thomas- Fermi. Chacune est associée à une formule des niveaux.

On se propose d’en étudier les

propriétés générales

^et

d’illustrer l’efficacité de la méthode _par l’étude _appro- fondie d’un cas

particulier, l’approximation

^{de Swia-}

tecki modifiée.

Donnons une

présentation ^rapide

^{des résultats et}

du

plan

^{de ce travail. On a considéré le}

problème

^pour

un

système

^{de fermions}

complètement dégénéré (T

⁼

0)

à urie dimension et à trois dimensions

(dans l’hypo-

thèse du

champ central).

^On établit d’abord les for- mules

générales

de la densité et de

l’énergie

^associée

à une formule des niveaux arbitraire k ⁼ n. On établit la relation

remarquable (10)

^{entre la} fonctionnelle densité et la formule des niveaux dont elle dérive.

Une relation

analogue

^{existe en trois}

dimensions,

^mais

moins

simple

^et

approximative.

^{On montre, dans la}

section

suivante,

que la théorie ainsi construite est

cohérente : la densité fonctionnelle dérive du

principe

variationnel

général

^{de Kohn et Sham}

[ 11 ] ;

^{la rela-}

tion du viriel est

vérifiée ;

^{la densité vérifie la condition}

d’intégrabilité

fonctionnelle

(21).

^{Dans le cas}

parti-

culier où la densité

s’exprime

localement en fonction du

potentiel (Section III)

^{on retrouve la condition}

déjà

^donnée par Kirzhnits

[12].

^On

reprend plus

^briève-

ment la théorie

générale

^à trois dimensions dans les sections V et VI.

On

applique

^{la théorie}

générale

^{à une}

expression

de la densité

proposée

par Swiatecki

[13].

Cette expres- sion a

l’avantage

^{d’être valide dans la}

région

^où

’1 - V change

^de

signe.

^{Elle est} toutefois incorrecte

car elle ne vérifie _pas la condition

d’intégrabilité

^fonc-

tionnelle. Nous proposons, section II ^et VI, ^une expres- sion modifiée

qui

dérive d’une formule des niveaux et

qui

^{coïncide avec}

l’expression originelle

^{de Swiatecki}

là où le

potentiel V

^vérifie

l’équation

^de

Laplace,

AV ⁼ 0

(en

^{une ou trois}

dimensions).

^Une

application numérique,

^{en une}

dimension,

^montre que la nouvelle

expression

^est

plus précise

que celle de Swiatecki. En fait elle est exacte

jusqu’à

^{l’ordre !i2}

^inclus,

^{alors que}

celle de Swiatecki diffère de la fonctionnelle densité exacte par ^{un terme} d’ordre

!i2.

On donne

également

les formules

explicites applicables

^aux

problèmes atomiques

^{mais sans}

présenter d’applications

^numé-

riques.

I. Formules

générales

^{en une} dimension. ^- 1. Soit

un

système

de fermions

(de spin donné)

^{se mouvant}

dans un

potentiel

unidimensionnel

V(x).

^Le

problème

en trois dimensions sera considéré

plus

^{loin. Les}

fonctions d’onde sont solutions de

l’équation

^de

Schrödinger,, , ’

.

avec k ⁼ 1,

2,

... ;

8(k)

^{sont les niveaux}

d’énergie correspondants

^{au facteur}

h’12 m près.

^{La densité}

d’Hartree relative à

No particules

^{est définie} par

l’expression :

On

désigne

par

(pu f )

^{la valeur} moyenne de

f (x)

calculée _pour la densité

d’Hartree ; (pH ; )

^{est la fonc-}

tionnelle linéaire

correspondante qui

^{associe à tout}

f (x)

^{la moyenne}

^{(pH ; ;D4}

^{De la même}

^façon

^on

^désigne

par

(1 Ifk 12 f)

la moyenne

de f sur

^{la fonction d’onde}

839

4’k

^et par

(1 ^{If¡ k} 12; )

^la fonctionnelle linéaire corres-

pondante.

^{La donnée de la} fonctionnelle est

équiva-

lente à celle de la densité.

Une fonction ou distribution

p(x)

^{sera considérée}

comme une

approximation

Thomas-Fermi de la densité d’Hartree si la fonctionnelle linéaire

(p ; f )

est une bonne

approximation

^de

(p. ; f )

pour ^toutes les fonctions

f (x)

suffisamment

régulières.

