La triangulation brownienne :

(1)

La triangulation brownienne :

une limite universelle de configurations non-croisées aléatoires

(travail avec Nicolas Curien)

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay)

Colloque JPS 2012, CIRM, 17 avril 2012

(2)

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Philosophie générale

Soit(Xn)n>1une suite d’objets «discrets» convergeant vers un objet

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

Plusieurs intérêts :

- Du discret au continu :si une certaine propriétéPest vérifiée par tous les Xn et passe à la limite,XvérifieP.

- Du continu au discret :si une certaine propriétéPest vérifiée parXet passe à la limite,Xn vérifie « à peu près » Ppour ngrand.

- Universalité : si(Y_n)_n_>₁est une autre suite d’objets qui converge versX, alorsX_n etY_n ont à peu près les même propriétés pourngrand.

Quel est le sens de la convergence lorsque les objets sontaléatoires?

→Convergence en distribution

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

(3)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

passe à la limite,Xn vérifie « à peu près » Ppour ngrand.

(4)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

(5)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

(6)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

→ Convergence en distribution

(7)

Plan

I. Présentation des objets discrets II. Construction de l’objet limite

III. Idée de la preuve de la convergence

IV. Application à l’étude des propriétés combinatoires des dissections

(8)

I. Présentation des objets discrets

(9)

SoitP_n le polygône dont les sommets sonte^2iπjⁿ (j=0, 1, . . . ,n−1).

Philosophie générale:on choisit au hasard une configurationnon-croisée obtenue à partir des sommets dePn, c’est-à-dire un ensemble de diagonales qui ne se coupent pas.

(10)

Que se passe-t-il pourngrand ?

(11)

Que se passe-t-il pourngrand ?

(12)

Cas des dissections deP_n.

(13)

Dissections

SoitPn le polygône dont les sommets sonte^2iπjⁿ (j=0, 1, . . . ,n−1).

diagonales qui ne peuvent s’intersecter qu’en leurs extrémités (c-à-dnon croisées).

(14)

Dissections

UnedissectiondeP_n est l’union des côtés deP_n et d’une collection de diagonales qui ne peuvent s’intersecter qu’en leurs extrémités (c-à-dnon croisées).

(15)

Dissections

(16)

Dissections

(17)

Dissections

(18)

Dissections

SoitDn une dissection aléatoire,uniformémentdistribuée parmi toutes les dissections dePn. À quoi ressembleDn lorsquenest très grand ?

Exemple de réalisations deD18 etD15000.

(19)

Dissections

SoitDn une dissection aléatoire,uniformémentdistribuée parmi toutes les dissections dePn. À quoi ressembleDn lorsquenest très grand ?

Exemple de réalisations deD18 etD15000.

(20)

Cas des arbresnon croisésde P_n.

(21)

Arbres non croisés

Exemple d’arbrenon croiséde P₁₀ :

(22)

Arbres non croisés

On choisit aléatoirementTn un arbre non croisé,uniformémentparmi tous ceux de Pn. À quoi ressemble Tn pourngrand ?

Exemple de réalisations deT500etT1000.

(23)

Arbres non croisés

On choisit aléatoirementTn un arbre non croisé,uniformémentparmi tous ceux de Pn. À quoi ressemble Tn pourngrand ?

Exemple de réalisations deT500etT1000.

(24)

Cas des transpositionsnon croisées deP2n.

(25)

Transpositions non croisées

Exemple de transpositionnon croiséedeP20:

(26)

Transpositions non croisées

On choisit aléatoirementQn une transpositionnon croiséede P2n,

uniformémentparmi tous ceux deP2n. À quoi ressembleQn pour ngrand ?

Exemple de réalisations deQ250etQ1000.

(27)

Transpositions non croisées

On choisit aléatoirementQn une transpositionnon croiséede P2n,

uniformémentparmi tous ceux deP2n. À quoi ressembleQn pour ngrand ?

Exemple de réalisations deQ250etQ1000.

(28)

Petit historique

Point de vue combinatoire :

I Comptage et bijections d’arbres non croisés : Dulucq & Penaud (1993), Noy (1998), ...

I Comptage de diverses configurations non croisées : Flajolet & Noy (1999)

Point de vue combinatoire probabiliste :

I Triangulations uniformes (degré maximal) : Devroye, Flajolet, Hurtado, Noy

& Steiger (1999) et Gao & Wormald (2000)

I Arbres non croisés uniformes (somme des longueurs, degré maximal) : Deutsch & Noy (2002), Marckert & Panholzer (2002)

I Dissections uniformes (degrés, degré maximal) : Bernasconi, Panagiotou & Steger (2010)

Point de vue géométrique :

I Aldous (1994) : grandes triangulations uniformes

I K’ (2011) : dissections favorisant les grandes faces (non uniformes)

(29)

Petit historique

I Comptage de diverses configurations non croisées : Flajolet & Noy (1999) Point de vue combinatoire probabiliste :

I Dissections uniformes (degrés, degré maximal) : Bernasconi, Panagiotou &

Steger (2010)

(30)

Petit historique

I Comptage de diverses configurations non croisées : Flajolet & Noy (1999) Point de vue combinatoire probabiliste :

I Dissections uniformes (degrés, degré maximal) : Bernasconi, Panagiotou &

Steger (2010)

Point de vue géométrique :

(31)

II. Construction de l’objet limite : latriangulation brownienne(Aldous, ’94)

(32)

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

(33)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

(34)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Soittun instant de minimum local.

