Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚12 Ensembles et applications
Exercice 102 (R´eunion et intersection de deux parties de R2) SoientE et F les parties deR2d´efinies par :
E= [1,3]×[−1,2] et F= [2,4]×[−2,1].
1. Repr´esenter graphiquement les partiesE, F,E∪F etE∩F.
2. `A l’aide de la question 1, conjecturer que E∩F est le produit de deux intervalles deR et d´emontrer le r´esultat conjectur´e.
3. Prouver queR2\E est la r´eunion d’un nombre fini de produits de deux intervalles de R.
On pourra commencer par ´emettre une conjecture `a l’aide de la repr´esentation graphique de la question 1.
Exercice 103 (Calculs dans l’ensemble des parties d’un ensemble) SoitE un ensemble. Soit (A, B, C)∈ P(E)3.
1. D´emontrer :A=B⇔A∩B=A∪B.
2. D´emontrer :A∩B =A⇔B∩A=B.
3. D´emontrer : (A∩B⊂A∩C etA∪B⊂A∪C)⇒B⊂C.
Exercice 104 (Application bien d´efinie (resp. injective, surjective, bijective))
Parmi les applications suivantes, d´eterminer celles qui sont bien d´efinies (resp. injectives, surjectives, bijectives).
On justifiera les r´esultats.
1. f: [−1,3]→[0,20] ; x7→2x+ 3 2. f: [−1,3]→[1,9] ; x7→x2 3. f:R2→R; (x1, x2)7→x1−x2
4. f:R→R2; t7→(t,1−2t) 5. f:C→C; z7→αtel que α2=z
6. f:R→ F(R,R) ; a7→la solution de l’´equation diff´erentielley′+xy= 0 surRtelle quey(0) =a 7. f:R×R+∗→R+∗×R; (x1, x2)7→(ex1,ln(x2))
Exercice 105 (Stricte monotonie d’une fonction et injectivit´e) SoientI etJ deux intervalles deR. Soitf ∈ F(I, J).
1. Montrer que sif est strictement monotone surI, alorsf est injective.
2. Si l’on suppose uniquement f monotone surI,f est-elle n´ecessairement injective ? 3. La r´eciproque de l’assertion de la question 1. est-telle vraie ?
Exercice 106 (Une application bijective de R3 dans R3 et sa bijection r´eciproque) Soit l’application
f:R3→R3; (x1, x2, x3)7→(x1+x2+x3, x2+x3,−x1+ 2x2+x3).
Montrer quef est bijective et d´eterminer sa bijection r´eciproquef−1.
Exercice 107 (Net Zsont en bijection) Soitf l’application d´efinie par :
f:N→Z; n7→
n
2 sinest pair
−n+ 1
2 sinest impair.
1. V´erifier que l’applicationf est bien d´efinie.
2. D´emontrer quef est bijective.
Exercice 108 (Involution d’un ensemble)
Soitf: E→E une application d’un ensembleE dans lui mˆeme, qui est une involution, i.e. telle que : f◦f =idE.
1. Montrer quef est bijective.
2. D´eterminerf−1.
Exercice 109 (´Etude d’une application de P(E)dans P(E)× P(E)) SoientE un ensemble non vide, (A, B)∈ P(E)2. Soitf l’application d´efinie par :
f:P(E)→ P(E)× P(E) ; X7→(X∪A, X∪B).
1. Montrer quef n’est pas surjective.
2. Montrer quef est injective si et seulement siA∩B=∅.
Exercice 110 (Image directe et image r´eciproque versus r´eunion et intersection) Soientf:E→F une application d’un ensembleE dans un ensembleF.
1. Soient AetB deux parties deE.
(a) D´emontrer que :f(A∪B) =f(A)∪f(B).
(b) D´emontrer que :f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
2. Soient AetB deux parties deF.
(a) D´emontrer que :f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B).
(b) D´emontrer que :f−1(A∩B) =f−1(A)∩f−1(B).
Exercice 111 (Compl´ement `a l’exercice 110)
1. Donner un exemple d’application f d’un ensembleE dans un ensembleF et de parties A, B deE telles que :
f(A∩B)6=f(A)∩f(B).
2. Soient f: E → F une applicationinjective d’un ensemble E dans un ensemble F. Soient A et B deux parties de E. D´emontrer que :f(A∩B) =f(A)∩f(B).
Exercice 112 (´Etude des propri´et´es d’une l.c.i. sur R) Soit∗la l.c.i. surRd´efinie par :
∗:R×R→R; (x, y)7→xy+x+y.
1. D´emontrer que∗ est associative.
2. D´emontrer que∗ est commutative.
3. D´emontrer que∗ admet un ´el´ement neutre.
4. D´eterminer les inversibles de Rpour la l.c.i. ∗.
Exercice 113 (´Etude d’une l.c.i. sur R2) Soit∗la l.c.i. surR2 d´efinie par :
∗:R2×R2→R; ((x1, y1),(x2, y2))7→(x1+x2, y1y2).
1. D´emontrer que∗ est associative.
2. D´emontrer que∗ est commutative.
3. D´emontrer que∗ admet un ´el´ement neutre.
4. D´eterminer l’ensemble des ´el´ements inversibles deR2pour la l.c.i. ∗.
Exercice 114 (´El´ements inversibles de F(E, E)muni de la l.c.i. ◦)
1. SoitEun ensemble. On munitF(E, E) de la l.c.i.◦donn´ee par la composition des applications deEdans E. D´emontrer quef ∈ F(E, E) est inversible si et seulement sif est bijective.
2. SoitE={a, b, c}un ensemble `a trois ´el´ements. Expliciter les ´el´ements inversibles deF(E, E) muni de la l.c.i. ◦donn´ee par la composition des applications deE dansE.
Exercice 115 (Relation d’ordre usuelle sur F(R,R)) On d´efinit la relationRsurF(R,R) par :
f Rg⇔(∀x∈R f(x)≤g(x)) pour tout (f, g)∈ F(R,R)2.
1. Soit (f, g)∈ F(R,R)2. Traduire graphiquement la propri´et´ef Rg.
2. D´emontrer que la relation Rest une relation d’ordre surF(R,R).
3. La relation d’ordreRest-elle totale ?
4. SoitE={fa:R→R; x7→sin(x+a)|a∈R} ⊂ F(R,R).
(a) Donner un majorant deEpour la relationR.
(b) L’ensembleE admet-il un plus grand ´el´ement pour la relationR?
