Énergie d'interaction coulombienne mutuelle d'un système de deux ellipsoïdes uniformément chargés admettant un axe de symétrie global

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Submitted on 1 Jan 1969

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Énergie d’interaction coulombienne mutuelle d’un système de deux ellipsoïdes uniformément chargés

admettant un axe de symétrie global

Ph. Quentin

To cite this version:

Ph. Quentin. Énergie d’interaction coulombienne mutuelle d’un système de deux ellipsoïdes unifor- mément chargés admettant un axe de symétrie global. Journal de Physique, 1969, 30 (7), pp.497-500.

�10.1051/jphys:01969003007049700�. �jpa-00206809�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

ÉNERGIE D’INTERACTION COULOMBIENNE

^MUTUELLE

D’UN

SYSTÈME DE DEUX ELLIPSOÏDES UNIFORMÉMENT CHARGÉS

ADMETTANT

UN

AXE

DE

SYMÉTRIE

^GLOBAL

Par PH.

QUENTIN,

Service de la Métrologie ^{et de la} Physique Neutroniques Fondamentales, ^{Centre d’Études} Nucléaires de Saclay.

(Reçu

^{le 6 mays}

1969.)

Résumé. 2014

L’énergie

d’interaction coulombienne mutuelle d’un

système

^{de deux}

ellipsoïdes

admettant un axe de

symétrie global,

^{évaluée sous forme de} série double par Darwin

puis

Cohen et Swiatecki, est donnée par ^une formule en termes finis. On étudie le domaine de validité de la formule ainsi que les ^cas limites où l’un des

ellipsoïdes

^{tend vers la}

sphéricité.

^Un

exemple d’application

^{de cette formule est donné.}

Abstract. ²⁰¹⁴ The mutual coulombian interaction energy ^{of a} system ^{of two}

ellipsoids

with a total

symmetry-axis,

^{evaluated as a} double series

by

Darwin after

by

^{Cohen and} Swiatecki,

is

given

^{here in a} finite-terms formula. We

study

^the field of relevance of the formula, as

also the limit cases in which one of the

ellipsoids

^{becomes a}

sphere.

^An

example

^{of an}

application

^is

given.

1. Introduction. ^- Le

probleme

^de 1’evaluation d’une telle

energie

^se pose, ^en

particulier,

dans certains

problemes

^{lies a} la fission nucl6aire. Au moment de la scission en deux

fragments,

^{certains auteurs}

[1]

supposent, pour des raisons de commodite math6ma-

tique,

que les dits

fragments

^ont la forme de deux

ellipsoides

de revolution ayant ^{des axes de}

sym6trie alignes (1).

^La consideration de

1’energie

coulombienne mutuelle est

importante

pour la

dynamique

^{du centre}

de masse d’un

fragment,

^le

champ

coulombien 6tant le seul

champ

ext6rieur. D’autre

part,

^{dans un modele}

statistique

de la fission

[2],

^cette

energie

^mutuelle

apporte ^une contribution a

1’energie potentielle

^d’une

configuration

de scission.

Darwin

[3]

^{a considere} l’interaction

gravitationnelle

de deux

ellipsoides quelconques.

11 1’a d6duite de la forme du

potentiel

^{cree en un}

point (X, Y, Z)

par ^un

ellipsoide

^{de masse}

Q1’

^d’axes

A, B, C, place

^a

l’origine :

L’6nergie

d’interaction avec un autre

ellipsoide

^de

masse

Q2

^{sera :}

(1)

Pour notre

probleme,

^{il n’est} pas n6cessaire ^de sup- poser que les

ellipsoides

^{sont au contact.}

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. ^{- T.} 30. N° 7. JUILLET 1969.

Cohen et Swiatecki

[4]

^ont

transpose

^{au cas coulom-}

bien et au cas de deux

ellipsoides

de revolution

allong6s

et tels _que le

syst6me

total admette un axe de

sym6trie

de revolution. Ils ont deduit la formule suivante :

avec les notations suivantes

(cf. fig. 1) :

2013

R12,

distance des deux centres des

ellipsoides,

Xl

(ou x2),

nouvelle variable d6finie _par son carr6 :

(a

^{et b 6tant} les valeurs des demi-axes de

l’ellipsoide

sur la direction de I’axe de

sym6trie

^et la direction

perpendiculaire) .

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003007049700

498

L’6nergie

d’interaction coulombienne mutuelle s’6crira donc :

2. Sommation de la serie. ^- Nous allons sommer

la s6rie double

S(x, y).

Nous transformons la factorielle du numérateur en une

int6grale

^{sur le contour C}

(cf. fig. 2)

^{suivant la}

formule :

La formule

(7)

^{se d6montre en calculant}

l’int6grale

sur la

partie rectiligne

^{et la}

partie

circulaire de C.

