Phénomènes de condensation dans de grands arbres de Galton-Watson sous-critiques

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Phénomènes de condensation dans de grands arbres de Galton-Watson sous-critiques

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay)

Séminaire de l’ANR A3, 30 mai 2012

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Condensation dans les arbres de GW sous-critiques

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Philosophie générale

But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches: - Limites d’échelle

- Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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Philosophie générale

But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches: - Limites d’échelle

- Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches: - Limites d’échelle

- Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches: - Limites d’échelle

- Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches:

- Limites d’échelle

- Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches:

- Limites d’échelle - Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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Philosophie générale

But: comprendre la structure de grands arbres deGalton-Watson conditionnés.

Cadre typique:

- la loi de reproductionµest critique (P

iiµ(i)=1).

- µest de variance finie.

- on étudie des arbres GWµconditionnés à avoir un (grand) nombre de sommets fixé.

Deux approches:

- Limites d’échelle - Limites locales

On se demandera ce qui se passe lorsqueµn’est pas critique.

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Plan

I. État de l’art

II. Présentation du modèle dit « non générique »

III. Théorèmes limites pour les arbres « non génériques » IV. Une conjecture et une question

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I. État de l’art

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2. Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1.

La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2. Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2. Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2. Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2. Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2.

Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2.

Ici,ζ(τ) =5.

On noteζ(τ)le nombre total de sommets deτ.

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Petits rappels sur les arbres de Galton-Watson

On considère des arbres plans enracinés.

Soitρune mesure de probabilité surNde moyenne inférieure ou égale à1 avec ρ(1)<1. La loi d’un arbre deGalton-Watson de loi de reproductionρest l’unique mesure de probabilitésPρ sur les arbres telle que :

1. k_∅ est de loiρ, où k_∅ est le nombre d’enfants dela racine.

2. pour tout j>1 avecρ(j)>0, sous la loi conditionnéePρ(·|k_∅=j), lesj sous-arbres issus desjenfants dela racinesont indépendents, et leur loi conditionnelle estPρ.

Ici,k_∅=2.

Ici,ζ(τ) =5.

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I. 1) Limites d’échelle

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Codage d’arbres

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Codage d’arbres

On ordonne les sommets dans l’ordre lexicographique : k_∅=u(0)< u(1)<· · ·< u(ζ(τ) −1).

Soitku le nombre d’enfants du sommet u.

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Codage d’arbres

0 1

2 3

4

5 6

7

8 9 10

11 12 13

14 15

16

17 18

19

20 21

22 23

24 25

On ordonne les sommets dans l’ordre lexicographique : k_∅=u(0)< u(1)<· · ·< u(ζ(τ) −1).

Soitk le nombre d’enfants du sommet u.

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Codage d’arbres

0 1

2 3

4

5 6

7

8 9 10

11 12 13

14 15

16

17 18

19

20 21

22 23

24 25

On ordonne les sommets dans l’ordre lexicographique : k_∅=u(0)< u(1)<· · ·< u(ζ(τ) −1).

Soitku le nombre d’enfants du sommet u.

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Codage d’arbres

0 1

2 3

4

5 6

7

8 9 10

11 12 13

14 15

16

17 18

19

20 21

22 23

24 25

Définition

La marche de LukasiewiczW(τ) = (Wn(τ), 06n6ζ(τ))d’un arbreτest définie par :

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Codage d’arbres

0 1

2 3

4

5 6

7

8 9 10

11 12 13

14 15

16

17 18

19

20 21

22 23

24 25

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6

Définition

La marche de LukasiewiczW(τ) = (Wn(τ), 06n6ζ(τ))d’un arbreτest définie par :

W0(τ) =0, Wn+1(τ) =Wn(τ) +k_u(n)(τ) −1.

