Exercices p 54 et suivantes … 82−−−−83−−−−84 :
on met tous les termes dans le premier membre et on factorise pour étudier le signe d’un produit…
82 p 54.
(2x − 1)² > (x + 1)² ⇔ (2x − 1)² − (x + 1)² > 0
⇔ [(2x − 1) − (x + 1)][(2x − 1) + (x + 1)] > 0 ⇔ (x − 2)(x) > 0
D’après la règle du signe du trinôme l’ensemble des solutions est S = ]−∞ ;0[∪ ]2 ;+∞[ 83 p 54.
(x + 3)(x − 1) < 2x + 6 ⇔ (x + 3)(x − 1) − 2(x + 3) < 0
⇔ (x + 3)(x − 1 − 2) < 0
⇔ (x + 3)(x − 3) < 0 donc S = ]−3 ;3[
84 p 54. L’inéquation existe si 1 − x ≠ 0 c’est à dire si x ≠ 1 x + 3
1 - x ≥−5 ⇔ x + 3
1 - x + 5 ≥ 0 ⇔ x + 3 + 5(1 - x)
1 - x ≥ 0 ⇔ 8 - 4x 1 - x ≥ 0 or 8 - 4x
1 - x a même signe que le trinôme (8 − 4x)(1 − x) donc S = ]−∞ ;1[ ∪ [2 ;+∞[
85 à 90 : il s’agit d’équations « bicarrées »
méthode : 1. on prend une inconnue auxiliaire t = x²
2. on trouve, si elles existent, les valeurs de t solutions de l’équation obtenue 3. avec les valeurs de t acceptables pour un carré on résout x² = t
85 p 54. 4x4 − 5x² + 1 = 0 soit (E) cette équation on pose x² = t on a alors (E) ⇔ 4t ²− 5t + 1 = 0
ce trinôme a pour racine évidente 1 l’autre racine est alors ¼
donc (E) ⇔ x² = 1 ou x² = ¼ ⇔ x = −1 ou x = 1 ou x = ½ ou x = − ½ S= {−1 ; 1 ; ½ ; − ½}
87 p 54. x4− 8x² − 9 = 0 soit (E) cette équation on pose t = x², on a alors (E) ⇔ t² − 8t − 9 = 0
ce trinôme a pour racine évidente −1 l’autre racine est alors 9
on ne peut pas avoir x² = −1 donc (E) ⇔ x² = 9 ⇔ x = 3 ou x = −3 S = {−3 ; 3}
90 p 54. x4 + 5x² + 4 = 0
x4 ≥ 0 et 5x² ≥ 0 et 4 > 0 donc ∀ x ∈ IR, x4+ 5x² + 4 > 0 donc cette équation n’a pas de solution…
91 p 54. même principe de résolution que les bicarrées…
(x² − x)² = 14 (x² − x) − 24 ⇔ (x² − x)² − 14 (x² − x) + 24 = 0. Soit (E) cette équation on pose X = x² − x,
on a alors (E) ⇔ X² − 14X + 24 = 0 ⇔ X = 2 ou X = 12 (obtenues avec ∆ ou racine évidente …) or X = x² − x donc (E) ⇔ x² − x − 2 = 0 OU x² − x − 12 = 0
x² − x − 2 = 0 a pour solutions −1 et 2
et x² − x − 12 = 0 a pour solutions −3 et 4 donc S = {−3 ; −1 ; 2 ; 4}
92 p 54. x − 3 x − 4 = 0. soit (E) cette équation, (E) existe dans D(E) = [0 ; +∞[
même principe de résolution que les bicarrées… mais on pose t = x on a alors (E) ⇔ t² − 3t − 4 = 0 ⇔ t = −1 ou t = 4
on ne peut pas avoir x = −1 donc (E) ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 donc S = {16}
: l’équivalence a = b ⇔ a² = b² n’est vraie que si a et b sont de même signe
96 p 54. x - 4 = x + 1. Il faut que x − 4 ≥ 0 c’est à dire x ≥ 4 donc l’équation (E) existe dans D = [4 ; +∞[ SI x - 4 = x + 1 ALORS x − 4 = (x + 1)² soit (F) cette nouvelle équation
: il n’y a pas équivalence donc on va résoudre (F)
vérifier que ses solutions (s’il y en a) sont aussi solutions de (E) (F) ⇔ x² + 2x + 5 = 0 ∆ = −16 on en déduit que (F) n’a pas de solution et donc que (E) n’a pas de solution
99 p 54. 2x - 6 = x − 3. Il faut que 2x − 6 ≥ 0 c’est à dire que x ≥ 3 ; Donc (E) existe dans D = [3 ; +∞[ SI 2x - 6 = x − 3 ALORS 2x − 6 = (x − 3)² soit (F) cette équation
(F) ⇔ 2(x − 3) − (x − 3)² = 0
⇔ (x − 3)(2 − (x − 3)) = 0
⇔ (x − 3)(5 − x) = 0
⇔ x = 3 ou x = 5
vérifions que 3 et 5 sont solutions de (E) : 6 - 6 = 0 = 3 − 3 et 10 - 6 = 2 = 5 − 3 donc S = {3 ;5}
102 p 55.
Il y a n joueurs dont 1 gagnant et n − 1 perdants
Chacun des n − 1 perdants donne n euros au gagnant donc le gagnant empoche (n − 1) × n euros Si le gagnant a reçu 20 €, on sait que (n − 1) × n = 20 c’est à dire n² − n − 20 = 0
n² − n − 20 = 0 a pour solution évidente 5 ; l’autre étant n’, on a 5n’ = −20 donc n’ = −4 Le nombre de joueurs est donc 5. (−4 ne peut pas être un nombre de joueurs …)
105 p 55.
Recherche de deux nombres dont on connaît la somme S et le produit P.
x + y = S
x × y = P ⇔y = S - x
x × y = P ⇔y = S - x
x × (S - x) = P ⇔y = S - x
x² - Sx + P = 0 ou x + y = S
x × y = P ⇔
x = S - y x × y = P ⇔
y = S - x
(S - y) × y = P ⇔y = S - x
y² - Sy + P = 0
bilan : deux nombres dont on connaît la somme S et le produit P sont les solutions s’ils existent, de l’équation x² − Sx + P = 0
a. x + y = S = 18 et x × y = P = 65
x et y sont les solutions, s’ils existent, de l’équation x² − 18x + 65 = 0 … on obtient x = 13 et y = 5 (ou x = 5 et y = 13 …)
b. x + y = S = −1 et x × y = P = −42
x et y sont les solutions, s’ils existent, de l’équation x² + x + −42 = 0 … on obtient x = 6 et y = −7 (ou x = −7 et y = 6 …)
c. x + y = S = 4 et x × y = P = 5
x et y sont les solutions, s’ils existent, de l’équation x² − 4x + 5 = 0 ce trinôme a pour discriminant ∆ = −4 et n’a donc pas de racines il n’existe donc pas de réels dont la somme est 4 et le produit 5.
