La triangulation brownienne :

(1)

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

La triangulation brownienne :

une limite universelle de configurations non-croisées aléatoires

(travail avec Nicolas Curien)

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay)

Séminaire de probabilités de l’institut Fourier, 13 mars 2012

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

(2)

Philosophie générale

Soit(Xn)n>1une suite d’objets «discrets» convergeant vers un objet

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

Plusieurs intérêts :

- Du discret au continu :si une certaine propriétéPest vérifiée par tous les Xn et passe à la limite,XvérifieP.

- Du continu au discret :si une certaine propriétéPest vérifiée parXet passe à la limite,Xn vérifie « à peu près » Ppour ngrand.

- Universalité : si(Y_n)_n_>₁est une autre suite d’objets qui converge versX, alorsX_n etY_n ont à peu près les même propriétés pourngrand.

Quel est le sens de la convergence lorsque les objets sontaléatoires?

→Convergence en distribution

(3)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

(4)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

(5)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

(6)

Philosophie générale

«continu» X:

Xn −→

n→∞ X.

→ Convergence en distribution

(7)

Plan

I. Présentation des objets discrets II. Construction de l’objet limite

III. Idée de la preuve de la convergence

IV. Application à l’étude des propriétés combinatoires des dissections

(8)

I. Présentation des objets discrets

(9)

SoitP_n le polygône dont les sommets sonte^2iπjⁿ (j=0, 1, . . . ,n−1).

Philosophie générale:on choisit au hasard une configurationnon-croisée obtenue à partir des sommets dePn, c’est-à-dire un ensemble de diagonales qui ne se coupent pas.

Que se passe-t-il pourngrand ?

(10)

(11)

(12)

Cas des dissections deP_n.

(13)

Dissections

SoitPn le polygône dont les sommets sonte^2iπjⁿ (j=0, 1, . . . ,n−1).

UnedissectiondeP_n est l’union des côtés deP_n et d’une collection de diagonales qui ne peuvent s’intersecter qu’en leurs extrémités (c-à-dnon croisées).

(14)

Dissections

(15)

Dissections

(16)

Dissections

(17)

Dissections

(18)

Dissections

SoitDn une dissection aléatoire,uniformémentdistribuée parmi toutes les dissections dePn. À quoi ressembleDn lorsquenest très grand ?

Exemple de réalisations deT18 etT15000.

(19)

Dissections

SoitDn une dissection aléatoire,uniformémentdistribuée parmi toutes les dissections dePn. À quoi ressembleDn lorsquenest très grand ?

Exemple de réalisations deT18 etT15000.

(20)

Cas des arbresnon croisésde P_n.

(21)

Arbres non croisés

Exemple d’arbrenon croiséde P₁₀ :

(22)

Arbres non croisés

On choisit aléatoirementTn un arbre non croisé,uniformémentparmi tous ceux de Pn. À quoi ressemble Tn pourngrand ?

Exemple de réalisations deT500etT1000.

(23)

Arbres non croisés

On choisit aléatoirementTn un arbre non croisé,uniformémentparmi tous ceux de Pn. À quoi ressemble Tn pourngrand ?

Exemple de réalisations deT500etT1000.

(24)

Cas des transpositionsnon croisées deP2n.

(25)

Transpositions non croisées

Exemple de transpositionnon croiséedeP20:

(26)

Transpositions non croisées

On choisit aléatoirementQn une transpositionnon croiséede P2n,

uniformémentparmi tous ceux deP2n. À quoi ressembleQn pour ngrand ?

Exemple de réalisations deQ250etQ1000.

(27)

Transpositions non croisées

On choisit aléatoirementQn une transpositionnon croiséede P2n,

uniformémentparmi tous ceux deP2n. À quoi ressembleQn pour ngrand ?

Exemple de réalisations deQ250etQ1000.

(28)

Petit historique

Point de vue combinatoire :

I Comptage et bijections d’arbres non croisés : Dulucq & Penaud (1993), Noy (1998), ...

I Comptage de diverses configurations non croisées : Flajolet & Noy (1999)

Point de vue combinatoire probabiliste :

I Triangulations uniformes (degré maximal) : Devroye, Flajolet, Hurtado, Noy

& Steiger (1999) et Gao & Wormald (2000)

I Arbres non croisés uniformes (degré maximal) : Deutsch & Noy (2002), Marckert & Panholzer (2002)

I Dissections uniformes (degré maximal) : Bernasconi, Panagiotou & Steger (2010)

Point de vue géométrique :

I Aldous (1994) : grandes triangulations uniformes

I K’ (2011) : dissections favorisant les grandes faces (non uniformes)

(29)

Petit historique

I Comptage de diverses configurations non croisées : Flajolet & Noy (1999) Point de vue combinatoire probabiliste :

(30)

Petit historique

I Comptage de diverses configurations non croisées : Flajolet & Noy (1999) Point de vue combinatoire probabiliste :

(31)

II. Construction de l’objet limite : latriangulation brownienne(Aldous, ’94)

(32)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

Soient(X_n)_n_>₁une suite de v. a. i.i.d avecE[X₁] =0 etσ²=E X₁²

<∞.

SoitS_n =X₁+X₂+· · ·+X_n. Alors : S_nt

σ√

n,t>0

(d)

n−→→∞ (Wt,t>0),

où(W_t,t>0)est une fonction continue aléatoire appelée mouvement brownien (qui ne dépend pas deσ).

S_nt σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(33)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

<∞. SoitS_n =X₁+X₂+· · ·+X_n.