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Codage d’arbres

0 1

2 3

4

5 6

7

8 9 10

11 12 13

14 15

16

17 18

19

20 21

22 23

24 25

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6

Proposition

La marche de Lukasiewicz d’un GWµtree a la même loi qu’unemarche aléatoirede loi des sautsν(k) =µ(k+1),k>−1, issue de0, arrêtée au

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Codage d’arbres

0 1

2 3

4

5 6

7

8 9 10

11 12 13

14 15

16

17 18

19

20 21

22 23

24 25

Définition (de la fonction de contour)

Un capybara explore l’arbre à vitesse unité. Pour 06t62(ζ(τ) −1),C_t(τ)est la distance entre la bête et la racine à l’instant t.

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Codage d’arbres

Définition (de la fonction de contour)

Un capybara explore l’arbre à vitesse unité. Pour 06t62(ζ(τ) −1),Ct(τ)est

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Codage d’arbres

Définition (de la fonction de contour)

Un capybara explore l’arbre à vitesse unité. Pour 06t62(ζ(τ) −1),Ct(τ)est la distance entre la bête et la racine à l’instant t.

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Codage d’arbres

0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5 6 7

Définition (de la fonction de contour)

Un capybara explore l’arbre à vitesse unité. Pour 06t62(ζ(τ) −1),Ct(τ)est

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Codage d’arbres

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6

0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5 6 7

Figure:La marche de Lukasiewicz et la fonction de contour.

I La marche de Lukasiewicz se comporte comme unemarche aléatoire.

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Théorème (Aldous ’93, Duquesne ’04)

Soitσ²la variance deµ. On a : 1

√nW[nt](t_n), 1 2√

nC_2nt(t_n)

06t61

−→(d) n→∞

σ·e(t),1 σe(t)

06t61

,

oùe est l’excursion brownienne normalisée.

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Théorème (Aldous ’93, Duquesne ’04)

Soitσ²la variance deµ. On a : 1

√nW[nt](t_n), 1 2√

nC_2nt(t_n)

06t61

−→(d) n→∞

σ·e(t),1 σe(t)

06t61

,

oùe est l’excursion brownienne normalisée.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Théorème (Aldous ’93, Duquesne ’04)

Soitσ²la variance deµ. On a : 1

√nW[nt](t_n), 1 2√

nC_2nt(t_n)

06t61

−→(d) n→∞

σ·e(t),1 σe(t)

06t61

,

oùe est l’excursion brownienne normalisée.

Remarque:

I Duquesne ’04 : extension au cas oùµ est dans le domaine d’attraction d’une loi stable.

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Théorème (Aldous ’93, Duquesne ’04)

Soitσ²la variance deµ. On a : 1

√nW[nt](t_n), 1 2√

nC_2nt(t_n)

06t61

−→(d) n→∞

σ·e(t),1 σe(t)

06t61

,

oùe est l’excursion brownienne normalisée.

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

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Limites d’échelle

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un P^µ[·|ζ(τ) =n]arbre. À quoi ressembletn pour ngrand ?

Théorème (Aldous ’93, Duquesne ’04)

Soitσ²la variance deµ. On a : 1

√nW[nt](t_n), 1 2√

nC_2nt(t_n)

06t61

−→(d) n→∞

σ·e(t),1 σe(t)

06t61

,

oùe est l’excursion brownienne normalisée.

Conséquences:

- théorème limite pour la hauteur detn,

- convergence au sens de Gromov-Hausdorff de tn, convenablement renormalisé, vers le CRT.

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I. 2) Limites locales

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Convergence locale

Définition (Convergence locale)

SoitB_r(τ)le sous-arbre deτformé des sommets à distance au plus rde la racine.

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre.

Est-ce que t_n converge localement (en loi) lorsquen→∞?

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale

Définition (Convergence locale)

SoitB_r(τ)le sous-arbre deτformé des sommets à distance au plus rde la racine.

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre.

Est-ce que t_n converge localement (en loi) lorsquen→∞?

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Convergence locale

Définition (Convergence locale)

SoitB_r(τ)le sous-arbre deτformé des sommets à distance au plus rde la racine.

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre.

Est-ce que t_n converge localement (en loi) lorsquen→∞?

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Convergence locale

Définition (Convergence locale)

SoitB_r(τ)le sous-arbre deτformé des sommets à distance au plus rde la racine.