^On peut dire de

façon

peu

rigoureuse

que p et pu ^sont voisins

en moyenne. Ceci n’exclut _pas des écarts _{PH - P} localement très

grands,

^{mais de nature}

oscillatoire,

dont

l’intégrale

^{est très}

petite.

^Observons que

p(x)

n’est pas nécessairement une fonction mais peut ^être

une distribution très

singulière.

^C’est

précisément

^le

cas pour le

développement asymptotique

^{des fonc-}

tionnelles linéaires

(pH ; )

^et

(j ^{If £} |2, )

^en

^puissances

ascendantes

de h2 [9].

On obtient la densité Thomas-Fermi

généralisée

à

partir

^{de celle d’Hartree en faisant} successivement deux

approximations : (i)

^On

remplace

la densité

1 If¡k 2

par ^une

approximation

fonctionnelle

pk

^définie

pour

tout k >

1/2,

^{même non entier}

[9]. (ii)

^{On rem-}

place

^{la sommation sur les} niveaux k par ^une

intégra-

tion.

2. On considère d’abord le second

point.

^{La som-}

mation sur k est évaluée à l’aide de la formule som-

matoire d’Euler-Maclamin

[14].

^L’idée

d’appliquer

cette formule à la théorie de Thomas-Fermi est due à March et Plaskett

[7].

^Soit

a(k)

^{une fonction}

régu-

lière de k dans le domaine

1/2 k No

⁺

1/2 ;

^on

a alors :

Le terme correctif

C { 1

^{ne sera pas considéré}

dans la suite de ce travail. Il

provient

du caractère discret du spectre

d’énergie.

^On

applique

^{la formule}

précédente

à la valeur _moyenne

approximative fk

⁼

(Pk ; f )

^dont

l’expression

^{est donnée}

plus

^loin.

On a :

On _suppose

que fk

^{varie lentement avec k. La correc-}

tion d’Euler-Maclaurin C est alors

petite. Négligeant

ce terme on obtient ainsi la formule

d’approximation

valide en moyenne ^sur les

fonctions f (x)

suffisamment

régulières

Cette.formule

s’applique

^{même si}

Pk

^varie

rapide-

ment avec

k,

^{comme c’est le cas} pour

l’approximation

de Swiatecki considérée

plus loin ;

^les deux membres de

l’équation précédente

diffèrent alors _{par des} ter-

mes oscillants

d’amplitude importante

^{dont la} moyenne

sur

f

^{est très}

petite.

^{L’erreur sur} la moyenne de

f

peut ^être évaluée par

l’équation (3).

On observe que l’erreur est

identiquement

^{nulle si}

fk

^{varie linéaire-}

ment avec k.

3. La seconde

étape

consiste à

remplacer

^{la fonc-}

tionnelle valeur _moyenne sur un niveau

(1 ^4k 12 ; )

par ^une fonctionnelle

approchée (pk ; ), qui s’exprime simplement

^{à l’aide du}

potentiel V(x).

^On

généralise

^la

démarche

proposée

^dans

[9].

On suppose les niveaux

d’énergie e(k)

^donnés

approximativement

^{par la}

formule des niveaux :

où n est une fonctionnelle de v = E - V. Par

exemple,

à

l’approximation WKB, n

^{est donnée} par :

On associe à la formule des niveaux

(5)

^une expres- sion

approchée (pk ; )

^de la fonctionnelle valeur moyenne

(1 ^{k 12 ;} ).

^On

^applique

^le

^principe

^varia-

tionnel de

Rayleigh-Schrôdinger :

^{La variation}

ôe(k)

du niveau

d’énergie c(k)

consécutive à une

perturba-

tion infiniment

petite

8 Y = - 8v du

potentiel

^est

égale

^{à la} moyenne de

ô V(x)

^{sur l’état k :}

Varions la relation

(5).

^{On obtient :}

Les variations sont faites

respectivement

^à

V(x)

fixé et e fixé. Ainsi :

La dérivée

dn/de

^est

prise

^à

V(x)

fixé. Elle est donc

égale

^à

dk/de.

5n[v ; ôv]

^{est la variation de n} consécutive à la varia- tion infinitésimale

ôv(x).

