QUELQUES RAPPELS

QUELQUES RAPPELS DE CALCUL MATRICIEL

Benoît MULKAY

Faculté de Sciences Economiques UNIVERSITE DE MONTPELLIER 1

Septembre 2008

1. Définitions et Axiomes

1.1. Définition d’une matrice

Une matrice est un tableau rectangulaire de p lignes et de q colonnes avec des nombre réels ℜ

ij ∈

a à la i^ème ligne et la j^ème colonne tels que i=1,K,p et j=1,K,q. Cette matrice d’ordre ou de genre p×q. Elle est notée :

[ ]

























=

=

= ×

pq p

p

ij q q

q ij p

a a

a

a a a

a

a a

a

a A A

L L

M O M

M

M O

M M

L L

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

.

1.2. Transposée d’une matrice

[ ]

^aji

A′= est la transposée de la matrice A. Elle est d’ordre q×p.

1.3. Multiplication par un scalaire

Si λ est un scalaire, ^λA=

[ ]

^{λaij .}

1.4. Addition de deux matrices

Si ^B=

[ ]

^bij est aussi une matrice d’ordre p×q : ^A+B=

[

^{aij +bij}

]

1.5. Produit de deux matrices

Le produit matriciel est défini si B est aussi une matrice avec q lignes et r colonnes :

[ ]

^cij

C

AB= = est d’ordre p×r avec :

∑

=

= ^q

k ki ik

ij a b

c

1

.

1.6. Associativité du produit matriciel

( )

^ABC=A

( )

^{BC =ABC.}

1.7. Non-commutativité du produit matriciel

L’existence du produit matriciel AB n’implique pas nécessairement l’existence du produit matriciel BA. En général, le produit matriciel n’est pas commutatif : AB≠BA.

1.8. Distributivité

( )

(

^{B C}

)

^{AB AC.,}

A

BC AC C B A

+

= +

+

= +

1.9. Quelques règles de transposition

( ( ) )

( )

^.

, ,

A B AB

B A B A

A A

′

= ′

′ + ′

= ′ + ′

′ =

′

1.10. Produit (scalaire) d’un vecteur

Si x est un vecteur-colonne n×1, alors x′ est un vecteur-ligne 1×n, et le produit scalaire de ce vecteur est la somme des carrés de ses composantes :

∑

=

′ = ⁿ

i

xi

x x

1 2

1.11. Produit de Hadamard

Si les matrices A et B sont de même ordre p×q, le produit de Hadamard est un produit élément-par-élément des deux matrices : C=AoB, tel que :

ij.

ij

ij a b

c =

1.12. Matrice nulle

Si tous les éléments de la matrice A sont nuls : aij =0, pour tout i et j, on écrira : A=

0

.

1.13. Orthogonalité

2 vecteurs

( )

^n×1 x et y seront dits orthogonaux si et seulement si :

.

=0

= ′

′y yx x

2 matrices compatibles A et B seront dits orthogonales si et seulement si :

0

.

= AB

1.14. Norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur x

( )

^n×1 est définie par :

.

2 1

1 2



 



=

= ′

∑

= n

i

xi

x x x

On peut prouver que : x+y ≤ x + y.

1.15. Rang d’une matrice

Le rang d’une matrice A, noté r(A), est le nombre minimum de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes.

1.16. Propriétés du rang d’une matrice

Si ^r

( )

^{A = p} (le nombre de lignes de A), on dira que A est de plein-rang (lignes). Si ^r

( )

^{A =q}

(le nombre de colonnes de A), on dira que A est de plein-rang (colonnes).

1.17. Rang d’un produit matriciel

( )

^{AB min}

{

^r

( ) ( )

^{A,r B}

}

^.

r ≤

2. Matrices Carrées

2.1. Définition d’une matrice carrée

Une matrice A est dite carrée si le nombre de ligne est égal au nombre de colonnes : p=q.