(35)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0. t

Soittun instant de minimum local.

(36)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0. t

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}.

(37)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}.

(38)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

Soittun instant de minimum local. On notegt=sup{s < t;es=et}et dt=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

e^−2iπg^t,e^−2iπt , e^−2iπt,e^−2iπd^t

et

e^−2iπg^t,e^−2iπd^t .

(39)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

e^−2iπg^t

e

⁻^2iπd^t

e

⁻^2iπt

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

et

(40)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

e^−2iπg^t

e

⁻^2iπd^t

e

^−2iπt

et

On fait cela pour tous les instants de minimum local.

(41)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

et

(42)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

et

L’adhérence de l’objet obtenu, notéeL(e), est appeléetriangulation brownienne.

(43)

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n.

Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχ_n converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

(44)

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

(45)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(Aldous ’94) !

(46)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Remarques :

I Aldous ’94 : cette convergence a lieu lorsqueχ_n est une triangulation uniformede P_n.

I Il existe un équivalent « stable » deL(e)avec de gros trous (K. ’11). Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

(47)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Remarques :

I Aldous ’94 : cette convergence a lieu lorsqueχ_n est une triangulation uniformede P_n.

I Il existe un équivalent « stable » deL(e)avec de gros trous (K. ’11).

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(Aldous ’94) !

(48)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(49)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(Aldous ’94) !

(50)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(51)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(52)

III. Comment prouver la convergence de tous ces modèles non croisés uniformes vers la triangulation

brownienne?

Point clé :chacun de ces modèles peut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

(53)

III. Comment prouver la convergence de tous ces modèles non croisés uniformes vers la triangulation

brownienne?

Point clé :chacun de ces modèles peut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

(54)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

Un ornithorynque explore l’arbre à une vitesse unité. Pour06t62(ζ(τ) −1), Ct(τ)est défini comme étant la distance entre la racine et la position de l’animal à l’instant t.

(55)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

(56)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

(57)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

Un ornithorynque explore l’arbre à une vitesse unité. Pour06t62(ζ(τ) −1), C_t(τ)est défini comme étant la distance entre la racine et la position de l’animal à l’instant t.

(58)

Codage des arbres

0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5 6 7

Définition (de la fonction de contour)

Un ornithorynque explore l’arbre à une vitesse unité. Pour06t62(ζ(τ) −1), C_t(τ)est défini comme étant la distance entre la racine et la position de l’animal à l’instant t.

(59)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Fonction de contour renormalisée d’un grand arbre de Galton-Watson conditionné.

Stratégie de preuve de la convergence vers la triangulation brownienne :

I Chacun des modèlesnon croisésuniformespeut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

conditionnés convergent versl’excursion brownienne.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e). On en déduit la convergence des modèles non croisésuniformesvers L(e).

(60)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

I Les fonctions de contour renormalisées de ces arbres de Galton-Watson conditionnés convergent versl’excursion brownienne.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e). On en déduit la convergence des modèlesnon croisésuniformesvers L(e).

(61)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

conditionnés convergent versl’excursion brownienne.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e). On en déduit la convergence des modèlesnon croisésuniformesversL(e).

(62)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

I Les fonctions de contour renormalisées de ces arbres deGalton-Watson conditionnésconvergent versl’excursion brownienne.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e). On en déduit la convergence des modèlesnon croisésuniformesversL(e).

(63)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e).

(64)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e).

On en déduit la convergence des modèlesnon croisésuniformesversL(e).

(65)

Mais comment coder les modèlesuniformesnon croiséspar des arbres de Galton-Watson conditionnés?

(66)

Lien entre transpositions non croiséesuniformeset arbres deGalton-Watson.

(67)

On considère le dual d’une transposition non-croiséeuniformede P2n :

... qui a la même loi qu’un arbre de Galton- Watsonde loi de reproductionν=Geom(1/2), conditionnéà avoirn+1 sommets.

La fonction de contour renormalisée de ces arbres converge vers l’excursion brownienne(Aldous ’93).

Idée : la fonction de contour d’un arbre deGalton-Watson se comporte comme une marche aléatoire.

Il s’ensuit que les transpositionsnon croisées uniformesdeP2n convergent vers latriangulation brownienne.

(68)

Il s’agit d’un arbreuniformeavecn+1sommets.

(69)

brownienne(Aldous ’93).

(70)

(71)

latriangulation brownienne.

(72)

(73)

Codage des dissectionsuniformespar des arbres deGalton-Watsonconditionnés.

