Troisième partie : Etude de la durée de fonctionnement.

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Le but du problème est d’étudier le renouvellement d’un des composants d’un système complexe (une ma- chine, un réseau de distribution d’énergie etc...) formé d’un assemblage de différentes pièces susceptibles de tomber en panne. On s’intéresse donc à une de ces pièces susceptibles de se casser ou de tomber en panne et on se place dans la situation idéale où dès que la pièce est défectueuse, elle est immédiatement remplacée. Dans une première partie, on étudie quelques propriétés fondamentales des variables aléatoires discrètes. Puis, dans une deuxième partie, on étudie la probabilité de devoir changer la pièce un certain jour donné. Enfin, dans une troisième partie on cherche à estimer le temps de fonctionnement du système avec un certain nombre de pièces de rechange à disposition.

Dans tout le problème, on considère un espace probabilisé(Ω,A,P). Pour toute variable aléatoire réelleXdé- finie sur(Ω,A,P), on note, sous réserve d’existence,E(X)l’espérance deXetV(X)sa variance.

Les deuxième et troisième partie sont indépendantes, et peuvent en outre être traitées en admettant si besoin les résultats de la première partie.

Première partie

Dans cette première partie, on étudie les propriétés asymptotiques d’une variable aléatoire X à valeurs dansN^∗.

1. a. Montrer que pour tout entier natureljnon nul,

P(X =j) = P(X > j−1)−P(X > j).

b. Soitpun entier naturel non nul. Montrer que

p

X

j=1

jP(X=j) =

p−1

X

j=0

P(X > j)−pP(X > p).

2. a. On suppose queXadmet une espéranceE(X) =µ.

i. Justifier la convergence de la série de terme généralkP(X=k).

ii. Montrer que :

p→+∞lim

+∞

X

k=p+1

kP(X =k) = 0.

iii. En déduire que

p→+∞lim pP(X > p) = 0.

iv. Montrer que la série de terme généralP(X > j)converge.

v. Montrer que

µ=

+∞

X

j=0

P(X > j).

b. On suppose que

+∞

P

j=0

P(X > j)converge.

i. Déterminer le sens de variation de la suite(vp)_p>1définie par

vp=

p−1

X

j=0

P(X > j).

ii. Comparer

p

P

j=1

jP(X=j)et

+∞

P

j=0

P(X > j).

iii. En déduire queXadmet une espérance.

c. Conclure des questions précédentes queXadmet une espérance si et seulement si la série de terme généralP(X > j)converge.

3. On suppose dans cette question qu’il existe un réelαstrictement positif tel que pour tout entier naturel jon ait

P(X > j) = 1

(j+ 1)^α. (∗)

a. Légitimer que(∗)définit bien une loi de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dansN^∗. b. Montrer queXadmet une espérance si et seulement siαest strictement supérieur à 1.

c. Montrer que pour tout entier natureljnon nul P(X=j) = 1

j^α 1− 1 (1 + ¹_j)^α

! .

d. i. Etudier les variations def :x7→1−(1 +x)^−α−αxsur[0,1].

ii. Montrer que pour tout entier natureljnon nul, P(X=j)6 α

j^1+α.

e. Montrer, en utilisant le résultat de (c), que

j→+∞lim j^α+1P(X=j) =α.

f. Montrer queXadmet une variance si et seulement siα >2.

Deuxième partie : Etude de la probabilité de panne un jour donné.

Dans cette deuxième partie, on suppose donnée une suite de variables aléatoires (X_i)_i>1 mutuellement indépendantes et de même loi à valeurs dansN^∗.

Pour tout entierinon nul,Xi représente la durée de vie en jours dui-ème composant en fonctionnement.

Soitkun entier naturel non nul. On noteT_k=X₁+...+X_k.T_kreprésente donc le jour où lek-ième composant tombe en panne. On fixe un entier naturelnnon nul représentant un jour donné et on considère l’événement An ="le composant en place le journtombe en panne" c’est-à-direAn="il existekentier naturel non nul tel queT_k=n", et on se propose d’étudierP(A_n).

4. Pour tout entier naturel non nul j, on notep_j = P(X₁ = j)et u_j = P(A_j). On suppose que pour tout entier naturel non nulj, on apj 6= 0. On pose de plus par conventionu0 = 1.

a. Montrer queu1 =p1.

b. i. Montrer queA2= [X1= 2]S

([X1= 1]∩[X2= 1]). ii. En déduireu2en fonction dep1etp2.

c. Pour tout entier natureli, on poseX˜_i =X_i+1

i. Montrer que les variables X˜_i sont mutuellement indépendantes, indépendantes de X₁ et de même loi queX1.

ii. Soitkun entier naturel non nul strictement inférieur àn. Montrer que A_n∩[X₁ =k] = [X₁=k]∩[

j>1

[ ˜X₁+ ˜X₂+...+ ˜X_j =n−k].

iii. En déduire que pour tout entier naturelknon nul strictement inférieur àn, P_[X1=k](A_n) = P(An−k).

d. Montrer que

un=un−1p1+...+u0pn.

e. En Scilab, soitP = [p1, p2, ..., pn] le vecteur ligne tel queP(j) = pj pour j dans[[1;n]]. Ecrire un programme en Scilab qui calculeu_nà partir deP.

5. Soitλun réel appartenant à]0,1[.Dans cette question, on suppose queX₁ suit la loi géométrique de paramètreλ. Pour tout entier natureljnon nul, on a doncP(X₁ =j) =λ(1−λ)^j−1.

a. CalculerP(X₁> k)pour tout entier naturelknon nul.

b. CalculerP_[X1>k](X1 =k+ 1).

c. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,

P(An) =λ.