^{La densité}

approchée

^asso-

ciée est donc :

La dérivée fonctionnelle de

n[v]

par rapport ^{à v}

est définie par la formule :

L’expression (6)

est correctement normalisée. Si

en effet on

remplace

^bv par 1 on a bien

bn[v 1 ] * dn/de

et en

conséquence (k ^Il 1 k)

^{= 1 comme il se doit.}

Il en résulte la formule

générale

La densité Thomas-Fermi associée à la formule des niveaux

(5)

^{s’obtient en} substituant

l’approxima-

tion

pk, équation (6),

dans la formule sommatoire

(4).

L’intégration

^{en k est}

remplacée

par ^une

intégration

en a. Les

limites d’intégration

sont ’10 ⁼

e(t)

^et

’1 ⁼

a(No

⁺

§).

^{Le facteur}

de/dn

⁼

deldk disparaît

lors du

changement

^{de variable. On obtient :}

La borne inférieure - oo assure à

p[v]

d’être mani- festement une fonctionnelle de la fonction v ⁼ 8 - V;

l’existence de

l’intégrale (8)

doit être vérifiée dans

chaque

^cas

particulier. il

^{et ’10} vérifient les

équations :

4. On

désigne

par

N[v]

la fonctionnelle définie _par

l’intégrale

^{en x de}

p [v]. L’intégrale

^{en x de}

p(x)

^est

donc

égale à N[’1 - V] - N[’1o - v] ^soit,

^{en tenant} compte ^de

(8) :

on intervertit l’ordre des

intégrations

^{et on} utilise les relations

(7)

^et

(9)

pour ^trouver le résultat utile :

On voit que le nombre de niveaux

occupés No

^s’ob- tient exactement en

intégrant p(x),

^{sans autre erreur}

que celle inhérente à la formule des niveaux. La correc-

tion d’Euler Maclaurin est

identiquement

^nulle pour cette

quantité

^et pour le

potentiel chimique

^{q. La}

formule

(10) permet

^de

caractériser il

^sans passer par l’intermédiaire de

n[v].

^En fait la donnée de la densité

p [v]

^est

équivalente

^{à celle} de la formule des niveaux

(5).

Celle-ci s’écrit en effet :

y ^est

indépendant

^{des. A}

priori

y est ^une fonctionnelle du

potentiel

^{Y. y est}

identiquement

^nul pour

l’approxi-

mation WKB. C’est

également

^{le cas} pour ^une classe

plus générale

de densités localement définies _{par le}

potentiel (section III).

Considérons maintenant la

grandeur énergie.

^Il

s’agit

^{de la somme des}

énergies

des niveaux

occupés,

C’est une

grandeur

^additive

qui

^est de la forme

En fait : ^{o o}

II.

Principes

variationnels et condition

d’intégrabi-

lité fonctionnelle. ^- La théorie Thomas-Fermi cons-

truite sur la formule des niveaux

n [v]

^{vérifie un}

prin- cipe

variationnel

général (Kohn

^{et Sham}

[11]) ^qui

implique

^un certain nombre de

propriétés importantes

telles _que la condition

d’intégrabilité

fonctionnelle et la relation du viriel. Calculons la variation

de E[v]

consécutive aux variations

br et ôV(x).

^{On a}

posé

v = ’1 - V. On varie la formule

(13).

^Il

apparaît

le terme :

que l’on transforme à l’aide de la formule

(6),

^{en obser-}

vant que bn -

ôN, d’après (9).

^On obtient la formule fondamentale :

8N est la variation de N consécutive à celles

due 1

^et

de

V(x).

^{On en déduit une nouvelle}

expression

^de

p[v], qui apparaît

^comme la dérivée fonctionnelle de E à N constant :

Considérons maintenant la fonctionnelle

E[p, V]

obtenue en

éliminant il

^entre

E[17 - V]

^et

N[p, V]

^{n’est en} fait fonction _que de _{p et} s’écrit :

La formule variationnelle

implique

que E ^est station- naire _pour toute variation de

p(x)

^laissant

N[p]

^inchan-

gée :

et

841

C’est un cas

particulier

^du

principe

variationnel

général

^{de Kohn et Sham}

[ 11 ].