On dit que τ_n converge localement versτ(localement fini) si, pour toutr >0 : Br(τn) =Br(τ)

pour nsuffisamment grand.

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soitt_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre.

Est-ce que tn converge localement (en loi) lorsquen→∞?

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Convergence locale

Définition (Convergence locale)

SoitB_r(τ)le sous-arbre deτformé des sommets à distance au plus rde la racine.

On dit que τ_n converge localement versτ(localement fini) si, pour toutr >0 : Br(τn) =Br(τ)

pour nsuffisamment grand.

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre.

Est-ce que tn converge localement (en loi) lorsquen→∞?

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Convergence locale

Définition (Convergence locale)

SoitB_r(τ)le sous-arbre deτformé des sommets à distance au plus rde la racine.

On dit que τ_n converge localement versτ(localement fini) si, pour toutr >0 : Br(τn) =Br(τ)

pour nsuffisamment grand.

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre.

Est-ce que tn converge localement (en loi) lorsquen→∞?

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L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

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L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

Le nombre d’enfants de chaque sommetude l’épine suit la loi : P[ku=i] =iµ(i), i>0.

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L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

Le nombre d’enfants de chaque sommetude l’épine suit la loi : P[ku=i] =iµ(i), i>0.

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L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

Le nombre d’enfants de chaque sommetude l’épine suit la loi : P[ku=i] =iµ(i), i>0.

De plus, l’enfant deusur l’épine est uniformément distribué parmi les enfants de u.

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L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

On greffe ensuite des GWµ arbres sur les nouveaux sommets.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

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L’arbre de GW critique conditionné à survivre

On part d’une épine dorsale infinie.

L’arbre infini ainsi obtenu est appelé « arbre deGalton-Watson critique conditionné à survivre », et notéTb(Kesten 86’).

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Convergence locale vers T b

Théorème (Kesten, 86’)

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie, ett_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre. Alors :

tn

−→(d) n→∞ Tb

au sens de la convergence locale.

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Convergence locale vers T b

Théorème (Kesten, 86’)

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie, ett_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre. Alors :

tn

−→(d) n→∞ Tb au sens de la convergence locale.

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Convergence locale vers T b

Théorème (Kesten, 86’)

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie, ett_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre. Alors :

tn

−→(d) n→∞ Tb au sens de la convergence locale.

Remarque:

I Janson ’12 : ce résultat est satisfait pour n’importe quelle loi de reproductionµ critique.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale vers T b

Théorème (Kesten, 86’)

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie, ett_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre. Alors :

tn

−→(d) n→∞ Tb au sens de la convergence locale.

Conséquences:

- On comprend la structure locale det_n pour ngrand.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale vers T b

Théorème (Kesten, 86’)

Soitµune loi de reproduction critique et de variance finie, ett_n un Pµ[·|ζ(τ) =n]arbre. Alors :

tn

−→(d) n→∞ Tb au sens de la convergence locale.

Conséquences:

- On comprend la structure locale det_n pour ngrand.

- k_∅(t_n)converge en loi vers la loi de probabilitéρ(i) =iµ(i),i>0.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

II. Présentation des arbres « non génériques »

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

II. 1) Familles exponentielles

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Soitµune loi de reproduction avec0<µ(0)<1.

Lemme (Kennedy ’75)

Soitλ >0tel que

Z_λ=X

i>0

µ(i)λⁱ<∞.

On pose

µ^(λ)(i)= 1 Zλ

µ(i)λⁱ, i>0.

Alors un GWµ arbreconditionnéà avoir nsommets a la même loi qu’un GW_µ(λ) arbreconditionnéà avoir nsommets.

Conséquence:

I s’il existeλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ) soit critique, on est ramené au cas critique.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Soitµune loi de reproduction avec0<µ(0)<1.

Lemme (Kennedy ’75)

Soitλ >0tel que

Z_λ=X

i>0

µ(i)λⁱ<∞.

