Exercices corrigés : équation, inéquation, tableau de signe

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Seconde : Exercice corrigés – Calculs algébriques, signe, inéquations…

Exercices de Calculs Algébriques

→ Vérifier que vous connaissez vos identités remarquables.

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes 1. ¹ 4

2 x + =x

− 2. ^{x2 =}

(

^2x+1

)

^{2 3. 2x x}

(

^{− =3}

) (

^x+1

)(

^x−3

)

4. ^{2x x}

(

^{− =3}

) (

^{x+1 3}

)(

^−x

)

(difficulté moyenne) 5. ^{2 4} 3

5 x x+ =

− 6. ₂

4

x x

x = −

+ (difficile) METHODE : 1. Faire apparaître 0 à droite de l’égalité.

2. Factoriser ou développer ou mettre au même dénominateur (suivant les cas) le membre de gauche de manière à obtenir un produit du type A B× =0.

3. Un produit est nul SSI l’un des facteurs est nul…

Exercice 2 :

1. Vérifier que ^{x2−4x− =5}

(

^x−2

)

²⁻⁹

2. En déduire les solutions de l’équation x²−4x− =5 0. 3. Factoriser l’expression x²−4x−5.

4. Donner le tableau de signe de la fonction f x( )=x²−4x−5

METHODE : 1. Suivre les consignes (« vérifier », « en déduire »…).

2. Faire le lien entre les questions.

Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes, à l’aide d’un tableau de signe, si besoin.

1. 3x− <7 8x−5 2. ⁶ 3 12 5 2

x− − ≥ −x x 3.

(

^{x+1, 6 5 3}

)(

^{+ x}

)

^{≤0 4. x2 ≥x} 5. ² 0

1 x x+ ≥

− 6. ^{2 4} 0

² 1 x x + >

+

METHODE : 1. Faire apparaître 0 à droite de l’inégalité.

2. Factoriser ou développer ou mettre au même dénominateur (suivant les cas) le membre de gauche de manière à obtenir un produit du type A B× ≤0 ou A B× ≥0. 3. Faire un tableau de signes…

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Exercice 1 – Corrigé Succinct

I.1 ¹ ₄ ¹ _{4 0} ^{1 4 2}

( )

₀ ^{5 7} _{0 5 7 0} ⁷

2 2 2 2 5

x x

x x x

x x

x x x x

+ − −

+ = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

− − − − .

I.2 IDENTITE REMARQUABLE :

( )

²

( )

²

( ( ) ) ( ( ) ) ( )( )

2 2

2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 1 3 1 0

x = x+ ⇔x − x+ = ⇔ x− x+ x+ x+ = ⇔ − −x x+ = . Or le produit de 2 nombres est nul quand l’un des facteurs est nul. Ainsi, ^{1 0 1}

3 1 0 1/ 3

x x

x x

− − = = −

 

⇔

 

+ = = −

  .

Pour se rassurer, on vérifie que ces deux nombres sont solutions de l’équation de départ (de tête ou à l’aide de la calculette).

I.3 FACTORISER : ^2x(^x−3)^{− +}

(

^{x 1}

)

(^x−3)^{= ⇔0} (^x−3)

(

^{2x− +}

(

^{x 1}

) )

^{= ⇔0}

(

^x−3

)(

^{x− = ⇔ =1}

)

^{0 x 3 ou x=1.} I.4 FACTORISER : ^{2x x}

(

^{− − +3}

) (

^{x 1 3}

)(

^{− =x}

)

^{03− =− −x⇔(x 3)2x x}

(

⁻³

) (

^{− +x 1}

) ( (

^{− −x 3}

) )

^{=0 donc}

( )

( )

( ) ( )

( ( ) ) ( )( )

2x x−3 + +x 1 x−3 = ⇔0 x−3 2x+ x+1 = ⇔0 x−3 3x+ =1 0 donc x=3 ou x= −1/ 3. I.5 ^{2 4} ₃ ^{2 4 3}

(

⁵

)

₀ ^{2 4 3 15} _{0 19}

5 5 5 5

x x x x x

x x x x x

+ = ⇔ + − − = ⇔ + − + = ⇔ =

− − − − .

I.6 METTRE AU MEME DENOMINATEUR :

(

²

)

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 4

1 1 4 3

0 1 0 0 0 0

4 4 4 4 4 4 4

x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x

 − + 

 +  − − 

   

= ⇔ − = ⇔  − = ⇔  − = ⇔  = ⇔  =

+ +  +   + +   +   + 

donc forcément, x=0 ou − − =x² 3 0⇒x=0 ou x² = −3. Comme un carré n’est jamais négatif, x² = -3 n’a pas de solution, et la seule solution de l’équation de départ est x = 0.

Exercice 2 – Corrigé Succinct

1. On développe le membre de droite :

(

^x−2

)

^2=x2−4x+4 et on identifie avec celui de gauche.

On a bien

(

^x−2

)

^{2− =9 x2−4x−5.}

2. D’après le 1., pour résoudre x²−4x− =5 0, on peut

(

^x−2

)

^{2− =9 0.} On reconnaît une identité remarquable :

(

^x−2

)

^{2− = ⇔9 0}

(

^x−2

)

^{2− = ⇔32 0}

(

^{x− −2 3}

)(

^{x− + = ⇔2 3}

)

⁰

(

^x−5

)(

^{x+ =1}

)

⁰ donc x = 5 ou x = -1 (on peut vérifier pour être sur…)

3. Ainsi ^{x2−4x− =5}

(

^x−2

)

^{2− =9}

(

^x−5

)(

^x+1

)

. On fait un tableau de signes :

2

| 1 5

5 | 0

1| 0

4 5 | 0 0

x x

x

x x

−∞ − +∞

− − +

+ − +

− − + − +

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Exercice 3 : Corrigé non rédigé (vérifier à la calculette en traçant les fonctions)

1. 3x− <7 8x−5 : 2

[ ; [

S= − +∞5 2. ⁶ 3 12 5 6 6 24 10 5 30 2

x− − ≥ − ⇔ − − ≥ − ⇔ ≥x x x x x x S =[6;+∞[ 3.

(

^{x+1, 6 5 3}

)(

^{+ x}

)

^{≤0 : [ 5; 1, 6]}

S = − −3 4. ^{x2 ≥ ⇔x x x}

(

^{− ≥1}

)

^{0 S=[0;1]}

5. ² 0 1 x x+ ≥

− : S = −[ 2;1[

6. ²₂ ⁴ 0 1 x x + >

+ : un carré est toujours positif donc x² + 1 ≥1 > 0 : S= − +∞[ 2; [