Problème : Formules à la John Machin
Le problème est consacré à quelques-unes de très nombreuses formules qui expriment π4 sous la forme d’une combinaison linéaire à coefficients entiers d’arc-tangentes d’inverses d’entiers.
La plus célèbre est
π
4 = 4 arctan1
5 −arctan 1 239 due à John Machin.
Pour cette raison, les formules du types π 4 =
p
X
k=1
akarctan 1 bk
où a1,· · · , ap sont des entiers non nuls et b1,· · · , bp sont des entiers supérieurs ou égaux à 2, sont souvent appelées formules à la « Machin ».
Partie No1 : Machin et Fibonacci 1. Cette question doit être traitée uniquement par la géométrie.
(a) Observer la figure ci-contre
et montrer que
π
4 = arctan1
2 + arctan1 3. (b) Observer la figure ci-contre
et montrer que
arctan1
3 = arctan1
5 + arctan1 8. En déduire une nouvelle formule à la « Machin ».
2. On définit la suite de Fibonacci par F0 = 0,F1= 1 et, pour toutn>2,Fn=Fn−1+Fn−2. (a) Montrer que, pour tout n>1,Fn∈N?.
Il est alors légitime de poser, pour tout n>1,Gn= arctanF1
n. (b) Prouver l’égalité
∀n∈N, Fn+12 =FnFn+2+ (−1)n.
1
(c) En déduire que
∀n>1, G2n=G2n+1+G2n+2 .
(d) Pour tout n>2, en déduire les formules à la « Machin » π
4 =
n−1
X
k=1
arctan 1
F2k+1 −arctan 1 F2n.
Partie No2 Machin et Lehmer
1. Dans cette question,z=a+ibest un nombre complexe donné, avec a∈R etb∈R?.
(a) Exprimer l’argument de z (modulo π) en fonction de arctanab si a 6= 0 et préciser le cas a= 0.
(b) On pose ϕ(z) = (−n+i)zoù nest la partie entière de ab.
Montrer que si b >0 alors06Im(ϕ(z))< b et que si b <0 alorsb <Im(ϕ(z))60.
2. Dans cette question, on suppose queaetb sont des entiers relatifs non nuls.
On définit une suitez0, z1,· · · , zk,· · ·, de premier terme z0 =a+ib, de la façon suivante : Sizk est connu et siImzk6= 0, on pose zk+1 =ϕ(zk).
(a) Montrer que la suite (zk)est finie.
Il en résulte qu’il existe un plus petit entier ptel que Im(zp) = 0.
(b) En déduire l’existence d’entiers n0,· · ·, np−1 tels que arctanb
a ≡
p−1
X
k=0
arctan 1 nk [π].
On prendra pour convention que arctann1
k ≡ π2 [π]si nk= 0.
3. L’algorithme passant dez=a+ibà la liste[n0,· · ·, np−1]est du à Lehmer.
Écrire un programme Python prenant en entrée un complexezsous la formea+ibet renvoyant la liste[n0,· · · , np−1].
On rappelle qu’en Python,floor(x)retourne la partie entière dex, quecomplex(0,1)désigne le nombre complexe i et que z.real etz.imag retournent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du complexez.
Partie No3 : Machin et Gregory
Pour tout n∈Net toutx∈[0,1], on pose un(x) =
n
X
k=0
(−1)kx2k+1 2k+ 1.
1. Montrer que, pour tout t∈[0,1],u0n(t) = 1+t12 + (−1)nRn(t) où Rn(t) = t1+t2n+22. 2. En déduire que, pour toutn∈N, pour toutx∈[0,1],un(x) = arctan(x) + (−1)nRx
0 Rn(t)dt.
3. En remarquant que, pour tout t∈[0,1],06Rn(t)6t2n+2, montrer que (a) pour tout n∈N,u2n+1(x)6arctan(x)6u2n(x).
(b) pour tout n∈N,|arctan(x)−un(x)|6 x2n+32n+3.
4. Soitx∈[0,1]. Déduire que la suite (un(x))converge versarctan(x).
2
5. Soit
π 4 =
p
X
j=1
ajarctan 1 bj
(?) une formule à la « Machin ».
On suppose par exemple26b1 < b2 <· · ·< bp. Pour tout n∈N, on pose vn= 4
p
X
j=1
ajun
1 bj
.
Montrer que lim
n→+∞vn=π et justifier que si on recherche la rapidité de la convergence vers π on doit privilégier les formules (?) avec la plus grande valeur deb1 possible.
6. Dans le cas où (?) est la formule de John Machin, donner un entier n à partir duquel nous avons
|vn−π|6100−100. Donnée numérique : Si n>70 alors (2n+1)×252 n+1 6100−100.
* * * FIN DU SUJET * * *
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