L’int6grale

^{sur la}

partie

circulaire est

nulle;

^{sur la}

partie rectiligne,

^{on a :}

La s6rie s’ecrit maintenant :

ttudions

la

fonction f (x)

^en

remarquant

que :

donc

f( x)

^{est la}

partie paire

^{de :}

ce

qu’on

^{6crit :}

Px[A]

voulant dire

partie paire

^{en x de A.}

L’expression (8)

^{devient :}

On

peut

donc écrire :

Supposons

^oc >

0,

^nous discuterons

plus

^loin

(sec-

tion

III)

^cette

condition;

^en effectuant le

changement

de variable Z ⁼ ocz, ^nous obtiendrons :

Sachant _{que :}

(y

^{est la constante}

d’Euler),

^{on obtient pour}

Calcul de

12 (n) .

^-

Toujours

^en

supposant

^cx >

0,

on

applique

le th6or6me des residus en fermant le

contour autour de

l’origine;

^{on obtient :}

Donc la formule

(12)

^{devient :}

On obtiendra donc _pour les deux

premiers

^termes

du crochet une

partie polynomiale

^{en x} et y, ^et pour le dernier le

produit

^d’un

polynome

par ^un

logarithm e.

Nous effectuons le calcul en prenant ^la

partie impaire

en x et en y de :

soit :

finalement :

3. Domaine de validite

physique

^et domaine de convergence. ^- Si

1’ellipsoide

^est

allong6,

la variable x

est

r6elle,

^{et en}

explicitant

^la

dependance

^{en e on}

voit _que 0 x 1

(s

^6tant

1’excentricite) .

Si

1’ellipsoide

^est

aplati,

la variable x est

imaginaire

pure

(cf.

^formule

(4)).

Dans ce

cas, [ x n’est plus

^borne.

La demonstration donnee pour le calcul de

1’energie

mutuelle

depend

^{de la} realite de x ou de _y, mais pas le r6sultat.

Consid6rons la s6rie

S(x, y).

Le terme

general

^{de la suite est}

major6

^{en module}

par :

converge pour

x I + I y I

^1.

Donc les _rayons de convergence pour x ^et pour y

de E

^{sont tels}

que I x -)- I y

^{1 au}

plus.

La formule condens6e donnee en

(20)

^{a ete d6montr6e}

dans le cas ou les deux

ellipsoides

^6taient

allong6s

^et

également

^avec

l’hypothèse (vérifiée

^{dans ce}

cas)

^de

1 + x + y > o.

Cette

quantit6 pr6sente

^une

singularit6

^{en :}

En dehors de ces

points

^{et des} coupures que l’on introduit a cause des

logarithmes,

^{on a donc fourni un}

prolongement analytique

^{de la s6rie en dehors du}

domaine de convergence, ^en

particulier

pour les

points

d’int6r6t

physique

^{de notre}

problème.

4. Cas limite d’interaction d’une

sphere

^{et d’un}

ellipsoide.

^{- Dans le cas} ou l’un des

ellipsoides

^est

une

sphere,

^la

quantite y

^{= 0 et la s6rie}

(6)

^{devient :}

qu’il

^{est ais6 de sommer :}

On peut ^{retrouver ce r6sultat a}

partir

de la for- mule

(20),

^{en effet :}

avec

ly[A]

voulant dire

partie impaire

^de

^A,

^en y.

En effectuant les

operations

^{du second terme et a}

l’ordre 1 _{en y,} on trouve :

En prenant ^un

d6veloppement

^{limit6 du}

logarithme jusqu’a

^{l’ordre 3}

en _1 Y ,

le troisi6me terme devient

1 +x à l’ordre 1 _{en y :}

En effectuant la somme

(26),

^{on trouve} pour ^cette limite la

quantite

^{calcul6e en}

(25).

5.

Exemple d’appheation.

^{- La formule}

(20)

^d’un

emploi num6rique

^{ais6 meme au}

voisinage

^{de zero}

pour l’un des

param6tres

^{nous a}

permis

^{de faire}

quel-

ques calculs

d’6nergie

^de

configuration

de scission

(2).

(2)

^A

publier.

500

En

effet, l’énergie potentielle

d’une telle

configuration

est la somme de deux

energies

^propres

(on

suppose

qu’elles

^{sont donn6es par une formule}

semi-empirique

de masse tenant

compte

des deformations ^- _par

exemple [5])

^{et de}

1’energie

^{mutuelle que nous avons}

evaluee. Dans une

hypothese statistique,

la recherche de la

configuration

^la

plus probable

^se

^ram6ne,

^en

derniere

analyse,

^a la minimisation de

1’energie

^poten-

tielle,

suivant les

parametres

^{de la}

configuration,

^en

particulier

suivant les excentricit6s des deux

fragments.

Je

^{tiens a remercier tres vivement M.} Michel Gaudin

qui

^{a eu l’id6e de ce calcul et}

qui

^m’a

apporte,

^{a cette}

occasion,

^son soutien de

façon

constante et devouee.

BIBLIOGRAPHIE

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