2.2. Trace d’une matrice carrée

La trace d’une matrice carrée A, notée ^tr

( )

^A , est la somme des éléments sur sa diagonale principale :

( )

^.

tr

1

∑

=

= ^p

i

aii

AB

2.3. Propriété de la trace d’une matrice

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

^tr

( )

^.

tr

, tr tr

, tr tr tr

A A

A A

B A B

A

′ = λ

= λ

+

= +

2.4. Propriété de circularité de la trace

Si AB et BA sont des matrices carrées (pas nécessairement du même ordre), alors :

( ) ( )

^{tr .}

tr AB = BA Si les produits matriciels ABC, CAB et BCA existent, alors :

( ) ( ) ( )

^{tr tr .}

tr ABC = CAB = BCA

2.5. Propriété de la trace d’une matrice (suite)

( ) ( )

^{tr .}

tr

1 1

∑∑

2

= =

′ =

′ = ^p

i p

j

aij

A A A A

2.6. Matrice diagonale

Si a_ij =0, pour tout i≠ j, la matrice est dite diagonale et on écrira :

( )





















=

=

pp pp

a a

a a

a a A

L M O M M

L L K

0 0

0 0

0 0

, , ,

diag ²²

11

22 11

2.7. Matrice identité

La matrice identité est une matrice carrée d’ordre p, notée I_p, et est telle que :

( )

^.

1 0

0

0 1

0

0 0

1 1 , , 1 , 1 diag





















=

=

L M O M M

L L

p K I

2.8. Neutre pour la multiplication

La matrice identité est le neutre pour la multiplication : AI_p =I_pA=A.

2.9. Autres matrices spéciales

On considère aussi le vecteur unitaire de dimension p×1 comportant uniquement des 1 :

. 1 1 1





















= M jp

De même, la matrice unitaire carrée d’ordre p : J_p = j_pj_p′ est composée entièrement de 1.

Notez que ^r

( )

^{Jp =1}. Attention à ne pas confondre J_p = j_pj′_p avec le produit scalaire : .

p j j′_{p p} =

On peut aussi définir le vecteur indicatrice p×1 entièrement composé de 0, sauf un 1 à la position n :

.

0 1 0

























= M M en

2.10. Déterminant d’une matrice

Si A est une matrice carrée d’ordre p, on définira le déterminant de la matrice A comme :

( ) ∑ ( )

=

− +

=

= ^p

i

ij ij j

i a A

A A

1

1 det

où A_ij est le (i,j)^ème mineur de la matrice A : c’est-à-dire le déterminant de la matrice

( ) ( )

^{p−1× p−1} formée en éliminant la i^ème ligne et la j^ème colonne de A.

2.11. Matrice adjointe

La matrice adjointe de A, notée ^adj

( )

^A , est la transposée de la matrice dont le (i,j)^ème élément est

( )

^−1i+j fois le mineur A . _ij

2.12. Propriétés du déterminant

scalaire.

un est si

, ordre d' carrée matrice une

aussi est si . ,

λ λ

= λ

=

′ =

A A

p B

B A AB

A A

p

2.13. Singularité d’une matrice

Si le déterminant de A est nul : A=0, la matrice A sera dite singulière. Dès lors : ^r

( )

^{A < p.}

2.14. Non-singularité d’une matrice

En revanche, si le déterminant de A est non-nul : A ≠0, la matrice A sera dite non-singulière ou régulière. Dès lors : ^r

( )

^{A = p.}

2.15. Inverse d’une matrice carrée

Si A est une matrice carrée non-singulière, la matrice inverse de A, noté A , existe et est telle ⁻¹ que :

1 .

1

Ip

A A AA⁻ = ⁻ =

On dira alors que A est inversible.

2.16. Inverse et matrice adjointe

( )

A A⁻1=adj A .

2.17. Propriétés de l’inverse d’une matrice

( ) ( )

¹

( )

^{, 1 .}

1 1

= ′

′

=

− −

− −

A A

A

A .

Les éléments de A sont continus en A, sauf au point où ⁻¹ A=0.

2.18. Inverse d’un produit matriciel

( )

^{AB −1 =B−1A−1 si A ≠0 et B ≠0.}

2.19. Déterminant de l’inverse d’une matrice

0 A si

1 = ⁻1 ≠

− A

A .

2.20. Propriété du rang d’une matrice

( ) ( )

^{AB =r A si B ≠0.}

r

2.21. Inverse d’une somme de matrice

Si H =A+BDC avec A et D des matrices carrées inversibles, alors :

( )

( )

(

^{1 1}

)

^{1 1}

1

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1

− −

−

−

−

− −

−

−

−

− −

−

−

−

−



 



 − +

=



 



 − +

=

+

−

=

A C B CA D

B A I

CA B CA D

B I A

CA B CA D

B A A H

2.22. Valeurs propres (eigenvalues)

Les p valeurs propres (eigenvalues ou racines caractéristiques) d’une matrice carrée A d’ordre p sont les racines du polynôme, notées λ₁,λ₂,K,λ_p :

. 0

1

= λ α

= λ

−

∑

= p

i i i

Ip

A

Les valeurs propres d’une matrice carrée quelconque peuvent être complexes.

