Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Soittun instant de minimum local.

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0. t

Soittun instant de minimum local.

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0. t

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}.

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}.

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

Soittun instant de minimum local. On notegt=sup{s < t;es=et}et dt=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

e^−2iπg^t,e^−2iπt , e^−2iπt,e^−2iπd^t

e^−2iπg^t,e^−2iπd^t .

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.gt t dt

e^−2iπg^t

e

⁻^2iπd^t

e

⁻^2iπt

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

e^−2iπg^t,e^−2iπt , e^−2iπt,e^−2iπd^t

e^−2iπg^t,e^−2iπd^t .

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

On fait cela pour tous les instants de minimum local.

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Soittun instant de minimum local. On noteg_t=sup{s < t;es=et}et d_t=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

e^−2iπg^t,e^−2iπt , e^−2iπt,e^−2iπd^t

e^−2iπg^t,e^−2iπd^t .

On fait cela pour tous les instants de minimum local.

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Construction de l’objet limite

On part de l’excursion browniennee:

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Soittun instant de minimum local. On notegt=sup{s < t;es=et}et dt=inf{s > t;es=et}. On trace alors les cordes

e^−2iπg^t,e^−2iπt , e^−2iπt,e^−2iπd^t

e^−2iπg^t,e^−2iπd^t .

On fait cela pour tous les instants de minimum local.

L’adhérence de l’objet obtenu, notéeL(e), est appeléetriangulation brownienne.

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n.

Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχ_n converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχ_n converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχ_n converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Remarques :

I Aldous ’94 : cette convergence a lieu lorsqueχ_n est une triangulation uniformede P_n.

I Il existe un équivalent « stable » deL(e)avec de gros trous (K. ’11). Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Remarques :

I Aldous ’94 : cette convergence a lieu lorsqueχ_n est une triangulation uniformede P_n.

I Il existe un équivalent « stable » deL(e)avec de gros trous (K. ’11).

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Théorème (Curien & K. ’12)

Pour n>3, soitχn une dissectionuniforme dePn, ou un arbrenon croisé uniformedePn ou encore une transpositionnon croiséeuniformedeP2n. Alors :

χ_n −−−→^(d)

n→∞ L(e),

où la convergence a lieu en loi au sens de la distance de Hausdorff parmi les sous-ensembles compacts du disque.

Conséquences :

I La longueur de la plus longue diagonale deχn converge en loi vers la mesure de probabilité de densité :

Ceci provient d’un petit calcul dans le cas des triangulations uniformes (Aldous ’94) !

I L’aire de la plus grande face deχn converge en loi vers l’aire de la plus grande face deL(e).

Igor Kortchemski (Université Paris-Sud, Orsay) Universalité de la triangulation brownienne

Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

III. Comment prouver la convergence de tous ces modèles non croisés uniformes vers la triangulation

brownienne?

Point clé :chacun de ces modèles peut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

III. Comment prouver la convergence de tous ces modèles non croisés uniformes vers la triangulation

brownienne?

Point clé :chacun de ces modèles peut-être codé par un arbre de Galton-Watson conditionné.

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Objets discrets Objet continu Comment prouver la convergence ? Étude approfondie des dissections uniformes

Dans le document La triangulation brownienne : (Page 46-68)