zz zz zz + zz z z + +−− 11 1111 z z z z

PanaMaths

Février 2014

On considère l’équation : 3 z

− + = 5 z 5 0 et on note z

et z

ses deux racines.

Sans calculer z

et z

, déterminer le module des complexes suivants :

1 2

z + z , z z

, z

, z

,

1 2

1 1

z + z et

1 2

1 1

1 − z + 1 − z

Analyse

A partir de l’équation proposée, on a facilement la somme et le produit des racines … On n’oublie pas également que les racines complexes d’une équation du second degré à coefficients réels sont conjuguées.

Résolution

Rappelons que pour l’équation az²+bz+ =c 0 (avec a≠0), la somme et le produit des racines, quel que soit le signe du discriminant, sont donnés par b

−a et c a. On a donc ici : _{1 2} 5 5

3 3

z +z = −− = et _{1 2} 5 z z =3. On a donc immédiatement : _{1 2 1 2} 5

z +z = z z =3.

L’équation étant à coefficients réels, on a : z₂ =z₁ et donc : z₂ = z₁ = z₁ .

D’où : _{1 2} 5 _{1 2} 5 ₁² 5 ₁ 5

3 . 3 3 3

z z = ⇔ z z = ⇔ z = ⇔ z = (un module étant positif).

On a donc : _{1 2} 5 z = z = 3.

On a : ^{1 2}

1 2 1 2

5

1 1 3 1

5 3

z z

z z z z

+ = + = = et, de fait :

1 2

1 1 z + z =1.

PanaMaths

Février 2014

On a :

( )( ) ( )

(

)

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

5 1

2 2

1 1

1 1 3 3 1

5 5

1 1 1 1 1 1 1 3

3 3

z z

z z

z z z z z z z z

− + −

− + −

+ = = = = =

− − − − − + + − +

.

D’où, immédiatement :

1 2

1 1 1

1 z +1 z =3

− − ^.

Résultat final

En notant z₁ et z₂ les racines complexes de l’équation 3z²−5z+ =5 0, on a :

1 2 1 2

5

z +z = z z =3, _{1 2} 5 z = z = 3,

1 2

1 1

z + z =1 et

1 2

1 1 1

1 z +1 z =3

− − ^.