2.23. Propriétés des valeurs propres

( ) ( ) _∏

∑

=

=

λ

= λ

=

p

i i p

i i

A A

1 1

det tr

Le nombre de valeurs propres λ_i non nulles de A est égal au rang de A : r( A . Les racines de )

=0 λ

− B

A sont les valeurs propres de la matrice B⁻¹A (et aussi de la matrice AB quand ⁻¹

≠0 B ).

2.24. Vecteurs propres (eigenvectors)

Du fait que la matrice

(

^A−λiIp

)

est singulière pour les valeurs propres λ_i, il existe un vecteur x_i de dimension

( )

^p×1 , appelé vecteur propre (ou eigenvector) de A, tel que :

(

^A−λiIp

)

^{xi =0,}

ou encore :

i i

i x

Ax =λ .

2.25. Matrice symétrique

Une matrice A est symétrique si et seulement si : A=A′.

2.26. Valeurs propres d’une matrice symétrique

Toutes les valeurs propres d’une matrice symétrique sont réelles.

2.27. Matrice orthogonale

Une matrice A est orthogonale si et seulement si : AA′=A′A=I_p. Dès lors, on aura :

1 . A A⁻ = ′

2.28. Valeurs propres d’une matrice orthogonales

Toutes les valeurs propres d’une matrice orthogonale sont égales à 1 ou –1.

2.29. Matrice idempotente

Une matrice A est idempotente si et seulement si : AA=A.

2.30. Valeurs propres d’une matrice idempotente

Toutes les valeurs propres d’une matrice idempotente sont égales à 0 ou 1.

2.31. Propriétés d’une matrice particulière

Si X est une matrice d’ordre T×K, alors la matrice X′X est symétrique.

2.32. Matrices de projection

Si X est une matrice d’ordre T×K, alors les matrices d’ordre K×K : ^B=X

( )

^{X′X −1X′et}

( )

^{XX X I B}

X I

W = _K − ′ ⁻¹ ′= _K − sont symétriques et idempotentes. La matrice B est de rang K et la matrice W est de rang : T−K.

Ces matrices sont des matrices de projection orthogonale ; la première B sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de X, et la seconde sur le sous-espace vectoriel orthogonal à celui engendré par les colonnes de X.

2.33. Forme linéaire

Si a et x sont des vecteurs colonnes n×1, l’expression a′x est appelée une forme linéaire en x :

∑

=

′ = ⁿ

i i ix a x a

1

.

2.34. Forme quadratique

Si x est un vecteur colonne n×1 et A une matrice n×n, l’expression x′Ax est appelée une forme quadratique en x :

∑∑

= =

′ = ⁿ

i n

j

j i ijx x a Ax

x

1 1

.

2.35. Matrice définie-positive

Si toutes les valeurs propres de la matrice A sont strictement positives : λi >0 p

i 1, ,

pour tout = K , on dira que A est définie positive et on notera : A>0 (Remarque : cela n’implique pas que tous les éléments de A sont strictement positif).

2.36. Matrice semi-définie positive

Si toutes les valeurs propres de la matrice A sont positives ou nulles : λi ≥0 p

i 1, ,

pour tout = K , on dira que A est semi-définie positive et on notera : A≥0.

2.37. Matrice définie négative

Si toutes les valeurs propres de la matrice A sont strictement négatives : λ_i <0 p

i 1, ,

pour tout = K , on dira que A est définie négative et on notera : A<0.

2.38. Matrice semi-définie négative

Si toutes les valeurs propres de la matrice A sont négatives ou nulles : λi ≤0 p

i 1, ,

pour tout = K , on dira que A est semi-définie négative et on notera : A≤0.

