REGIONNEMENT DU PLAN ET PROBLEMES D’OPTIMISATION
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Apprendre à résoudre graphiquement un système d’inéquations du premier degré à deux inconnues.Savoir utiliser cette résolution dans l’étude de problèmes d’optimisation.
ACTIVITE.
Dans un atelier de confection, on fabrique deux produits en cuir : des jupes et / ou des blousons.
L’employée met 3 heures pour une jupe et 5 heures pour un blouson. Chaque jupe nécessite pour sa fabrication 6 m2 de cuir et chaque blouson nécessite aussi 6 m2 de cuir.
Par semaine, cette employée ne dispose que de 35 heures de travail au maximum (heures légales), et de 54 m2 de cuir maximum.
L’objectif est de calculer le nombre de jupes et de blousons qu’elle peut fabriquer en une semaine.
Première Partie.
1) a) Combien de temps faut-il pour fabriquer 2 jupes 6H et 3 blousons 15H ?
1) b) Quelle surface de cuir est nécessaire pour fabriquer 2 jupes 12 m2 et 3 blousons 18m2 ? 1) c) Les conditions sont-elles respectées pour fabriquer 2 jupes et 3 blousons ? OUI
1) d) Les conditions sont-elles respectées pour la fabrication de 2 jupes et 8 blousons ? 46H 60 m2 NON 1) e) Citer une autre possibilité que celle du 1c) qui respecte les conditions.
2) Soit x le nombre de jupes fabriquées et y le nombre de blousons fabriqués.
2) a) Exprimer la condition sur les heures de travail sous la forme d’une inéquation. 3x + 5y 35 2) b) Exprimer la condition sur la surface de cuir sous la forme d’une inéquation. 6x + 6y 54 Deuxième Partie
x est toujours le nombre de jupes fabriquées et y est toujours le nombre de blousons fabriqués.
On étudie désormais le système suivant où x ∈ et y ∈
x 0y 0
3x + 5y 35 6x + 6y 54
1) Justifier x ≥ 0 et y ≥ 0 (Pourquoi x doit être positif et y doit être positif ?). Nb jupes et blousons > 0 2) On suppose la droite (D1) d’équation 3x + 5y = 35 et la droite (D2) d’équation 6x + 6y = 54.
Tracer les droites (D1) et (D2) en deux couleurs différentes dans le même repère orthonormé ci-dessous.
Echelle : 1 cm pour 1 jupe en abscisse ; 1 cm pour 1 blouson en ordonnée.
x 0 5 y 7 4
x 0 9 y 9 0 (D1) (D2)
35
3 = 11,67
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INFORMATION IMPORTANTE POUR RESOUDRE LA SUITE DE L'ACTIVITE
Soit la droite (D) d’équation x + y = 3 de représentation graphique ci-dessous.La droite (D) sépare le plan en 2 demi-plans : le premier d'inéquation x + y > 3 le second d'inéquation x + y < 3
Afin de situer ces deux demi-plans sur le graphique, on utilise les coordonnées d’un ou plusieurs points du plan.
Exemples : A(1 ; 1) est tel que x + y = 1 + 1 = 2 or 2 < 3 B(-2 ; 1) est tel que x + y = -2 + 1 = -1 or -1 < 3 O(0 ; 0) est tel que x + y = 0 or 0 < 3 donc A, B, O appartiennent au demi-plan d’inéquation x + y < 3
C(4 ; 3) est tel que x + y = 4 + 3 = 7 or 7 > 3 D(3 ; 1) est tel que x + y = 3 + 1 = 4 or 4 > 3 donc C et D appartiennent au demi-plan d’inéquation x + y > 3
Remarque : Pour situer les deux demi-plans, il suffit d’un seul point. On utilise en général le point O (de coordonnées (0 ; 0)).
Deuxième Partie (suite).
3) Hachurer sur le graphique du 2) de la première page les parties du plan constituées des points dont les coordonnées x et y ne satisfont pas aux inégalités du système.
4) Marquer d’une croix chaque point dont les coordonnées sont des entiers qui satisfont aux inégalités du système. 47 points
Exemples : le point de coordonnées (1 ; 3), celui de coordonnées (3 ; 4).
5) Vérifier les réponses obtenues dans la première partie au 1c) et au 1d).
6) Conclure : combien l’employée peut-elle produire de blousons et / ou de jupes au maximum ?
EXERCICE D'APPLICATION Une entreprise fabrique des objets de type A et de type B.
La réalisation d’un objet type A demande 30 € de matière première et 125 € de main-d’œuvre.
La réalisation d’un objet type B demande 70 € de matière première et 75 € de main-d’œuvre.
On note x le nombre d’objets de type A fabriqués en 1 jour et y le nombre d’objets de type B fabriqués en 1 jour.
La dépense journalière en matière première ne doit pas dépasser 560 €.
La dépense journalière en main-d’œuvre ne doit pas dépasser 1 250 €.
1. Ecrire les inéquations que doivent satisfaire x et y. 30x + 70y 560 ; 125x + 75y 1250 2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique 0,5 cm.
Résoudre graphiquement le système :
x ≥ 0y ≥ 0 5x + 3y ≤ 50 3x + 7y ≤ 56 3. Est-il possible de fabriquer en une journée :
5 objets du type A et 5 objets du type B ? OUI 8 objets du type A et 4 objets du type B ? NON
(D)
0 1 2 3 4 5 x
1 2 3 y
B D
C
A
4
5 jupes et 4 blousons
en étant à la limite du temps de travail et de la surface de cuir
sinon 0 jupe et 7 blousons
en étant à la limite du temps de travail 6 jupes et 3 blousons
7 jupes et 2 blousons 8 jupes et 1 blouson 9 jupes et 0 blouson
En étant à la limite de la surface de cuir
D1 (1 ; 15) (10 ; 0) D2 (0 ; 8) (14 ; 2)