^On peut s’affranchir de la contrainte ÔN ⁼ 0 en introduisant un

multipli-

cateur de

Lagrange ’1

^{et en} annulant la variation de

l’énergie

^libre d’Helmoltz :

consécutive à celle de _p avec la contrainte

ôq

^{= 0.}

La densité _p vérifie donc

l’équation :

On obtient

alors,

^à

partir

^de

(14)

^et

(18)

^{une autre}

expression

^de

p[v] :

On y

remplace

^F par ^son

expression (18)

^{en fonction}

de N et on dérive _par rapport à ri. On obtient ainsi la condition

d’intégrabilité fonctionnelle :

On a

remplacé ô V

par - bv. Cette

condition,

^de

caractère très

général, exprime simplement l’égalité

des deux dérivées secondes de F _par rapport

à il

^et

v(x)

Cette condition sera utilisée

plus

^loin pour obtenir

une densité correcte à

partir

^d’une

expression proposée

par Swiatecki

[13].

On va montrer que la relation du viriel

(23)

^est

vérifiée pourvu que

n[v]

soit dimensionnellement homo-

gène. n [v]

^est

homogène

si l’identité suivante est véri- fiée

quel

que soit

v(x)

^{et :}

Cette relation

implique :

En annulant la dérivée en À

pour À

^{= 1 on}

^obtient,

compte ^{tenu de}

(19)

On montre facilement _que la somme des deux

premiers

termes est

égale

^à

l’énergie cinétique

(on

^{utilise les relations}

⁽¹¹⁾

^et

^{(18) ;}

^on observe que

pV

^{dx est}

^l’énergie potentielle) ;

^{on a} donc bien :

III. Théories Thomas-Fermi locales en une dimen- sion. ^- Les formules

qui précèdent

^sont extrêmement

générales.

^{On va} maintenant se limiter au cas où la densité est définie _par le comportement ^{local de} de v _{= 1 -} V. Il suffit de considérer des formules de

quantification

de la forme :

P est une fonction universelle de

v(x)

^{et de ses n} pre- mières

dérivées ;

^{c est une constante.}

1. La formule des niveaux WKB-Dunham

[10]

est de cette

forme,

^{avec c =}

1/2

^{et :}

8(v) _

^{+ 1 ou 0 suivant} que v ^est

positif

^ou

négatif.

liP est

exprimé

^{sous forme} d’une série

semi-convergente

en

Fi2.

On a

explicité

^{les deux}

premiers

^{termes. Le}

premier correspond

^à

l’approximation

^{WKB et conduit}

à la théorie Thomas-Fermi usuelle. Les termes sui- vants sont des distributions très

singulières.

^La

signi-

fication du

symbole

de dérivation

D,,

^{est donnée dans}

[9] :

^on

intègre

^{en x avant} de dériver en c. La formule de Dunham conduit à la densité de Thomas-Fermi

avec corrections

quantiques.

On obtient ainsi

(en

une

dimension)

les formules

déjà

^connues

(Golden ^[4],

Kirzhnits

[3]) ; toutefois,

^{les fonctions}

singulières (non intégrables)

^sont

remplacées

par des distribu- tions bien définies

[9].

Bien d’autres formes de P sont

possibles.

^{On étudiera}

en détail

(Section IV)

^celle

qui correspond

^à

l’approxi-

mation de Swiatecki.

2. Calculons

l’expression générale

^de

ônlôv(x)

^rela-

tive à la forme

(24)

^de

n[v].

^{La variation de nn consé-}

cutive à une variation ôv de v est :

Pv’ PU--...

^{sont les dérivées}

partielles

^{de P} par rapport à v,

v’,...

^{On élimine les dérivées}

bv’, ...

par des inté-

grations

par

parties.

^On suppose que P ^{et ses} dérivées s’annulent aux deux extrémités du domaine

d’intégra-

tion en x. On obtient :

d’où

l’expression

de la dérivée fonctionnelle

[15]

Elle est

égale

^à la dérivée d’Euler _{de P par}

rapport

à x. On obtient

p[" - V]

^en

intégrant

^en 1.

L’expres-

sion de N est donnée _{par la} relation

générale (12),

soit :

avec y ⁼

N[110 - y].

^La

quantité

y ^est

identiquement

nulle pour

l’approximation

^WKB.

La condition

d’intégrabilité prend

^{une forme}

parti-

culièrement

simple.

