Lycée Henri IV MP 2020-21 Programme d’interrogations
Semaine 2 : Lundi 30 septembre - Vendredi 02 octobre
• Révisions du programme précédent : groupes, anneaux, corps (en insistant plus, si possible, sur les anneaux).
• Topologie des espaces vectoriels normés (début).
Normes ; exemples fondamentaux dansKn,C0([a, b],K),K[X],Mn(K)et variations sur ces exemples.
Espace normé produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels normés.
Boules, sphères.
Application lipschitzienne d’un evn dans un autre. Une norme est 1-lipschitzienne.
Normes équivalentes ; équivalences des normes usuelles dans Kn, exemples de normes non équi- valentes. Preuve de l’équivalence des normes en dimension finie (par récurrence sur la dimension de l’espace).
Parties bornées, voisinages, ouverts, fermés. Les boules ouvertes (resp. fermées) sont ouvertes (resp.
fermées) (qu’on se le dise !). Les seules parties ouvertes et fermées d’un evnE sont le vide et E.
Limite d’une suite. Valeur d’adhérence. Propriétés usuelles. Si l’espace est de dimension finie l’exis- tence d’une limite équivaut à l’existence d’une limite pour les suites de coordonnées dans une base.
Adhérence d’une partie d’un espace vectoriel normé : définition topologique et caractérisation sé- quentielle. C’est le plus petit fermé contenant la partie. Propriétés usuelles. Partie dense. Adhérence et valeur d’adhérence : l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite est un fermé.
Intérieur ... Frontière d’une partie.
Distance à une partie. Un point est à distance nulle deAsi et seulement si il est dansA. L’application x7→(.x, A) est lipschitzienne.
Définition (séquentielle) de la compacité. Les compacts sont fermés et bornés.
Théorème de Bolzano-Weierstrass : en dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. En dimension finie les compacts sont exactement les parties fermées et bornées.
Un fermé dans un compact est compact.
Une intersection quelconque de compacts et une réunion ou un produit en nombre fini de compacts sont compacts.
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les suites bornées sont convergentes si et seule- ment si elles n’ont qu’une valeur d’adhérence.
Toutes les notions topologiques introduites sont inchangées par changement des normes en des normes équivalentes.
Rappel : la notion de suite de Cauchy et donc la complétude sont devenus hors programme.
Ce chapitre est très long et parfois assez technique, voire fin, pour les étudiants. Il me semble que pour un élève de MP l’essentiel est de savoir comparer deux normes, de déterminer l’intérieur ou l’adhérence d’une partie, de déterminer et d’utiliser la compacité, de déterminer et d’utiliser les valeurs d’adhérence d’une suite,etc.
Nous n’avons pas encore fait beaucoup d’exercices ...
On peut commencer par des choses très simples ou même du cours (qui regorge de bonnes questions), au moins pour les 3/2. N’hésitez pas à faire simple !
1
Prévisions pour la semaine 3 :
Topologie (tout le chapitre sauf la connexité par arcs).
2
