Mouvement brownien conditionn´e `a rester dans un segment

Mouvement brownien conditionn´ e ` a rester dans un segment

Benjamin Laquerri`ere

Universit´e de La Rochelle

Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens, 5 mai 2010

Motivation originelle

Soit (Xt)_t∈[0,T], un processus de diffusion `a valeurs dansRⁿ et soit A⊂Rⁿ.

On consid`ere que le processus n’est observable qu’en dehors deA,i.e.on observe

Yt =Xt1X_t∈A/ .

Question :Que vaut le processus en un instantt0 o`u le processus est dansA?

Choi, Nam (2004) :

Xˆ_t0 =E[X_t0|σt0, τ_t0,X_σt

0,X_τt

0]

avecσ_t0 = sup{t <t₀,X_T ∈/A} , etτ_t0 = inf{t >t₀,X_T ∈/ A}.

Estimation de trajectoire :On fait une estimation en chaque temps t o`uXt n’est pas observable.

Question :Peut-on interpoler “de mani`ere probabiliste” ?

Cadre

(Xt)t est un mouvement brownien standard (Wt)_t∈[0,T] `a valeurs r´eelles.

On prend pour obstacleA= [a,b]. (0<a<b) Trois cas apparaissent :

• Le processsus n’est plus observ´e `a partir du tempss,

• Le processus n’est pas observ´e entre les temps s ett et r´eapparaˆıt en a,

• Le processus n’est pas observ´e entre les temps s ett et r´eapparaˆıt en b.

Approche th´ eor` eme limite

On souhaite conditionner un processus par un ´ev`enement Λ de probabilit´e nulle.

On se donne une suite (Λn)_n∈N d’´ev`enements de probabilit´e non nulle telle que

Λn+1⊂Λn, \

n∈N

Λn= Λ.

On consid`ere le processus conditionn´e par Λnet on fait tendren→+∞.

C’est l’approche utilis´ee par Durrett, Iglehart, Miller pour construire le m´eandre brownien et l’excursion brownienne.

SoitX une v.a. sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P). Soit Λ un

´ev`enement de probabilit´e non nulle . On d´efinit un nouvelle espace de probabilit´e (Λ,F<sup>Λ</sup>,PΛ) o`uF est la trace deF sur Λ etPΛ est la mesure de probabilit´e d´efinie par

P^Λ(A) = P(A)

P(Λ) =P(A|Λ),∀A∈ F^Λ.

On d´efinit sur cet espace la variableX^Λ comme la restriction deX `a Λ.

X^Λ peut-ˆetre vu comme la variableX conditionn´ee par l’´ev`enement Λ.

Mouvement brownien libre dans un segment

On d´efinit les ´ev`enements

Λ^ε_t ={W_s ∈[−ε, `];∀s∈[0,t]}, et on note Λ^ε:= Λ^ε₁.

Th´eor`eme

Lorsqueεtend vers 0,(W_t^Λε)_t∈[0,1]converge en loi vers un processus markovien inhomog`ene(W<sub>t</sub><sup>`</sup>)_t∈[0,1].

Mouvement Brownien dans un segment avec condition finale

On consid`ere les ´ev`enements

Λ^↓:= Λ^ε∩ {W1∈[−ε;ε]}, Λ^↑:= Λ^ε∩ {W1∈[`−ε;`]}.

Th´eor`eme

Pour`suffisamment grand, lorsqueεtend vers 0, le processus (W<sup>Λ↓</sup>)<sub>t∈[0,1]</sub>converge en loi vers un processus markovien(W<sup>`,↓</sup>)_t∈[0,1]

qui fini presque surement en 0.

Pour`suffisamment grand, lorsqueεtend vers 0, le processus (W<sup>Λ↑</sup>)<sub>t∈[0,1]</sub>converge en loi vers un processus markovien(W<sup>`,↑</sup>)_t∈[0,1]

qui fini presque surement en`.

Le th´eor`eme pr´ec´edent est valide au moins pour` >1.66.

Comparaisons

Proposition

Lorsque`tend vers+∞:

le processus(W_t^`)_t∈[0,1] converge en loi fini-dimensionnelle vers le m´eandre brownien,

le processus(W^`,↓)_t∈[0,1]converge en loi fini-dimensionnelle vers l’excursion brownienne.

