Th´ eor` eme de Krein-Milmann

Th´ eor` eme de Krein-Milmann

Lemme 0.1. Soit a ∈K tel qu’il existe un hyperplan d’appui H contenant a, alors a est extr´emal dansK si et seulement si a est extr´emal dansK∩H.

D´emonstration. ? Soit a extr´emal dans K. Soit u, v ∈ K∩H tels que a = u+v

2 , alors en particulier, u et v appartiennent `a K. L’´egalit´e a = u+v

2 est encore valable dans K, or a est extr´emal dans K, donc u=v =a. Le point a est donc extr´emal dans K∪H.

? Soita un point extr´emal de K∩H. Il existe une forme lin´eaireϕtelle que H =ϕ⁻¹({1}) et K ⊂ {ϕ61}. Soit u, v ∈K tels que a = u+v

2 , on a donc

1 = ϕ(a) = ϕ

u+v

2

= ϕ(u) +ϕ(v)

2 61

or ϕ(u) 6 1 et ϕ(v) 6 1, on doit donc avoir ϕ(u) = ϕ(v) = 1. On a donc u, v ∈ K ∩H, or a est extr´emal dans k∩H, l’´egalit´e a = u+v entraine donc a=u=v. 2

Th´eor`eme 0.1 (Krein-Milmann). Soit K un convexe compact de Rⁿ, alors K est l’enveloppe convexe de ses points extr´emaux.

D´emonstration. SoitE_a(K) l’espace affine engendr´e parK, nous allons mon- trer le r´esultat par r´ecurrence sur la dimension de E_a(K).

Supposons que dim(E_a(K)) = 0, alors K est un singleton et le r´esultat est ´evident puisque l’ensemble des points extr´emaux de K estK lui-mˆeme.

Supposons le r´esultat vrai pour tout convexe C tel que dim(E_a(C))< p.

Supposons que dim(E_a(K)) = p. Comme K est un convexe compact non vide,K est l’enveloppe convexe de sa fronti`ere. Il suffit donc de montrer que Fr(K)⊂conv(E(K)).

1

Soit c ∈ Fr(K), alors il existe un hyperplan d’appui contenant c. c ∈ K ∩ H, or dim(E_a(k ∩ H)) 6 dim(H) < p, donc d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, cest combinaison convexe des points extr´emaux de K∩H.

Or d’apr`es la question pr´ec´edente, E(K∩H)⊂ E(K), donc a fortiori, c est combinaison convexe des points extr´emaux de K. Ceci ´etant vrai pour tout point de la fronti`ere, et comme conv(Fr(K)) =K, la propri´et´e est vrai pour tout point de K. On a donc d´emontr´e le th´eor`eme.

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