REGIONNEMENT DU PLAN ET PROBLEMES D’OPTIMISATION
Page 1 sur 4 OBJECTIFS
:
Apprendre à résoudre graphiquement un système d’inéquations du premier degré à deux inconnues.Savoir utiliser cette résolution dans l’étude de problèmes d’optimisation.
ACTIVITE.
Dans un atelier de confection, on fabrique deux produits en cuir : des jupes et / ou des blousons.
L’employée met 3 heures pour une jupe et 5 heures pour un blouson. Chaque jupe nécessite pour sa fabrication 6 m2 de cuir et chaque blouson nécessite aussi 6 m2 de cuir.
Par semaine, cette employée ne dispose que de 35 heures de travail au maximum (heures légales), et de 54 m2 de cuir maximum.
L’objectif est de calculer le nombre de jupes et de blousons qu’elle peut fabriquer en une semaine.
Première Partie.
1) a) Combien de temps faut-il pour fabriquer 2 jupes et 3 blousons ?
1) b) Quelle surface de cuir est nécessaire pour fabriquer 2 jupes et 3 blousons ? 1) c) Les conditions sont-elles respectées pour fabriquer 2 jupes et 3 blousons ?
1) d) Les conditions sont-elles respectées pour la fabrication de 2 jupes et 8 blousons ? 1) e) Citer une autre possibilité que celle du 1c) qui respecte les conditions.
2) Soit x le nombre de jupes fabriquées et y le nombre de blousons fabriqués.
2) a) Exprimer la condition sur les heures de travail sous la forme d’une inéquation.
2) b) Exprimer la condition sur la surface de cuir sous la forme d’une inéquation.
Deuxième Partie
x est toujours le nombre de jupes fabriquées et y est toujours le nombre de blousons fabriqués.
On étudie désormais le système suivant où x ∈ ℝ et y ∈ ℝ
x ≥ 0 y ≥ 03x + 5y ≤ 35 6x + 6y ≤ 54
1) Justifier x ≥ 0 et y ≥ 0 (Pourquoi x doit être positif et y doit être positif ?).
2) On suppose la droite (D1) d’équation 3x + 5y = 35 et la droite (D2) d’équation 6x + 6y = 54.
Tracer les droites (D1) et (D2) en deux couleurs différentes dans le même repère orthonormé ci-dessous.
Echelle : 1 cm pour 1 jupe en abscisse ; 1 cm pour 1 blouson en ordonnée.
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INFORMATION IMPORTANTE POUR RESOUDRE LA SUITE DE L'ACTIVITE
Soit la droite (D) d’équation x + y = 3 de représentation graphique ci-dessous.La droite (D) sépare le plan en 2 demi-plans : le premier d'inéquation x + y > 3 le second d'inéquation x + y < 3
Afin de situer ces deux demi-plans sur le graphique, on utilise les coordonnées d’un ou plusieurs points du plan.
Exemples : A(1 ; 1) est tel que x + y = 1 + 1 = 2 or 2 < 3 B(-2 ; 1) est tel que x + y = -2 + 1 = -1 or -1 < 3 O(0 ; 0) est tel que x + y = 0 or 0 < 3 donc A, B, O appartiennent au demi-plan d’inéquation x + y < 3
C(4 ; 3) est tel que x + y = 4 + 3 = 7 or 7 > 3 D(3 ; 1) est tel que x + y = 3 + 1 = 4 or 4 > 3 donc C et D appartiennent au demi-plan d’inéquation x + y > 3
Remarque : Pour situer les deux demi-plans, il suffit d’un seul point. On utilise en général le point O (de coordonnées (0 ; 0)).
Deuxième Partie (suite).
3) Hachurer sur le graphique du 2) de la première page les parties du plan constituées des points dont les coordonnées x et y ne satisfont pas aux inégalités du système.
4) Marquer d’une croix chaque point dont les coordonnées sont des entiers qui satisfont aux inégalités du système.
Exemples : le point de coordonnées (1 ; 3), celui de coordonnées (3 ; 4).
5) Vérifier les réponses obtenues dans la première partie au 1c) et au 1d).
6) Conclure : combien l’employée peut-elle produire de blousons et / ou de jupes au maximum ?
EXERCICE D'APPLICATION Une entreprise fabrique des objets de type A et de type B.
La réalisation d’un objet type A demande 30 € de matière première et 125 € de main-d’œuvre.
La réalisation d’un objet type B demande 70 € de matière première et 75 € de main-d’œuvre.
On note x le nombre d’objets de type A fabriqués en 1 jour et y le nombre d’objets de type B fabriqués en 1 jour.
La dépense journalière en matière première ne doit pas dépasser 560 €.
La dépense journalière en main-d’œuvre ne doit pas dépasser 1 250 €.
1. Ecrire les inéquations que doivent satisfaire x et y.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique 0,5 cm.
Résoudre graphiquement le système :
x ≥ 0y ≥ 0 5x + 3y ≤ 50 3x + 7y ≤ 56 3. Est-il possible de fabriquer en une journée :
5 objets du type A et 5 objets du type B ? 8 objets du type A et 4 objets du type B ?
