Application numérique :n>21

A639. Multi-partitions ***

Soit un entiern>3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensembleE de 2nentiers positifs dis- tincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entierm=2, 3,...,non peut réaliser une partition de Een deux sous-ensembles de même somme avec l’un des sous-ensembles de cardinalm.

Application numérique : trouver le plus grand entierntel que les deux éléments extrêmes deEsont égaux à 1 et 2021.

Solution de Claude Felloneau

Pourn>3, il existe toujours au moins un ensembleE de 2n entiers positifs distincts vérifiant la condition imposée.

Application numérique :n>^21.

• Sin=3, on peut prendreE_n=©

1, 2, 3, 4, 5, 7ª : - pourm=2, la partition (A,B) avecA=©

4, 7ª

etB=©

1, 2, 3, 5ª

convient.

- pourm=3, la partition (A,B) avecA=© 4, 2, 5ª

etB=© 1, 3, 7ª

convient.

•Sin>^{4, soitE}=©

a1,a2, ...,a2nª

où lesai, 16ⁱ62n, sont des entiers distincts ets=

2n

X

i=1

ai. On suppose que

(1) a_2n+a_2n−1=s/2 et pour 16^k6ⁿ−1, a_2k+1=a_2k+a_2k−1 Pour 26^m6^{n, on poses}m=a2n+a2n−2+...+a2n−2(m−2)+a2n−2m+3.

Pour 26^m6ⁿ−1,s_m+1=s_m−a_2n−2m+3+a_{2n−2(m−1)}+a_2n−2m+1=s_m cara_2n−2m+3=a_{2n−2(m−1)}+a_2n−2m+1.

Donc pour 26^m6^n,sm=s2=s/2.

En prenantA={a_2n,a_2n−2, ...,a_{2n−2(m−2)},a_2n−2m+3} etBle complémentaire deA dansE, (A,B) est une partition deEet card(A)=met la somme des entiers appartenant àAests/2.

AinsiEvérifie les conditions imposées.

Reste à trouver des entiers distinctsa1,a2, ...,a2nqui vérifient (1).

On prenda1=1, puisa2=a1+1=2,a3=a2+a1=3,a4=a3+1=4,a5=a4+a3=7,a6=a5+1=8 ...

Pour 16^k6^n,a2k−1=2^k−1 eta_2k=a_2k−1+1=2^ksik<n.

Ces entiers sont distincts deux à deux puisquea2kest pair,a2k−1est impair et la suite¡ 2^k¢

k>¹est stricte- ment croissante.

Pour 16^k6ⁿ−1,a_2k+a_2k−1=2^k+2^k−1=2^k+1−1=a_2k+1.

Il reste à choisira_2npour quea_2n+a_2n−1=s/2 c’est-à-dire 2a_2n+2 (2ⁿ−1)=

n−1X

k=1

2^k+

n

X

k=1

³ 2^k−1´

+a_2n soita_2n= −2 (2ⁿ−1)+2¡

2ⁿ⁻¹−1¢

+2 (2ⁿ−1)−n=2ⁿ−n−2.

On aa2n−2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹−n−2 et pour tout entierp>^1,¡2p−(p+1)−2¢

−¡

2^p−1−p−2¢

=2^p−1−1>⁰ donc la suite¡

2^p−1−p−2¢

p>¹est croissante et pourn>^{4, 2n−1}−n−2>²³−4−2>0 d’oùa2n>2ⁿ⁻¹. Ainsia2nest strictement supérieur àa_kpour 16^k<2n−1.

De plus,a2n−a_2n−1=2ⁿ−n−2−2ⁿ+1= −n−1<0 donca2n<a_2n−1. Finalement, sin>^4,a2nest distincts deakpour 16^k6²ⁿ−1.

• Application numérique : L’ensemble des entiers 1, 2, 3, 4, 7, 5, 12, 6, 18, 8, 26, 9, 35, 10, 45, 11, 56, 13, 69, 14, 83, 15, 98, 16, 114, 17, 131, 19, 150, 20, 170, 21, 191, 22, 213, 23, 236, 128, 364, 25, 389, 2021 est de cardinal 42, de sommes=4820 et vérifie les conditions imposées.

2021+389=2410, 2021+25+2364=2410, 2021+25+128+236=2410...

page 1 / 1