Automorphisme de Z /n Z .

Automorphisme de Z /n Z .

Référence :Francinou-Gianella, Exercices de mathématiques pour l’agrégation, p7 (modifica- tion de la fin pour éviter les suites exactes)

On a l’isomorphisme

(Z/nZ)^× −→ Aut (Z/nZ)

s 7−→ x7→sx .

En notantn=p^α₁¹. . . p^α_r^r, par le théorème chinois, on a (Z/nZ)^×∼=

r

Y

i=1

(Z/p^α_iⁱZ)^×.

Théorème. ppremier impair, (Z/p^αZ)^×∼=Z/ϕ(p^α)Z=Z/p^α−1(p−1)Z. (Z/2Z)^×∼={1};(Z/4Z)^×∼=Z/2Z;α≥3,(Z/2^αZ)^× ∼=Z/2Z×Z/2^α−2Z. Démonstration.

• pimpair.

Lemme. ∀k∈N,∃λ∈N^∗, pgcd(λ, p) = 1, (1 +p)^pk = 1 +λp^k+1. Démonstration. Par récurrence sur k.

k= 0, ok avecλ= 1.

k≥1. Par hypothèse de récurrence, il existeλ∈N^∗, pgcd(λ, p) = 1, (1 +p)^pk−1 = 1 +λp^k.

(1 +p)^pk= (1 +λp^k)^p= 1 +

p−1

X

i=1

p i

λⁱp^ki+λ^pp^kp

Or∀ 1≤i≤p−1, p| p

i

. Donc∀ 2≤i≤p−1, p^k+2| p

i

λⁱp^ki etp^k+2|p^kp carp≥3.

Ainsi

(1 +p)^pk = 1 +λp^k+1+hp^k+2

= 1 + (λ+ph)p^k+1 et on a bien pgcd(λ+ph, p)=pgcd(λ, p)=1.

Ainsi∀k∈ {1, . . . , α−2},(1 +p)^pk = 1 +λkp^k+16= 1[p^α] et (1 +p)^pα−1 = 1 +λ_α−1p^α= 1[p^α].

1 +pest donc un élément d’ordre p^α−1 dans (Z/p^αZ)^×.

CommeZ/pZest un corps, (Z/pZ)^× est cyclique de cardinalp−1.

id:Z−→Zinduit

ψ: (Z/p^αZ)^× −→ (Z/pZ)^×

¯

x 7−→ xmodp .

ψ est clairement surjectif. Soit y ∈(Z/pZ)^× tel que ψ(y) engendre (Z/pZ)^× ∼=Z/(p−1)Z. Soitrl’ordre dey. On a 1 =ψ(1) =ψ(y^r) =ψ(y)^r. Doncp−1|r.

Comme pour tout d | n, il existe un unique sous-groupe d’ordre d de Z/nZ, ∃x ∈< y >

d’ordrep−1.

Enfin, comme (Z/p^αZ)^× est abélien,x(1 +p) est d’ordrep^α−1(p−1) =

(Z/p^αZ)^× car les ordres sont premiers entre eux. (Z/p^αZ)^× est donc cyclique et est isomorphe à Z/ϕ(p^α)Z = Z/p^α−1(p−1)Z.

• p= 2.

(Z/2Z)^×∼={1}et (Z/4Z)^×∼=Z/2Zsont clairs.

Désormais α≥3.

Lemme. ∀ k∈N,∃λimpair tel que 5^2k= 1 +λ2^k+2. Démonstration. Par récurrence sur k.

k= 0 est clair : 5 = 1 + 2².

k≥1. Par hypothèse de récurrence, il existeλimpair tel que 5^2k−1 = 1 +λ2^k+1. D’où 5 = 1 +λ2^k+12

= 1 + 2λ2^k+1+λ²2^2k+2

= 1 + 2^k+2(λ+λ²2^k

| {z }

impair

) .

Ainsi, comme dans le premier cas, 5 est d’ordre 2^α−2dans (Z/2^αZ)^×. Le groupe <5>est d’indice 2 dans (Z/2^αZ)^×, il est donc distingué.

−1∈</ 5>. En effet, si−1∈<5>, il exister∈Ntel que−1 = 5^r [2^α], i.e.−1 = 5^r+λ2^α, α∈Z. Cette égalité modulo 4 donne 1 = 3 ce qui est manifestement faux.

Ainsi<−1>∩<5>={1}et |<−1>|.|<5>|= 2^α−1=

(Z/2^αZ)^× . On a donc

(Z/2^αZ)^×∼= <5>

| {z }

∼=Z/2^α−2Z

o<−1>

| {z }

∼=Z/2Z

.

Or (Z/2^αZ)^× est abélien donc le produit semi-direct est en fait direct.