(D)
0 1 2 3 4 5 x
1 2 3 y
B D
C
A
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EXERCICES SUR REGIONNEMENT DU PLAN - OPTIMISATION
Page 3 sur 4 1. Problème d’optimisation : production.
Dans un atelier de menuiserie, on fabrique des tables de type A et des tables de type B.
Une table de type A nécessite 3H de travail et 4 panneaux.
Une table de type B nécessite 2H de travail et 6 panneaux.
On note : x le nombre de tables type A fabriquées par jour ; y le nombre de tables type B fabriquées par jour.
1. Calculer le temps de travail et le nombre de panneaux utilisés, en une journée, pour la fabrication de ces tables en fonction de x et de y.
2. On dispose quotidiennement d’un maximum de 120 H de travail et de 300 panneaux. Ecrire les deux inéquations que doivent satisfaire les nombres x et y.
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Echelle : Abscisse : 1 cm pour 4 tables A.
Ordonnée : 1 cm pour 4 tables B.
Tracer les droites : (D1) d’équation : y = -1,5x + 60 (D2) d’équation y = -2
3x + 50 Donner les coordonnées du point d’intersection I.
4.1 Résoudre graphiquement le système :
x y ≥ 0 ≥ 03x + 2y ≤ 120 2x + 3y ≤ 150 4.2 Est-il possible de fabriquer en une journée :
30 tables de type A et 20 tables de type B ? 20 tables de type A et 25 tables de type B ? 2. Problème d’optimisation : rangement dans un rayon.
Pour approvisionner le linéaire de céréales, vous utilisez deux produits conditionnés dans des boîtes de type A (boîtes PROGRAIN) et B (boîtes VARIETY).
x représente le nombre de boîtes PROGRAIN ; y représente le nombre de boîtes VARIETY.
Le linéaire doit respecter les contraintes suivantes : la capacité du rayon est de 168 boîtes ;
le prix d’une boîte de type A est de 4,1 €, celui d’une boîte de type B est de 2,7 € ;
le montant du stock ne doit pas dépasser 550 € ;
la marge commerciale est de 0,8 € pour une boîte de type A et de 0,6 € pour une boîte de type B.
Echelle : 1 cm pour 10 boîtes en abscisse et ordonnée.
1) Résoudre graphiquement l’inéquation : x + y ≤ 168 Hachurer le domaine qui ne convient pas.
2) Exprimer algébriquement la contrainte d’immobilisation financière en fonction de x et de y. Résoudre graphiquement.
3) Exprimer la marge totale M en fonction du nombre de boîtes de chaque sorte. Représenter graphiquement la droite correspondante à une marge totale de 76 €.
4) Compte tenu de toutes les contraintes imposées, déterminer graphiquement le nombre de boîtes de chaque sorte permettant de réaliser une marge maximale. Calculer cette marge.
3. Bac Exploitation des transports 2003.
Le parc de véhicules d'une entreprise de messagerie est composé de 2 porteurs identiques et de 4 véhicules utilitaires identiques de caractéristiques suivantes :
porteur : volume utile 45 m3 ; charge utile : 12 tonnes ; utilitaire : volume utile 12 m3 ; charge utile 1,5 tonne.
1. Justifier, par le calcul, que pour les 2 porteurs et les 4 véhicules utilitaires :
1.1 La charge utile maximale transportable est 30 000 kg ; 1.2 Le volume utile maximal est 138 m3.
2. Cette entreprise livre 2 types de colis. Ces colis, gerbables, sont des parallélépipèdes rectangles dont les données caractéristiques sont les suivantes :
Colis Dimensions en m Charges en kg Type A 0,5 ; 0,5 ; 04 24
Type B 1 ; 1 ; 0,5 60
On désigne par x le nombre entier positif ou nul de colis de type A et par y le nombre entier positif ou nul de colis de type B.
On veut déterminer les différentes possibilités de livraison de colis de type A et de colis de type B.
2.1 En utilisant les données caractéristiques des deux colis, compléter les tableaux ci-dessous.
Nombre de colis type A 1 10 x
Charge en kg 24 240 24x
Volume en m3
Nombre de colis type B 1 10 y
Charge en kg 60 600 60y
Volume en m3
2.2 On admet que la contrainte de charge se traduit par l'inéquation suivante : 24x + 60y ≤ 30 000
Déterminer l'inéquation traduisant la contrainte de volume en fonction de x et de y.
2.3 Montrer que le système de contraintes de charge et de volume peut s'écrire de la façon suivante :
y ≤ -0,4x + 500 y ≤ -0,2x + 276 3. Dans le repère orthogonal défini ci-après, on a tracé la droite (D2) d'équation y = -0,2x + 276
3.1 Tracer la droite (D1) d'équation y = -0,4x + 500
3.2 Hachurer la zone du plan dont les points ne sont pas
solutions du système d'inéquations :
x ≥ 0y ≥ 0
y ≤ -0,4x + 500 y ≤ -0,2x + 276 4. Une commande est composée de 400 colis de type A.
Sachant que la commande complémentaire en colis de type B sera faite par lot de 50, déterminer graphiquement toutes les livraisons possibles pour les colis de type B.
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