(74)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

On considère le dual d’une dissectionuniformedeP_n

, convenablement enraciné

:

Il s’agit d’un arbre uniforme sur l’ensemble des arbres avecn−1feuilles tels qu’aucun sommet n’a qu’un seul enfant.

Proposition (Curien & K. ’12, Pitman & Rizzolo ’11)

La loi d’un arbreuniforme sur l’ensemble des arbres avecn−1 feuilles tels qu’aucun sommet n’a qu’un seul enfant est la loi d’unGWµ₀ arbre de loi de reproduction µ0conditionnéà avoirn−1feuilles, où :

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

pour i>2.

(75)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

On considère le dual d’une dissectionuniformedeP_n, convenablement enraciné :

Proposition (Curien & K. ’12, Pitman & Rizzolo ’11)

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2− 2

2 pour i>2.

(76)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

Proposition (Curien & K. ’12, Pitman & Rizzolo ’11)

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

pour i>2.

(77)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

Proposition (Curien & K. ’12, Pitman & Rizzolo ’11)

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2− 2

2 pour i>2.

(78)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

Proposition (Curien & K. ’12, Pitman & Rizzolo ’11)

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

pour i>2.

(79)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

La fonction de contour renormalisée deGWµ₀ arbresconditionnésà avoir beaucoup de feuilles converge vers l’excursion brownienne (K. ’11).

brownienne.

(80)

Dissections uniformes et arbres de Galton-Watson

La fonction de contour renormalisée deGWµ₀ arbresconditionnésà avoir beaucoup de feuilles converge vers l’excursion brownienne (K. ’11).

Il s’ensuite que les dissectionsuniformesdeP_n convergent vers latriangulation brownienne.

(81)

Conclusion : Dans tous ces modèlesuniformes, de l’indépendanceest cachée.

(82)

IV. Application à l’étude des dissections uniformes

(83)

Application à l’étude des dissections uniformes

Soit Dn une dissection uniforme de Pn. Rap- pel : Le dual enraciné de Dn est un arbre de loi Pµ₀[·|λ(τ) =n−1], où (i>2) :

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

(84)

Application à l’étude des dissections uniformes

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

Application 1 (Compter les dissections).Preuve probabiliste du résultat suivant :

Théorème (Flajolet & Noy ’99)

Soitan le nombre de dissections dePn. Alors :

an ∼

n→∞

1 4

s 99√

2−140

π n^−3/2(3+2√ 2)ⁿ.

(85)

Application à l’étude des dissections uniformes

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

Application 1 (Compter les dissections).Preuve probabiliste du résultat suivant :

Théorème (Flajolet & Noy ’99)

Soitan le nombre de dissections dePn. Alors :

an ∼

n→∞

1 4

s 99√

2−140

π n^−3/2(3+2√ 2)ⁿ.

(86)

Application à l’étude des dissections uniformes

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

Application 2 (Étude du degré maximal d’une face).On noteD⁽ⁿ⁾le degré maximal d’une face de Dn.

Théorème (Curien & K. ’12)

Soitβ=2+√

2. Pour toutc >0, on a :

P(log_β(n) −clog_βlog_β(n)6D⁽ⁿ⁾6log_β(n) +clog_βlog_β(n)) −−−→

n→∞ 1.

(87)

Application à l’étude des dissections uniformes

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

Application 2 (Étude du degré maximal d’une face).On noteD⁽ⁿ⁾le degré maximal d’une face de Dn.

Théorème (Curien & K. ’12)

Soitβ=2+√

2. Pour toutc >0, on a :

P(log_β(n) −clog_βlog_β(n)6D⁽ⁿ⁾6log_β(n) +clog_βlog_β(n)) −−−→

n→∞ 1.

(88)

Application à l’étude des dissections uniformes

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

Application 3 (Étude du degré d’un sommet).

Théorème (Curien & K. ’12)

Soit∂⁽ⁿ⁾ le nombre de diagonales adjacentes au sommet d’affixe1dans Dn.

Alors ∂⁽ⁿ⁾converge en loi vers la somme de deux variables aléatoires indépendantes géométriques de paramètre√

2−1, c-à-d pourk>0 on a :

P(∂⁽ⁿ⁾=k) −−−→

n→∞ (k+1)µ²₀(1−µ0)^k.

(89)

Application à l’étude des dissections uniformes

µ0(0) =2−√

2, µ0(1) =0, µ0(i) = 2−√ 2 2

!i−1

.

Application 3 (Étude du degré d’un sommet).

Théorème (Curien & K. ’12)

Soit∂⁽ⁿ⁾ le nombre de diagonales adjacentes au sommet d’affixe1dans Dn. Alors ∂⁽ⁿ⁾converge en loi vers la somme de deux variables aléatoires

indépendantes géométriques de paramètre√

2−1, c-à-d pourk>0on a : P(∂⁽ⁿ⁾=k) −−−→

n→∞ (k+1)µ²₀(1−µ0)^k.