Reflection Principle

mt= min

s<tWs, Mt = max

s<t Ws. Principe de r´eflection

Soita<0 et a<x1<x2, on a P Wt ∈[x1,x2],mt <a

=P Wt∈[2a−x2,2a−x1] .

... et cons´equences

Soita<0<b,a<x₁<x₂<b,

• ^{P(mt >a,Mt <b,Wt ∈dx)}

dx =

+∞

X

k=−∞

ˆφt`

x+ 2k(b−a)´

−φt`

x−2a+ 2k(b−a)´˜

1[a,b](x),

• _P<sup>`</sup>Wt ∈[x1,x2],mt >a,Mt >b´ 6P`

Wt ∈[2b−x2,2b−x1],mt >a´ ,

• _P^`mt >−m,Wt>a´ 6m

q2 πt e^−a

2 2t.

Preuve

Convergence f.d.d. :

Il suffit de montrer la convergence du noyaux de transition.

p`(0,0;t;y) = lim

ε→0

PΛ^ε(W_t^Λε ∈dy)

dy = lim

ε→0

f_W^ε

t(y)P^y(Λ^ε_1−t) P(Λ^ε) , avecf_W^ε

t(y) = ^P(Wt∈dy,Λ_dy ^εt). p`(s,x;t;y) = lim

ε→0

P^Λε(W_t^Λε∈dy|W_s^Λε =x)

dy = lim

ε→0

f_W^x,ε

t−s(y)P^y(Λ^ε_1−t) P(Λ^ε_1−s) , avecf_W^x,ε (y) =^P

x(Wt−s∈dy,Λ^ε_t−s)

dy .

f_W^ε_t(y) = 2

+∞

X

k=−∞

φ⁰_t(2k`−y)ε+o(ε)

P Λ^ε

= r2

πϑ

0,1 + `² 2πi

ε+o(ε), avec

ϑ(z, τ) =

+∞

X

k=−∞

exp iπk²τ+ 2kπiz ,

Triple produit de Jacobi :Pourx,z ∈C,|x|<1,z 6= 0, on a

+∞

X

k=−∞

x^k2z^k =

+∞

Y

k=1

1−x^2k

1 +x^2k−1z

1 +x^2k−1z⁻¹ .

En utilisant cette identit´e avecx:=e^−`

2

2 ,z :=−1 et en passant au logarithme, la convergence de la s´erie

+∞

X

k=1

log 1−x^2k

+ 2 log 1−x^2k−1 ,

pourx∈[0,1[, assure que

`²

Tension :

On notePn la mesure induite parW^`,εn surC[0,1].

On doit montrer que : lim

δ→0 lim sup

n→+∞

1 δPn

x(·)∈C[0,1] : sup

s<t<s+δ

|x(t)−x(s)|> η

= 0,

∀η >0 et∀s ∈[0,1[.

Pours= 0. On a :

Pⁿ

„

x(·)∈C[0,1] : sup

0<t<δ

|x(t)|> η

«

= P

„ sup

0<t<δ

|Wt|> η,Λ^εn

«

P(Λ^εn) . Pourε < η, on a

P

„ sup

0<t<δ

|Wt|> η,Λ^ε

« 6 P`

Mδ> η,mδ>−ε´ 6 P`

Mδ> η,mδ>−ε,Wδ∈[−ε, η]´ +P`

mδ>−ε,Wδ> η´ 6 P`

m_δ>−ε,W_δ∈[η,2η+ε]´ +P`

m_δ>−ε,W_δ> η´ 6 2P`

mδ>−ε,Wδ> η´ 6 2

r 2 πδ εe^−η

2 2δ.

d’o`u

1 „ «

2 −^η2` ´

C. Choi and D. Nam.

Interpolation for partly hidden diffusion processes.

Stochastic processes and their applications, 2004.

H.G. Kim.

Filtering of hidden diffusion processes.

Stochastics and Stochastics reports, 2000.

H.G. Kim and D. Nam.

Optimal estimation of diffusion processes hidden by general obstacles.

J. Appl. Prob., 2001.

R.T. Durrett, D.L. Iglehart and D.R. Miller

Weak convergence to Brownian Meander and Brownian Excursion The Annales of Probability, 1977.