2.39. Décomposition de Cholesky

Si A est une matrice symétrique d’ordre n, définie positive, alors : L

L A= ′

où L est une matrice (unique) triangulaire inférieure avec des éléments positifs sur la diagonale principale :

0 . 0 0

2 1

22 12 11





















=

nn n

n l l

l l l l L

L M O M M

L L

2.40. Décomposition en valeur singulière

On décompose une matrice A d’ordre p×q avec p≥q et ^r

( )

^{A =r>0 en :}

V UW

A= ′

où :







′ =

×

×

′ =

×

. avec

est

négatifs, non

éléments des

avec diagonale, est

, avec

est

r r

I V V r

n V

r r W

I U U r

m U

3. Matrices Symétriques

3.1. Forme quadratique d’une matrice symétrique

Soit A une matrice symétrique, alors toutes les valeurs propres λi de A sont réelles, et tous les vecteurs propres xi sont réels. De plus on dira que A est :

• définie positive si x′Ax>0, pour tout x≠0,

• semi-définie positive si x′Ax≥0, pour tout x,

• définie négative si x′Ax<0, pour tout x≠0,

• semi-définie négative si x′Ax≤0, pour tout x,

• indéfinie si x′Ax≥0, pour quelques x, et x′Ax<0, pour d’autres x.

3.2. Matrice des vecteurs propres

Il existe une matrice orthogonale ^{X =}

(

^x1,x2,K,xp

)

dont les colonnes sont les vecteurs propres de A, telle que X′AX =Λ, où ^Λ=diag

(

^{λ1,λ2,K,λp}

)

est la matrice diagonale des valeurs propres.

3.3. Propriété de la matrice des vecteurs propres

. 0 si

1 ,

1= ′Λ ≠

Λ ′

=

−

− X X A

A

X X A

3.4. Valeur propre maximale

Soit ^λ

( )

^A la plus grande valeur propre de A, on a :

( ) ( )

_^











′

= ′ λ

=

λ xx

Ax A x

i

i i sup

max

3.5. Valeur propre minimale

Soit λ

( )

^A la plus petite valeur propre de A, on a :

( ) ( )

_^











′

= ′ λ

=

λ xx

Ax A x

i i

i inf

min

3.6. Rang et valeurs propres d’une matrice symétrique

Si la matrice symétrique A possède r valeurs propres non-nulles, alors ^r

( )

^{A =r.}

Si la matrice idempotente A possède r valeurs propres unitaires, alors ^r

( ) ( )

^{A =tr A =r.}

3.7. Propriétés d’une matrice définie positive

Si A est une matrice symétrique définie-positive d’ordre p, alors :

( )

( ) [ ] ( )

^{1 1}

1 0 (définie-positive) r

0

− −

−

λ

= λ

>

=

>

A A

A p A

A

De plus, si B est de plein rang colonne, alors B′AB>0.

3.8. Racine carrée d’une matrice

Soit ^{Λ12 =diag}

(

^{λ112,λ122,,λ1p2}

)

, en écrivant A=X′ΛX avec X la matrice orthogonale des vecteurs propres de A, on aura :

A BB B X

X

B= Λ¹² ′ satisfait ² = = .

On appellera B=A¹² la racine carrée (unique et définie-positive) de la matrice A.

3.9. Propriétés d’une matrice définie positive (suite)

Si A et B sont deux matrices définies-positive d’ordre p, alors A – B est définie positive si et seulement si B⁻¹−A⁻¹ est définie-positive.

4. Matrices Partitionnées

4.1. Définition d’une matrice partitionnée

Une matrice A d’ordre p×q peut être partitionnée en nm blocs (ou sous-matrices) tels que :

























=

×

×

×

×

×

×

× ×

×

m n n

n

m m

q p

nm q

p n q p

n

q p

m q

p q p

q p

m q

p q p

A A

A

A A

A

A A

A

A

L M O M M

L L

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

2 1

2 22

21

1 12

11

avec ⁿ p p

i i =

∑

₌₁ ^et

∑

^m_j=1^qj =^q.

4.2. Matrice partitionnée en 2 x 2 blocs

Le cas le plus simple est celui d’une matrice A partitionnée en 4 blocs :

















=

×

×

×

×

2 2 1 2

2 1 1 1

22 21

12 11

q p q p

q p q p

A A

A A A

avec p1+p2= p et q1+q2 =q.

