On considère la suite ( ) u

PanaMaths Janvier 2012

On considère la suite ( ) u

n

définie par :

1

1

2

n

2

n

u

u u

₋

⎧⎪

⎨⎪

⎩

=

= −

En étudiant les suites ( ) ^u

²ⁿ

^et ( ^u

²ⁿ⁺¹

) , montrer que la suite ( ) u

n

est convergente.

Analyse

Une récurrence du type un₊1= f u

( )

n où les premières questions où la fonction considérée est strictement décroissante. On mène alors classiquement l’étude des suites

( )

u2n et

(

u2n₊1

)

.

Résolution

Pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 2, on a :

( )

1 1

n 2 n n

u = −u ₋ =ϕ u ₋ avec ϕ:x6 2−x

La fonction ϕ est définie sur l’intervalle

]

^{−∞; 2}

]

et elle y est strictement décroissante comme composée d’une fonction strictement décroissante (la fonction affine x62−x) et d’une fonction strictement croissante (la fonction racine carrée).

On en déduit immédiatement que la fonction ϕ ϕD est strictement croissante. D’où l’idée (suggérée dans l’énoncé) d’étudier les suites

( )

u2n et

(

u2n₊1

)

qui, du fait de la croissance de ϕ ϕD , sont monotones.

Pour déterminer la monotonie de

( )

u2n , il suffit de comparer u₂ et u4 =

(

ϕ ϕD

)( )

u2 .

Comme : u2=ϕ

( )

u1 = 2− 2 et u4=ϕ

( )

u3 = 2− u3 = 2− 2− 2− 2 et comme la fonction ϕ est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{−∞; 2}

]

, on va d’abord comparer u₁ et u3=

(

ϕ ϕD

)( )

u1 (cette comparaison nous servira ensuite pour l’étude de la suite

(

u2n₊1

)

).

PanaMaths Janvier 2012

On a : ^u3=

(

^{ϕ ϕD}

)( )

^{u1 =ϕ ϕ}

( ( )

^u1

)

^=ϕ

(

^{2− 2}

)

^{= 2− 2− 2 .}

Les réels u₁ et u₃ étant positifs, comparons leurs carrés.

On a : u₁² =2 et u₃²= −2 2− 2.

On en déduit immédiatement : u₃²<u₁² et donc : u₃<u₁.

Ainsi, on en conclut que la suite

(

u2n₊1

)

est strictement décroissante.

Comme on a : u₁= 2>0 et ^{∀ ∈x}

]

^{0 ; 2 ,}

] ( )

^{ϕ x ≥0}, on en déduit que la suite

( )

un est positive. Il en va de même pour la suite

(

u2n₊1

)

qui est donc minorée par 0.

Æ La suite

(

u2n₊1

)

étant décroissante et minorée, elle converge.

On a vu que l’on avait : u₃<u₁.

La fonction ϕ étant strictement décroissante, on en tire : ϕ

( )

u3 <ϕ

( )

u1 , soit : u₄>u₂. La croissance (stricte) de la fonction ϕ ϕD nous permet alors de conclure que la suite

( )

u2n

est (strictement) croissante.

Or, on montre facilement par récurrence que la suite

( )

un est majorée par 2 . Comme u₁= 2, l’initialisation est immédiate.

Soit alors n un entier naturel non nul quelconque et supposons que l’on ait : u_n≤ 2. Comme on a : 0≤u_n ≤ 2, il vient : ^ϕ

( )

^{0 ≥ϕ}

( )

^{un ≥ϕ}

( )

^{2 . Soit : 2≥un+1≥ϕ}

( )

^{2 .}

La propriété est bien héréditaire.

La suite

( )

un est donc majorée. Il va donc de même pour la suite

( )

u2n . Æ La suite

( )

u2n étant croissante et majorée, elle converge.

Notons L et 'L les limites respectives des suites

( )

u2n et

(

u2n₊1

)

. Comme la fonction ϕ ϕD est continue, on a :

( )( ) ( ) ( ) ^{( )( )}

2 2 2 2

lim _n lim _n lim _n

n n n

L u ₊ ϕ ϕ u ϕ ϕ u ϕ ϕ L

→+∞ →+∞ →+∞

= = D = D = D

Par ailleurs, comme on a, pour tout entier naturel n non nul : 0≤u_2n≤ 2, on en déduit que l’on a aussi : 0≤ ≤L 2.

Ainsi, la limite L est un point fixe de la fonction ϕ ϕD compris entre 0 et 2 . En procédant de façon analogue, on conclut à l’identique sur la limite L'. Intéressons-nous maintenant aux points fixes de la fonction ϕ ϕD .

On cherche donc à résoudre :

(

^{ϕ ϕD}

)( )

^{x =x} sur l’intervalle 0 ; 2⎡⎣ ⎤⎦.

PanaMaths Janvier 2012

On a :

( )( )

( )

2 2

2 4 2

2

0 ; 2

2 2 2 2

2 2

0 ; 2 0 ; 2

0 ; 2

4 2 0

2 2

0 ; 2 0 ; 2

x x

x

x x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

ϕ ϕ =

⎧⎪⎨ ∈⎡ ⎤

⎪ ⎣ ⎦

⎩

⎧ − − = ⎧ − − = ⎧ − = −

⎪ ⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎩ ∈⎡⎣ ⎤⎦ ⇔⎨⎪⎩ ∈⎡⎣ ⎤⎦ ⇔⎨⎪⎩ ∈⎡⎣ ⎤⎦

⎧ − = − ⎧ − + + =

⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎩ ∈⎡⎣ ⎤⎦ ⇔⎨⎪⎩ ∈⎡⎣ ⎤⎦ D

On constate que la somme des coefficients de x⁴−4x²+ +x 2 est égale à 0. On en déduit que 1 est solution de l’équation x⁴−4x²+ + =x 2 0. On peut donc factoriser par x−1 et on obtient : ^{x4−4x2+ + =x 2}

(

^x−1

) (

^{x3+x2−3x−2}

)

^.

−2 est racine de x³+x²−3x−2 et il vient : ^{x3+x2−3x− =2}

(

^x+2

) (

^{x2− −x 1}

)

^.

On a donc : ^{x4−4x2+ + = ⇔x 2 0}

(

^x−1

)(

^x+2

) (

^{x2− − =x 1}

)

^0.

Enfin, on montre facilement que les racines du trinôme x²− −x 1 valent 1 5 2 0

− < et

1 5

2 2

+ > . Ainsi, on a :

4 2

4 2 0

0 ; 2 1

x x x

x x

⎧ − + + =

⎪ ⇔ =

⎨ ∈⎡ ⎤

⎪ ⎣ ⎦

⎩

Les deux suites

( )

u2n et

(

u2n₊1

)

admettent pour limite commune : 1.

Finalement, la suite

( )

un converge vers 1.

Résultat final

La suite

( )

un définie par u₁= 2 et u_n= 2−u_n−1 (pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2) est convergente de limite égale à 1.

PanaMaths Janvier 2012

Complément

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique des points

(

n u^; n

)

pour n de 1 à 7.