On pose

µ^(λ)(i)= 1 Zλ

µ(i)λⁱ, i>0.

Alors un GWµ arbreconditionnéà avoir nsommets a la même loi qu’un GW_µ(λ) arbreconditionnéà avoir nsommets.

Conséquence:

I s’il existeλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ) soit critique, on est ramené au cas critique.

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Familles exponentielles

Soitµune loi de reproduction avec0<µ(0)<1.

Lemme (Kennedy ’75)

Soitλ >0tel que

Z_λ=X

i>0

µ(i)λⁱ<∞.

On pose

µ^(λ)(i)= 1 Zλ

µ(i)λⁱ, i>0.

Alors un GWµ arbreconditionnéà avoir nsommets a la même loi qu’un GW_µ(λ) arbreconditionnéà avoir nsommets.

Conséquence:

I s’il existeλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ) soit critique, on est ramené au cas critique.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Soitµune loi de reproduction avec0<µ(0)<1.

Lemme (Kennedy ’75)

Soitλ >0tel que

Z_λ=X

i>0

µ(i)λⁱ<∞.

On pose

µ^(λ)(i)= 1 Zλ

µ(i)λⁱ, i>0.

Alors un GWµ arbreconditionnéà avoir nsommets a la même loi qu’un GW_µ(λ) arbreconditionnéà avoir nsommets.

Conséquence:

I s’il existeλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ) soit critique, on est ramené au cas critique.

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Familles exponentielles

Soitµune loi de reproduction avec0<µ(0)<1.

Lemme (Kennedy ’75)

Soitλ >0tel que

Z_λ=X

i>0

µ(i)λⁱ<∞.

On pose

µ^(λ)(i)= 1 Zλ

µ(i)λⁱ, i>0.

Alors un GWµ arbreconditionnéà avoir nsommets a la même loi qu’un GW_µ(λ) arbreconditionnéà avoir nsommets.

Conséquence:

I s’il existeλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ) soit critique, on est ramené au cas

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Proposition (Janson ’12)

Il n’existe pasλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ)soit critique si, et seulement si :

- µest sous-critique (P

iiµ(i)<1) - le rayon de convergence deX

i>0

µ(i)zⁱ est1. On dit dans ce cas queµest « non générique ». Exemple : µ(i)∼c/i^β avecc >0etβ >2.

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Familles exponentielles

Proposition (Janson ’12)

Il n’existe pasλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ)soit critique si, et seulement si : - µest sous-critique (P

iiµ(i)<1)

- le rayon de convergence deX

i>0

µ(i)zⁱ est1. On dit dans ce cas queµest « non générique ». Exemple : µ(i)∼c/i^β avecc >0etβ >2.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Proposition (Janson ’12)

Il n’existe pasλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ)soit critique si, et seulement si : - µest sous-critique (P

iiµ(i)<1) - le rayon de convergence deX

i>0

µ(i)zⁱ est1.

On dit dans ce cas queµest « non générique ». Exemple : µ(i)∼c/i^β avecc >0etβ >2.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Proposition (Janson ’12)

Il n’existe pasλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ)soit critique si, et seulement si : - µest sous-critique (P

iiµ(i)<1) - le rayon de convergence deX

i>0

µ(i)zⁱ est1.

On dit dans ce cas queµest « non générique ».

Exemple : µ(i)∼c/i^β avecc >0etβ >2.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Familles exponentielles

Proposition (Janson ’12)

Il n’existe pasλ >0tel queZ_λ<∞etµ^(λ)soit critique si, et seulement si : - µest sous-critique (P

iiµ(i)<1) - le rayon de convergence deX

i>0

µ(i)zⁱ est1.

On dit dans ce cas queµest « non générique ».

Exemple : µ(i)∼c/i^β avecc >0etβ >2.

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Grands arbres non génériques

On fixeµ non générique. À quoi ressemble unPµ[·|ζ(τ) =n]arbre pour n grand (Jonsson & Stefánsson 11’) ?

Phénomène de condensation.