4.3. Cas particuliers

a) Si p₁=q₁ ^et p2 =q2, les matrices A₁₁ et A₂₂ sont carrées, et si A₁₁ est inversible

11 ≠0

A , alors :

12 1 11 21 22 1 22 1

22

11 A où A A A A A

A

A = × _{• •} = − ⁻

b) Si la matrice A_22•1 est aussi inversible A_22•1 ≠0, on aura alors : 









=

−

22 21

12 11 1

A A

A A A

avec :

( )













=

−

=

−

=

+

=

−•

−

−•

−•

−

−

−•

−

1 1 22 22

1 11 21 1

1 22 21

1 1 22 12 1 11 12

1 11 21 1

1 22 12 1

11 11

1

A A

A A A A

A A A A

A A A A I A

A _p

c) Si aussi les matrices A₂₂ =0, A11 =B et A12 = A′21 =C, on a alors : 











= ′

0 C

C

A B une

matrice symétrique, et :

( ) ( )

( ) ( )

^











− ′

′

′

 ′



 



 + ′ ′

= − − − − −

− −

−

− −

−

− −

1 1 1 1

1

1 1 1

1 1 1 1

1 ₁

C B C B

C C B C

C B C C B B C C B C C I

A B ^p

d) Si p₁=q₁ et p₂ =q₂, les matrices A₁₁ et A₂₂ sont carrées, alors la matrice A est définie-positive A>0 si et seulement si les matrices A₁₁ et A₂₂ sont définies- positive : A₁₁ >0 et A₂₂ >0.

e) Si la matrice A₂₁ =0, alors A= A₁₁ × A₂₂ . Donc A ≠0si et seulement si A₁₁ ≠0 et

22 ≠0

A .

f) Si la matrice A est bloc-diagonale : ^A=diag

(

^A1,A2,K,An

)

où les sous-matrices A _i sont des matrices carrées inversibles avec Ai ≠0 pour tout i, alors :

(

^{11 21 1}

)

1 1

, , ,

diag ^{− − −}

−

=

=

=

∏

n n

i i

A A

A A

A A

K

5. Produit de Kronecker et Vectorisation

5.1. Définition du Produit de Kronecker

Si A est une matrice d’ordre m×n et B une matrice d’ordre p×q, on définira une matrice C d’ordre mp×nq avec la produit de Kronecker :

[ ]





















=

=

⊗

=

B a B

a B a

B a B

a B a

B a B

a B a B a B A C

nm n

n

m m

ij

L M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

5.2. Transposée du Produit de Kronecker

(

^A⊗B

)

^{′ =A′⊗B′.}

5.3. Inverse du Produit de Kronecker

Si A et B sont des matrices carrées inversibles, alors :

(

^A⊗B

)

^{−1=A−1⊗B−1.}

5.4. Déterminant du Produit de Kronecker

Si A et B sont des matrices carrées d’ordre respectif m et n, alors :

m.

n B

A B A⊗ =

5.5. Produit matriciel classique et Produit de Kronecker

(

^A⊗B

)(

^C⊗D

)

^=AC⊗BD.

5.6. Trace et Produit de Kronecker

( ) ( ) ( )

^{tr tr .}

tr A⊗B = A B

5.7. Vectorisation d’une matrice

Soit une matrice A d’ordre m×n, l’opérateur de vectorisation (vec) empile les colonnes de la matrice A pour obtenir un vecteur colonne d’ordre mn×1, tel que :

( )





































=

=

mn n m m

a a a a a a

A a

M M M M

1 2 12

1 11

vec

5.8. Produit de deux matrices vectorisées

Si A et B sont deux matrices d’ordre m×n^{, alors :}

( ) ( )

^{A ′ vecB =tr}

( )

^A′B

vec et donc :

( )

^{AB =vec}

( )

^A′′vec

( )

^{B =vec}

( )

^{B ′vec}

( )

^A′

tr

( )

^{BA =vec}

( )

^B′′vec

( )

^{A =vec}

( )

^A′vec

( )

^B′

tr

(

^{A B}

)

^vec

( )

^{A vec}

( )

^B

vec + = +

5.9. Produit de Kronecker et Vectorisation

Deux propriétés, intéressantes en économétrie, relient le produit de Kronecker à la vectorisation de matrices (attention à l’ordre des matrices) :

( ) ( ) ( )

( )

^vec

( )( )

^vec

^{( )}

^.

tr

, vec vec

B C

A D ABCD

B A C ABC

⊗ ′

′′

=

′⊗

=

6. Dérivées de fonctions matricielles

6.1. Fonction vectorielle

Si ^f

( )

^{x :Rm→R} est une fonction scalaire d’un vecteur x d’ordre m×1, alors on définira une fonction vectorielle ^{y= f}

( )

^{x :Rm →Rn par :}

( )

( ) ( )

( )

^



















=

=

x f

x f

x f x f y

n

M

2 1

6.2. Différentiation vectorielle

Si ^f

( )

^{x :Rm→R} est une fonction scalaire d’un vecteur x d’ordre m×1, alors la dérivée première de ^f

( )

^x par rapport à x est le vecteur d’ordre m×1 :

( )

( ) ( ) ( )



















∂

∂

∂

∂∂

∂

∂ =

∂

xm

x f

x x f

x x f

x x f

M

2 1

.