^{On substitue}

(26)

^dans

l’équa-

tion

(21).

Elle s’écrit :

D/Dx

^{est la} dérivée d’Euler. Cette formule a

déjà

été donnée par Kirzhnits

[12].

^{Elle est}

identiquement

vérifiée si _p est la dérivée d’Euler d’une fonction P.

Elle a une

conséquence

immédiate : il n’existe _pas de densité

qui

^{soit fonction de v et v’} seulement. Nous _y reviendrons à propos de

l’approximation

^{de Swiatecki.}

3. On considère maintenant un cas

particulier important.

On suppose ^P fonction de v et v’

(si

^P

dépend

linéairement de v" on peut ^{éliminer cette}

dépendance

^en

ajoutant

^{à P} la dérivée d’une fonc- tion

Q(v, v’)

convenablement

choisie ;

la valeur de

n[v]

n’est pas modifiée si

Q

^{s’annule aux bornes de} l’intervalle

d’intégration).

Pour des raisons dimen- sionnelles P est de la forme :

j

^{est une variable sans dimension.}

La densité associée s’obtient en

intégrant

^{la for-}

mule

(26). L’intégration

en 1 s’effectue

explicitement [15].

^{On trouve :}

1’

est la dérivée

de ç

par rapport ^{à x. Sa valeur est :}

On peut ^{montrer sans} difficulté _que la

quantité

y,

équation (12),

^est

identique

^{à zéro si P est} asympto-

tique

^à

l’approximation

^WKB

quand h -

^{0. Autre-}

ment dit la condition

supposée

^valide pour ^{e assez}

grand, implique,

^{en ce}

qui

^concerne

(31),

qo ^est défini

par (9).

La contribution -

p[qo - V] à la

^{densité est tou-}

jours

^{omise en}

pratique. D’après (33)

^{cette omission}

est

justifiée

^{en moyenne si}

p[v]

^est de la forme

(31).

On observe _que le

potentiel chimique 11

^{est alors exac-}

tement donné _par

(33).

IV. La densité de Swiatecki modifiée en une dimen- sion. ^- 1. On

applique

^{la théorie}

précédente

^{à une}

expression

^{de la densité} introduite _par Swiatecki

[13].

La densité

proposée psw

relative à un état

d’énergie

^e

est exacte dans toute

région

^{où v est} linéaire. Elle

s’exprime

^à l’aide de la fonction

d’Airy Ai(x).

^Elle

s’écrit :

dk/de

^{est la densité de niveaux. Swiatecki a obtenu}

l’expression précédente

^en supposant ^{v localement} linéaire et en résolvant alors

l’équation

^{de Schrôdin-}

ger dont la solution finie est

proportionnelle

^{à Ai}

( - ç).

Le coefficient de normalisation de la formule

(14)

^est

alors exacte à

l’approximation

WKB. Cette densité décroît

exponentiellement

^{dans la}

région v 0,

^ce

qui

^est

qualitativement

^{correct. Elle est oscillante}

dans la

région v

> 0 où

l’amplitude

^{moyenne est}

asymptotiquement égale

à la valeur WKB

(2 nv’ )- .

La densité Thomas-Fermi

correspondante

^{vaut :}

On a

changé

^{de variable}

d’intégration,

^en posant de

=1

^v’

I2/3 ^dç’.

^{La fonction}

ço(()

^{est définie par :}

j

^{est calculé} pour ^a = il

(v

= il -

V).

^{Les fonctions}

An, n

⁼

0, 1,

^{... sont} définies dans

l’annexe,

^formule

(Al) ; l’intégrale Ao

^est

explicitement

^{donnée par}

(A3)

^en fonction de Ai et Ai’.

2. La densité

Psw[v]

^{n’est fonction que de v et}

^{v’ ;}

elle ne

peut

pas vérifier la condition

d’intégrabilité

fonctionnelle

(28)

^{et ne dérive donc pas} d’une formule des niveaux.

On ^se propose d’établir une

expression ^modifiée, p[v],

^{fonction de} v, v’ et

v", qui

dérive d’une formule des niveaux et

qui

^{coïncide avec} ps,,

équation (35), lorsque

^{v" = 0. On} pose :

La densité associée _p s’obtient à l’aide de la for- mule

(31),

^soit:

La valeur _{de sg}

(v’) ^1’

^{est donnée par}

l’équation (32).