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Grands arbres non génériques

On fixeµ non générique. À quoi ressemble unPµ[·|ζ(τ) =n]arbre pour n grand (Jonsson & Stefánsson 11’) ?

Phénomène de condensation.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Grands arbres non génériques

On fixeµ non générique. À quoi ressemble unPµ[·|ζ(τ) =n]arbre pour n grand (Jonsson & Stefánsson 11’) ?

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Convergence locale modifée

Définition (Jonsson & Stefánsson)

SoitBfr(τ)le sous-arbre deτformé des rpremiers enfants des sommets à distance au plusr de la racine.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale modifée

Définition (Jonsson & Stefánsson)

SoitBfr(τ)le sous-arbre deτformé des rpremiers enfants des sommets à distance au plusr de la racine.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale modifée

Définition (Jonsson & Stefánsson)

SoitBfr(τ)le sous-arbre deτformé des rpremiers enfants des sommets à distance au plusr de la racine.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale modifée

Définition (Jonsson & Stefánsson)

SoitBfr(τ)le sous-arbre deτformé des rpremiers enfants des sommets à distance au plusr de la racine.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale modifée

Définition (Jonsson & Stefánsson)

SoitBf_r(τ)le sous-arbre deτformé des rpremiers enfants des sommets à distance au plusr de la racine.

On dit que τ_n converge localement versτsi, pour toutr >0 : Ber(τn) =eBr(τ)

pour nsuffisamment grand.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

Le sommet en haut de l’épine a un nombre infini d’enfants, et le nombre d’enfants de chaque autre sommetude l’épine suit la loi :

P[ku=i] = iµ(i)

m , i>0

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

Le sommet en haut de l’épine a un nombre infini d’enfants, et le nombre d’enfants de chaque autre sommetude l’épine suit la loi :

P[k_u=i] = iµ(i)

m , i>0

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

Le sommet en haut de l’épine a un nombre infini d’enfants, et le nombre d’enfants de chaque autre sommetude l’épine suit la loi :

P[k_u=i] = iµ(i)

m , i>0

De plus, l’enfant deusur l’épine est uniformément distribué parmi les enfants de u.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

On greffe ensuite des GWµ arbres sur les nouveaux sommets.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

L’arbre de GW critique conditionné à survivre modifié

On part d’une épine dorsale de longueur finie aléatoireS, où P[S=i] = (1−m)mⁱ pouri>0, etmest la moyenne deµ.

L’arbre infini ainsi obtenu est appelé « arbre deGalton-Watson non générique conditionné à être infini », et noté T(Jonsson & Stefánsson 11’).

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale

Théorème (Jonsson & Stefánsson ’11)

Soitµune loi de reproduction sous-critique telle queµ(i)∼c/i^β avec c >0, β >2. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Alors :

1) On a :

t_n −→^(d)

n→∞ Tb

au sens de la convergencelocale.^

2) Le degré maximal detn, divisé parn, converge en probabilité vers1−m.

Remarques:

I Janson ’12 : le point 1) est satisfait pour n’importe quelle loi de reproduction non générique µ.

I Un GWµ arbre a en moyenne1+m+m²+· · ·=1/(1−m)sommets.

Ainsi, une forêt decnarbres GWµ a en moyennecn/(1−m)sommets.

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Convergence locale

Théorème (Jonsson & Stefánsson ’11)

Soitµune loi de reproduction sous-critique telle queµ(i)∼c/i^β avec c >0, β >2. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Alors :

1) On a :

t_n −→^(d)

n→∞ Tb au sens de la convergencelocale.^

2) Le degré maximal detn, divisé parn, converge en probabilité vers1−m.

Remarques:

I Janson ’12 : le point 1) est satisfait pour n’importe quelle loi de reproduction non générique µ.

I Un GWµ arbre a en moyenne1+m+m²+· · ·=1/(1−m)sommets.