La dérivée seconde de cette fonction scalaire ^f

( )

^x par rapport à x est la matrice d’ordre m

m× ^:

( ) ( )













∂

∂

= ∂

∂ ′

∂

∂

j i x x

x f x

x x

f ²

2

.

6.3. Règles de différentiation

Si A est une matrice carrée d’ordre p×p, x et y deux vecteurs d’ordre p×1, on aura alors :

, , x y

y x

x y x y

= ′

∂

∂ ′

∂ =

∂ ′

( )

. symétrique matrice

une est si 2

, ,

A x Ax

Ax x

x A x A

Ax x

x Ay Ay x

∂ =

∂ ′

+ ′

∂ =

∂ ′

∂ =

∂ ′

.

6.4. Différentiation matricielle

Si ^f

( )

^{X :Rm×n →R} est une fonction scalaire d’une matrice X d’ordre m×n, alors la dérivée première de ^f

( )

^X par rapport à X est le vecteur d’ordre m×n ^:

( ) ( )

_.













∂

= ∂

∂

∂

xij

X f X

X f

6.5. Matrice Jacobienne et Jacobien

Si ^f

( )

^{x :Rm →Rn} est une fonction vectorielle, on définit la matrice Jacobienne J d’ordre m

n× ^:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )





























∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

′ =

∂

= ∂

m n n

n

m m

x x f x

x f x

x f

x x f x

x f x

x f

x x f x

x f x

x f

x x J f

L M O M

M

L L

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

.

Si m=n la matrice J est carrée, et le Jacobien est la valeur absolue du déterminant de J :

( )

x x J ∂f ′

= ∂

6.6. Jacobien d’une fonction matricielle

Si ^{Y = f}

( )

^{X :Rm×n →Rp×q} est une fonction matricielle d’une matrice X d’ordre n×m^{, où Y} est une matrice d’ordre p×q. La matrice Jacobienne J de cette transformation est d’ordre

mn pq× :

( ) ( )

^′′

∂

= ∂

X J Y

vec vec .

6.7. Règles de différentiation par rapport à un scalaire

Si les matrices A et B dépendent d’un scalaire θ, on aura alors :

′







 θ

∂

= ∂ θ

∂

∂A′ A ,

( )





 



 θ

∂ λ ∂ θ =

∂ λ

∂ A A

,

( )







 θ

∂ + ∂







 θ

∂

= ∂ θ

∂ +

∂ A B A B

,

( )









 θ

∂ + ∂







 θ

∂

= ∂ θ

∂

∂ B

A A B

AB ,

( )





 



 θ

∂

= ∂ θ

∂

∂ A A

tr tr

,

( )

^



 





θ

∂

′ ∂ θ =

∂

∂ ₋ A

A

A A 1

tr

( )











θ

∂

′ ∂ θ =

∂

∂ ₋ A

A A ₁

ln tr

1 1

1 − −

−

θ

∂

− ∂ θ =

∂

∂ AA

A A

6.8. Règles de différentiation matricielle

( )

^{si n'est passymétrique.}

ln 1

A A A

A = ′ ₋

∂

∂

( )

^{si est symétrique.}

dg

ln 2 _{1 1}

A A

A A

A _{− −}

−

∂ =

∂

( )

_{si n'est passymétrique.}

tr B A

A

AB = ′

∂

∂

( )

^dg

( )

^{si n'est passymétrique.}

tr B B A A

A

AB = + ′−

∂

∂

6.9. Différentiation et vectorisation

( )

( )

^{B A C}

ABC′ = ⊗ ′

∂

∂ vec

vec ,

( ) ( )

_′ ⁼⁻

( ) ( )

^{⊗ ′}

∂

∂ − − −

1 1

1

vec

vec A A

A

A ,