6. On suppose dans cette question quep₁vérifie0 < p₁ <1et quep₂ = 1−p₁. Pour simplifier, on posera p=p1 = 1−p2.

a. Que vautpipourisupérieur ou égal à 3.

b. Soit la matrice

M = p 1−p

1 0

! .

Montrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, un

un−1

!

=M un−1

un−2

! .

c. i. Diagonaliser la matriceM. ii. Montrer que

Mⁿ⁻¹= 1 2−p

1 1−p 1 1−p

!

+(p−1)ⁿ⁻¹ 2−p

1−p p−1

−1 1

!

d. i. Exprimeru_nen fonction depet den.

ii. Déterminer lim

n→+∞un.

Troisième partie : Etude de la durée de fonctionnement.

Comme dans la partie précédente, on suppose donnée une suite de variables aléatoires (X_i)_i>1 indépen- dantes et de même loi, telle que pour tout entierinon nul,Xi représente la durée de vie en jours dui-ème composant en fonctionnement.

Soitkun entier naturel non nul. On étudie dans cette partie la durée de fonctionnement prévisible du système si on akcomposants à disposition (y compris celui installé au départ). On notera toujoursT_k=X1+...+X_k. on suppose dans cette partie qu’il existe un réelα >1tel que pour tout entier natureljon ait

P(X₁ > j) = 1 (j+ 1)^α.

En particulier, dans toute cette partie,X₁admet une espérance, on l’on noteraµ= E(X₁).

On donne par ailleurs les énoncés suivants : Théorème. Inégalité de Markov

SoitXune variable aléatoire positive, admettant une espérance. Alors :

∀a >0, P(X>a)6 E(X) a

Théorème. Inégalité de Bienaymé-Tchebichev

SoitXune variable aléatoire, admettant un moment d’ordre 2 / une variance. Alors :

∀ε >0, P(|X−E(X)|>ε)6 V(X) ε²

7. Que vautE(T_k)?

8. On suppose,dans cette question, queαest strictement supérieur à 2.X₁admet donc une varianceσ². a. CalculerV(Tk).

b. Montrer que pour tout réelεstrictement positif,

P (|T_k−kµ|>kε)6 σ² kε².

c. Déduire que, pour tout réel strictement positifε, on a

k→+∞lim P T_k

k ∈]µ−ε, µ+ε[

= 1.

9. On suppose maintenant uniquement queα >1et donc queX1 n’a pas nécessairement de variance d’où l’impossibilité d’appliquer la méthode précédente. On va mettre en œuvre ce qu’on appelle une méthode de troncation.

On fixe un entier naturelmstrictement positif. Pour tout entier naturel non nuli, on définit deux variables aléatoiresY_i^(m)etZ_i^(m)de la façon suivante

Y_i^(m)=







X_i siX_i 6m, 0 sinon.

Z_i^(m)=







X_i siX_i> m, 0 sinon.

a. Montrer queX_i =Y_i^(m)+Z_i^(m).

b. i. En utilisant la question 3(d)ii, montrer que E(Z₁^(m))6

+∞

X

i=m+1

α i^α.

ii. Montrer que

E(Z₁^(m))6 Z +∞

m

α x^αdx.

iii. Calculer

Z +∞

m

α x^αdx.

iv. En déduire que

m→+∞lim E(Z₁^(m)) = 0.

v. Montrer que

m→+∞lim E(Y₁^(m)) =µ.

c. i. Montrer que

(Y₁^(m))² 6mX1. ii. En déduire que

V(Y₁^(m))6mµ.

d. Soitεun réel strictement positif. Montrer qu’il existe un entier naturelm0non nul tel que pour tout entier naturelmsupérieur ou égal àm₀,

α

α−1m^1−α 6ε.

Jusqu’à la fin du problème,mdésignera un entier supérieur ou égal àm₀. e. On note, pour tout entier naturelknon nul

U_k^(m)=

k

X

i=1

Y_i^(m)etV_k^(m) =

k

X

i=1

Z_i^(m).

Vérifier que

T_k=U_k^(m)+V_k^(m). f. i. Montrer que

E(V_k^(m))6k× α

α−1m^1−α. ii. En déduire que

P(V_k^(m)>kε)6 α α−1

m^1−α ε . g. i. Montrer que

E(U_k^(m))>kµ−k α

α−1m^1−α. ii. En déduire que

E(U_k^(m))−kµ 6kε.

iii. Montrer que

P

|U_k^(m)−kµ|>2kε

6P

|U_k^(m)−E(U_k^(m))|>kε

. iv. Montrer que

V(U_k^(m))6kmµ.

v. En déduire que

P

|U_k^(m)−kµ|>2kε

6 mµ

kε². h. i. Montrer que pour tout couple d’événementsAetB dansA, on a

P(A∩B)>P(A) + P(B)−1.

ii. En appliquant l’inégalité précédente aux événements A=h

V_k^(m)< kεi

etB=h

U_k^(m)∈]k(µ−2ε), k(µ+ 2ε)[i ,

montrer que

P (T_k∈]k(µ−3ε), k(µ+ 3ε)[)>P

V_k^(m)< kε + P

U_k^(m) ∈]k(µ−2ε), k(µ+ 2ε)[

−1.

iii. Déduire des questions précédentes que pour tout réelεstrictement positif, et pour tout entier msupérieur ou égal àm0, on a pour tout entier naturelknon nul,

P (Tk ∈]k(µ−3ε), k(µ+ 3ε)[)>1− α α−1

m^1−α ε −mµ

kε². iv. Pourkassez grand, appliquer l’inégalité précédente à un entierm_k∈[√

k,2√

k]et conclure que

k→+∞lim P Tk

k ∈]µ−3ε, µ+ 3ε[

= 1.