Ainsi, une forêt decnarbres GWµ a en moyennecn/(1−m)sommets.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale

Théorème (Jonsson & Stefánsson ’11)

Soitµune loi de reproduction sous-critique telle queµ(i)∼c/i^β avec c >0, β >2. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Alors :

1) On a :

t_n −→^(d)

n→∞ Tb

au sens de la convergencelocale.^

2) Le degré maximal detn, divisé parn, converge en probabilité vers1−m.

Remarques:

I Janson ’12 : le point 1) est satisfait pour n’importe quelle loi de reproduction non générique µ.

I Un GWµ arbre a en moyenne1+m+m²+· · ·=1/(1−m)sommets.

Ainsi, une forêt decnarbres GWµ a en moyennecn/(1−m)sommets.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale

Théorème (Jonsson & Stefánsson ’11)

Soitµune loi de reproduction sous-critique telle queµ(i)∼c/i^β avec c >0, β >2. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Alors :

1) On a :

t_n −→^(d)

n→∞ Tb

au sens de la convergencelocale.^

2) Le degré maximal detn, divisé parn, converge en probabilité vers1−m.

Remarques:

I Janson ’12 : le point 1) est satisfait pour n’importe quelle loi de reproduction non génériqueµ.

I Un GWµ arbre a en moyenne1+m+m²+· · ·=1/(1−m)sommets.

Ainsi, une forêt decnarbres GWµ a en moyennecn/(1−m)sommets.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale

Théorème (Jonsson & Stefánsson ’11)

Soitµune loi de reproduction sous-critique telle queµ(i)∼c/i^β avec c >0, β >2. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Alors :

1) On a :

t_n −→^(d)

n→∞ Tb

au sens de la convergencelocale.^

2) Le degré maximal detn, divisé parn, converge en probabilité vers1−m.

Remarques:

I Janson ’12 : le point 1) est satisfait pour n’importe quelle loi de reproduction non génériqueµ.

I Un GWµ arbre a en moyenne1+m+m²+· · ·=1/(1−m)sommets.

Ainsi, une forêt decnarbres GWµ a en moyennecn/(1−m)sommets.

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Convergence locale

Théorème (Jonsson & Stefánsson ’11)

Soitµune loi de reproduction sous-critique telle queµ(i)∼c/i^β avec c >0, β >2. Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Alors :

1) On a :

t_n −→^(d)

n→∞ Tb

au sens de la convergencelocale.^

2) Le degré maximal detn, divisé parn, converge en probabilité vers1−m.

Remarques:

I Janson ’12 : le point 1) est satisfait pour n’importe quelle loi de reproduction non génériqueµ.

I Un GW arbre a en moyenne1+m+m²+· · ·=1/(1−m)sommets.

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

III. Théorèmes limites pour les arbres « non génériques »

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État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Hypothèses

On fixe une loi de reproduction µtelle que : - µest sous-critique (0<P

iiµ(i)<1)

- Il existe une fonction à variation lenteLtelle que µ(n)= L(n)

n^1+θ, n>1 avec θ >1 fixé.

(Lest à variation lente siL(tx)/L(x)→1lorsquex→∞,∀t >0.) Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Questions :

- Est-ce que la marche de Lukasiewicz et fonction de contour detn, convenablement renormalisées, convergent ?

- Quelles sont les fluctuations du degré maximal ? - Où est situé le sommet de degré maximal ? - Quelle est la hauteur de t_n?

État de l’art Arbres non génériques Théorèmes limites Extensions

Hypothèses

On fixe une loi de reproduction µtelle que : - µest sous-critique (0<P

iiµ(i)<1)

- Il existe une fonction à variation lenteLtelle que µ(n)= L(n)

n^1+θ, n>1 avecθ >1 fixé.

(Lest à variation lente siL(tx)/L(x)→1lorsquex→∞,∀t >0.) Soittn un Pµ[·|ζ(τ) =n] arbre. Questions :

- Est-ce que la marche de Lukasiewicz et fonction de contour detn, convenablement renormalisées, convergent ?

- Quelles sont les fluctuations du degré maximal ? - Où est situé le sommet de degré maximal ? - Quelle est la hauteur de t_n?

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Condensation dans les arbres de GW sous-critiques