D369 - Tétraèdre orthocentrique

(1)

D369 - Tétraèdre orthocentrique Solution proposée par Pierre Renfer

QUESTION 1

On va montrer les implications : a) b) b) a) b) c )

Implication a) b)

Soient P et Q les plans orthogonaux à l’arête [CD], passant respectivement par A et B.

Comme l’orthocentre H appartient à la hauteur issue de A et que cette hauteur est orthogonale à la droite (CD), le point H appartient au plan P.

Comme l’orthocentre H appartient à la hauteur issue de B et que cette hauteur est orthogonale à la droite (CD), le point H appartient au plan Q.

Les plans parallèles P et Q sont donc égaux et la droite(AB) est orthogonale à la droite (CD).

On montre de même l’orthogonalité de (AC) et (BD) et l’orthogonalité de (AD) et (BC).

Implication b) a)

Soit M le point de Monge du tétraèdre ABCD (rencontré dans le problème D367).

Ce point appartient ici aux six plans passant par une arête et orthogonaux à l’arête opposée.

En particulier, le point M appartient au plan P, passant par [AB], orthogonal à [CD] et au plan Q, passant par [AC], orthogonal à [BD].

Le point M appartient donc à la droite d’intersection de P et Q, qui est la hauteur issue de A.

On montre de façon analogue que M appartient aux trois autres hauteurs du tétraèdre.

Le point M est donc l’orthocentre du tétraèdre

Equivalence b) c )

(2)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 AB CD 2 AB AD AC 2 AB AD 2 AB AC

2cd cos BAD 2bc cos BAC (c d e )(b c a ) (a d )(b e )

        

 

 

       

   

      

   

     

   

Donc les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si : a²d² b²e² On montre de même que :

Les droites (BC) et (AD) sont orthogonales si et seulement si : b²e² c² f² Les droites (CA) et (BD) sont orthogonales si et seulement si : c²f² a²d²

Remarque :

On considère le parallélépipède  dans lequel s’inscrit le tétraèdre ABCD.

Les diagonales des faces de  sont perpendiculaires. Ces faces sont donc des losanges.

Le parallélépipède  est un rhomboèdre

Et toutes les arêtes de  ont la même longueur g.

Le théorème de Pythagore permet d’obtenir : a²d² b²e² c²f² 4g² QUESTION 2

Le plan P, passant par A et B, orthogonal à la droite (CD), passe par le point à l’infini de la direction orthogonale à la droite (CD) dans le plan (ACD).

(3)

Les coordonnées de sont :

2

2 2 2

2f 0

b d f b d f



   

 

L’équation de P est donc :

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x 1 0 2f y 0 1 0

(b d f )z ( b d f )t 0 z 0 0 b d f

t 0 0 b d f



         

  

 

Elle s’écrit aussi : (a² b² c )z (2k²   ² a²b² c )t 0²  

Par permutation circulaire sur (x, y, z) et sur (a, b, c), on obtient les équations du plan Q, passant par B et C, orthogonal à la droite (AD) et du plan R, passant par C et A, orthogonal à la droite (BD) :

Q : ( a ²b²c )x (2k²   ² a²b² c )t 0²  

R : (a² b²c )y (2k²   ² a²b² c )t 0²  

Les coordonnées de l’orthocentre H, à l’intersection des trois plans, sont donc :

2 2 2 1

2 2 2 2 1

( a b c ) ( a b c ) H ( a b c )

( 2k a b c )



  

 

 

  