On détermine ç ^en

imposant

^{à p d’être}

identique

^à

Ps,,,

lorsque

^{v" = 0. On obtient}

l’équation :

843

Elle

s’intègre

immédiatement. La solution nulle en

ç = -

^{oo est}

La fonction ₉ obtenue est donc

singulière en j

^{= 0.}

Mais la densité associée _p est

régulière.

^Elle

s’écrit,

en

exprimant

9 à l’aide de

tPo

et qJo,

Ces formules sont

générales, indépendantes

^{de la}

forme

particulière

^de qJo. On les

applique

^à

l’expres-

sion de

Swiatecki,

^soit ço ⁼

nAo(ç).

^{On obtient}

,po

⁼

nA1(ç) (Annexe A)

^et

ps, ^est donnée par la formule

(35).

La nouvelle _expres- sion

(37)

^{vérifie la condition}

d’intégrabilité

^fonction-

nelle. De

plus

^{elle est}

asymptotiquement (h - 0) plus précise

que PSw. En effet ^son

développement

^en

puissances

ascendantes de !i2 dans la

région v

> 0

coïncide,

^{en ce}

qui

^{concerne les termes non}

oscillants,

avec le

développement

^{exact construit sur la formule}

WKB-Dunham, jusqu’à l’ordre !i2

inclus. Ce n’était pas le cas en ce

qui

^concerne pst

3. Un test

numérique

^montre que p ^est

plus

^exact

que psw. La formule des niveaux associée à p est,

d’après (12)

^et

(33) :

La formule

analogue

associée à ps, ^sera notée _nsW.

On a calculé

numériquement n(ek)’ nSw(ek) et nWKB(8k) (approximation WKB)

pour les

premiers

niveaux _{el, e2, ...} relatifs aux

potentiels x2, x4 et x12

(les ^premiers

^niveaux

^d’énergie

^{sont donnés réf.}

[16]).

On ne

reproduit

pas les résultats relatifs à

x2,

^{où n et}

nWK$ donnent le résultat exact. Le tableau 1

reproduit

les valeurs relatives à x4 et

x12.

On constate que nsw ^et nWKB ^sont

comparables

^et que n

(formule

^de

Swiatecki

modifiée)

^est

beaucoup plus

^exacte.

TABLEAU 1

V. Théorie

générale

^{en trois} dimensions et

appli-

cation. ^- 1. On

envisage

maintenant le même pro- blème en trois dimensions. On suppose que les

No particules (de spin donné)

^{se meuvent dans le même}

potentiel v(r)

^à

symétrie sphérique.

^{Les variable} sangu- laires se

séparent

^{et la}

partie

^radiale

({J(r )/r

^vérifie

l’équation

^{d’onde en une} dimension :

Les niveaux

d’énergie e(kl)

^{sont alors}

approximati-

vement donnés _par la formule des niveaux

relative au

potentiel V

^{+ Â. avec}

L’expression :

représente

^{la densité}

radiale 1 ({J 2

^{relative à un niveau}

klm

(prise

^{en moyenne sur toutes les}

directions).

Elle est normalisée suivant la formule :

La densité tridimensionnelle

correspondante

^s’ob-

tient en divisant cette densité radiale _{par 4} nr 2

On construit la densité Thomas-Fermi

généralisée

^en

effectuant une sommation sur les

No

^niveaux

d’énergie

au

plus égale à ’1 :

On

remplace

la sommation sur k et 1 par ^une

intégration [7]. L’intégrale

^obtenue diffère de la

somme

précédente

par ^{un terme} correctif

(correction

d’Euler-Maclaurin

[14]) ^qui

^{sera omis dans la suite.}

L’intégration

^{en k est ensuite}

remplacée

par ^une inté-

gration

^{en e. On obtient}

avec

La seconde

intégrale

^{de la}

première équation

^est

trop

compliquée

pour être effectivement calculée : elle

correspond

^{au terme}

p[’1o - V]

^{du cas monodi-}

mensionnel ;

^{elle est}

identiquement

^{nulle dans le cas}

de

l’approximation

^WKB et, dans ^{le cas}

général,

^elle

est du même ordre de

grandeur

que la correction d’Euler-Maclaurin. On l’omet donc dans la suite.