Alors : S_nt

σ√

n,t>0

(d)

n−→→∞ (Wt,t>0),

S_nt σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(34)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

<∞. SoitS_n =X₁+X₂+· · ·+X_n. Alors :

S_nt σ√

n,t>0

(d) n−→→∞

(Wt,t>0),

S_nt σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(35)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

S_nt σ√

n,t>0

(d)

n−→→∞ (Wt,t>0),

S_nt σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(36)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

S_nt σ√

n,t>0

(d)

n−→→∞ (Wt,t>0),

S_nt σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(37)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

S_nt σ√

n,t>0

(d)

n−→→∞ (Wt,t>0),

Snt

σ√

n, 06t61

pour n=100:

Snt

σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(38)

Rappels sur le mouvement brownien

Théorème (de Donsker)

S_nt σ√

n,t>0

(d)

n−→→∞ (Wt,t>0),

Snt

σ√

n, 06t61

pour

n=100000:

(39)

Théorème (de Donsker conditionné)

Soient(Xn)n>1une suite de v. a. indépendantes de même loi avecE[X1] =0et σ²=E

X12

<∞.

SoitSn =X1+X2+· · ·+Xn. Alors :

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d)

n−→→∞ (et,t>0), où(et,t>0)est une fonction continue aléatoire appelée excursion browienne.

L’excursion brownienne peut être vue comme le mouvement brownien (Wt, 06t61)conditionné parW1=0 etWt>0pourt∈(0, 1).

(40)

Théorème (de Donsker conditionné)

X12

<∞. SoitSn =X1+X2+· · ·+Xn.

Alors :

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d)

(41)

Théorème (de Donsker conditionné)

X12

<∞. SoitSn =X1+X2+· · ·+Xn. Alors :

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d) n−→→∞

(et,t>0), où(et,t>0)est une fonction continue aléatoire appelée excursion browienne.

(42)

Théorème (de Donsker conditionné)

X12

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d)

n−→→∞ (et,t>0),

où(et,t>0)est une fonction continue aléatoire appelée excursion browienne.

(43)

Théorème (de Donsker conditionné)

X12

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d)

(44)

Théorème (de Donsker conditionné)

X12

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d)

(45)

Théorème (de Donsker conditionné)

X12

Snt

σ√

n,t>0

Sn=0,Si>0pour i < n

(d)

L’excursion brownienne peut être vue comme le mouvement brownien (Wt, 06t61)conditionné parW1=0 etWt>0 pourt∈(0, 1).

(46)

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

(47)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

(48)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Soittun instant de minimum local.

(49)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0. t

Soittun instant de minimum local.

(50)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0. t

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}.

(51)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}.

(52)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

Soittun instant de minimum local. On notegt=sup{s < t;es=et}et dt=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

e^−2iπg^t,e^−2iπt , e^−2iπt,e^−2iπd^t

et

e^−2iπg^t,e^−2iπd^t .

(53)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

e^−2iπg^t

e

⁻^2iπd^t

e

⁻^2iπt

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

et

(54)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

e^−2iπg^t

e

⁻^2iπd^t

e

^−2iπt

et

On fait cela pour tous les instants de minimum local.

(55)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

et

(56)

Construction de l’objet limite

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

et

L’adhérence de l’objet obtenu, notéeL(e), est appeléetriangulation brownienne.

(57)

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n.

Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχ_n converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

(58)

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(59)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(60)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Remarques :

I Aldous ’94 : cette convergence a lieu lorsqueχ_n est une triangulation uniformede P_n.

I Il existe un équivalent « stable » deL(e)avec de gros trous (K. ’11). Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

(61)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Remarques :

I Aldous ’94 : cette convergence a lieu lorsqueχ_n est une triangulation uniformede P_n.

I Il existe un équivalent « stable » deL(e)avec de gros trous (K. ’11).

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(62)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(63)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(64)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(65)

Théorème (Curien & K. ’12)

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

Conséquences :

1 π

3x−1 x²(1−x)²√

1−2x11

36x6¹₂dx.

(66)

III. Comment prouver la convergence de tous ces modèles non croisés uniformes vers la triangulation

brownienne?

Point clé :chacun de ces modèles peut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

(67)

III. Comment prouver la convergence de tous ces modèles non croisés uniformes vers la triangulation

brownienne?

Point clé :chacun de ces modèles peut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

(68)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

Un ornithorynque explore l’arbre à une vitesse unité. Pour06t62(ζ(τ) −1), Ct(τ)est défini comme étant la distance entre la racine et la position de l’animal à l’instant t.

(69)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

(70)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

(71)

Codage des arbres

Définition (de la fonction de contour)

Un ornithorynque explore l’arbre à une vitesse unité. Pour06t62(ζ(τ) −1), C_t(τ)est défini comme étant la distance entre la racine et la position de l’animal à l’instant t.

(72)

Codage des arbres

0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5 6 7

Définition (de la fonction de contour)

Un ornithorynque explore l’arbre à une vitesse unité. Pour06t62(ζ(τ) −1), C_t(τ)est défini comme étant la distance entre la racine et la position de l’animal à l’instant t.

(73)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Fonction de contour renormalisée d’un grand arbre de Galton-Watson conditionné.

Stratégie de preuve de la convergence vers la triangulation brownienne :

I Chacun des modèlesnon croisésuniformespeut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

I Les fonctions de contour renormalisées de ces arbres de Galton-Watson conditionnés convergent versl’excursion brownienne.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e). On en déduit la convergence des modèles non croisésuniformesvers L(e).

(74)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.

Fonction de contour renormalisée d’un grand arbre de Galton-Watson conditionné.

Stratégie de preuve de la convergence vers la triangulation brownienne :

I Chacun des modèlesnon croisésuniformespeut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

I Les fonctions de contour renormalisées de ces arbres de Galton-Watson conditionnés convergent versl’excursion brownienne.

I L’excursion brownienne code la triangulation brownienneL(e). On en déduit la convergence des modèlesnon croisésuniformesvers L(e).