Cette

approximation supplémentaire

étant faite on

observe _{que la} densité devient une fonctionnelle de la

quantité ’1 -

^{V, d’où la} notation utilisée dans

l’équa-

tion

(40).

^On posera aussi :

C’est la densité radiale associée à

n[ ]

^{et relative aux}

états de moment

angulaire

^{1 fixé et}

d’énergie

^inférieure

à

Le nombre de niveaux

occupés d’énergie

^inférieure

à il

^est

^donné,

^{avec les}

approximations indiquées plus haut,

par la formule :

compte

^tenu de la relation de normalisation

(39)

^et

de

(40).

^{Un calcul}

analogue

^pour

l’énergie £ £(k0

klm

donne, toujours

^{avec les mêmes}

approximations,

L’expression correspondante

^de

l’énergie

^libre

F ⁼ E -

qN

^est

2. On

généralise

^en trois dimensions les résultats obtenus

sgction

^{II. Les}

développements

^{sont formel-}

lement

analogues

^{et ne seront} pas

reproduits.

^Il

importe

ici de bien

distinguer

^les

symboles blôv(r)

^et

lJjfJv(r).

^{Dans le}

premier

^{cas on varie vautour du}

point

^r

(ôv - 8(r’ - r))

^et dans le second cas on varie

v au

voisinage

^{de la couronne d’aire 4}

^nr’

La relation entre les deux

symboles

^{est :}

Cette _remarque

faite,

^{on établit comme}

plus ^haut,

les

principes

variationnels

(17)

^et

(19).

Ils s’écrivent :

De la même

façon

^{on trouve}

(avec v

^{= ’1 -}

V)

ce

qui correspond

^à

(15)

^et

(20).

^Le théorème du viriel

en résulte- si la fonctionnelle

n[v]

^est dimensionnelle- ment

homogène.

La condition

d’intégrabilité (21)

s’établit ici de la même manière et s’écrit :

Ainsi les

principaux

^{résultats de la théorie en une}

dimension sont

transposables

^{en trois} dimensions.

Toutefois la formule

simple

^et

rigoureuse (9)

^liant

’1 ^et

No

^est

remplacée

par ^une formule

beaucoup plus compliquée

^et

qui

n’a pas été

explicitée :

^{on a en}

effet

remplacé

le domaine

d’intégration

^exacte de la formule

(40) (qui

^{conduit à une} correction d’Euler- Maclaurin nulle en ce

qui

^concerne

N)

par ^un domaine

plus simple

^où la condition

1/2 g k

^{est omise.}

3. On se limite maintenant au cas où la fonction- nelle n a la forme

simple (29)

considérée section III. 3

avec v - Â au lieu de v.

P(v - Â,

^{v’ -}

Â’)

^{s’écrit :}

avec

toujours

^{À =}

1(l

⁺

1)/r2. L’expression

^de

bn/bv(r)

a été calculée

plus

^{haut et son}

intégrale :

résulte immédiatement de la formule

(31).

^{C’est une}

fonction de

v - À,

^{v’ + 2}

Âlr

et v" - 6

Alr 2.

^{La den-}

sité Thomas-Fermi tridimensionnelle

p[v]

^{est donnée}

par

(40).

C’est manifestement une fonction

de v, v’,

^v"

et r :

Avec

dÀ/dl

⁼

(2 l

⁺

1)/r2 l’intégrale précédente

s’écrit :

Cette

expression

^se

simplifie

^{à la limite r - oo ;}

dans ce cas pl ^ne

dépend plus

que de

v-À.,

^{v’ et v"}

et

l’intégration

^en peut ^être

remplacée

par ^une inté-

gration

^{en e ; on} obtient alors :

où po ^est

égal

^{à pi} pour 1= À ⁼

0 ;

^{c’est la densité} radiale des niveaux

S (1

⁼

0) occupés.

^{Elle est donnée}

par la formule :

d£

La formule

(51)

^{est valable} pour ^r infini

(courbure négligée).

^{Revenons au cas où r est}

quelconque.

^On

peut obtenir le résultat cherché sans calcul si on admet que p doit être une fonction de

quantités

locales inva- riantes telles _que

v, 1 grad v 1 = 1 v’ 1

^{et :}