Correction du concours blanc

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Correction du concours blanc

Exercice de probabilit´es (extrait du sujet du concours A-TB 2009)

Dans cet exercice, la probabilit´e de l’´ev´enement Asera not´ee P(A).

Nous disposons de trois d´es ´equilibr´es, chacun ayant quatre faces num´erot´ees de 1 `a 4. L’un des d´es est rouge, un autre est bleu et le dernier est vert.

1. Nous jetons les trois d´es simultan´ement.X d´esigne la variable al´eatoire qui donne le maximum des trois nombres amen´es par les d´es.

1.1. Quelles sont les valeurs prises parX? 1.2. D´eterminer la fonction de r´epartition deX. 1.3. En d´eduire la loi deX.

2. Nous jetons les trois d´es simultan´ement et on note X1, X2, X3 les nombres amen´es respectivement par le d´e rouge, le d´e bleu et le d´e vert.

2.1. SoitY la variable al´eatoire donnant la somme des nombres amen´es par les d´es rouge et bleu.

2.1.1. D´eterminer explicitement les couples (a, b) d’entiers de{1,2,3,4} tels que : (a)a+b= 3, (b)a+b= 6, (c)a+b= 8.

2.1.2. D´eterminer l’ensembleI des valeurs prises parY.

2.1.3. D´eterminer la loi deY en compl´etant le tableau suivant. On justifiera les r´eponses.

i 2 3 4 5 6 7 8

P(Y =i)

2.2. SoitZ la variable al´eatoire donnant la somme des nombres amen´es par les trois d´es.

2.2.1. D´eterminer l’ensembleJ des valeurs prises parZ.

2.2.2. Justifier que :∀j∈J, P(Z=j) =

8

X

i=2

P(Y =i etX3=j−i).

2.2.3. D´emontrer queP(Z= 5) = 3 32.

2.2.4. D´eterminer la probabilit´e que la somme des nombres amen´es par les trois d´es soit un multiple de 5.

3. Nous jetons les trois d´es et nous calculons la somme des nombres amen´es par les trois d´es. Et tant que cette somme n’est pas un multiple de 5, nous recommen¸cons le lancer des trois d´es.

N d´esigne le nombre de lancers r´ealis´es pour obtenir cette somme multiple de 5.

Reconnaˆıtre la loi deN et pr´eciser son esp´erance.

Correction

1.1. Chacun des trois d´es pouvant amener l’un des nombres{1,2,3,4}, le maximum des nombres amen´es par les trois d´es est l’un des nombres de{1,2,3,4}. Par suite :X(Ω) ={1,2,3,4}.

1.2. La variable al´eatoireX prenant ses valeurs dans {1,2,3,4}, sa fonction de r´epartition est la fonction en escalier, donn´ee par :

F_X:R→[0,1] ; t7→P(X ≤t) =















0 sit <1 FX(1) =P(X ≤1) si 1≤t <2 FX(2) =P(X ≤2) si 2≤t <3 FX(3) =P(X ≤3) si 3≤t <4

1 si 4≤t.

Pour calculer la fonctionFX, nous n’avons donc que trois de ses valeurs `a calculer :FX(1), FX(2), FX(3).

Pour ce faire, nous allons utiliser :

• les variables al´eatoiresX1, X2, X3 d´efinies dans le sujet seulement¹ `a la question 2. ;

• la propri´et´e suivante (rappel´ee en classe) :

(?) ∀a, b, c, t∈R, max(a, b, c)≤t⇐⇒(a≤tetb≤tet c≤t).

Soiti∈ {1,2,3}.

FX(i) = P(X ≤i)

= P(max(X1, X2, X3)≤i) (par d´efinition deX, X1, X2, X3)

= P([X₁≤i] ∩ [X₂≤i] ∩ [X₃≤i]) (d’apr`es (?))

= P(X₁≤i)×P(X₂≤i)×P(X₃≤i) (les lancers des trois d´es sont ind´ependants)

= F_X1(i)×F_X2(i)×F_X3(i)

= (F_X1(i))³ (carX₁, X₂, X₃ suivent la mˆeme loi :U({1,2,3,4}) CommeX₁∼ U({1,2,3,4}), on a :

F_X1(1) =P(X₁≤1) =P(X₁= 1) = 1 4 ;

FX₁(2) =P(X1≤2) =P(X1= 1) +P(X1= 2) = 1 4+1

4 = 1 2 ; FX₁(3) =P(X1≤3) =P(X1= 1) +P(X1= 2) +P(X1= 3) = 1

4+1 4 +1

4 =3 4.

On a donc :

F_X(1) = (F_X1(1))³= 1

4 ³

= 1

64 ; F_X(2) = (F_X1(2))³= 1

2 ³

=1

8 ; F_X(3) = (F_X1(3))³= 3

4 ³

= 27 64. 1.3. Comme X(Ω) ={1,2,3,4}, pour d´eterminer la loi de X, il nous faut calculer les probabilit´es : P(X =

1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4).On sait que connaissant la fonction de r´epartitionFX deX, on peut retrouver chacune de ces probabilit´es (cf. courbe repr´esentative deFX et hauteurs des sauts). Voici comment.

P(X = 1) =FX(1) = 1 64 P(X = 2) =FX(2)−FX(1) = 1

8 − 1 64 = 7

64 P(X = 3) =FX(3)−FX(2) = 27

64−1 8 = 19

64 P(X = 4) =F_X(4)−F_X(3) = 1−27

64 =37 64 On v´erifie que l’on a bien : P(X = 1) +P(X= 2) +P(X = 3) +P(X= 4) = 1.

2.1.1. Les couples (a, b) d’entiers de{1,2,3,4}tels quea+b= 3 sont : (1,2),(2,1).

Les couples (a, b) d’entiers de{1,2,3,4}tels quea+b= 6 sont : (2,4),(3,3),(4,2).

L’unique couple (a, b) d’entiers de{1,2,3,4}tels que a+b= 8 est (4,4).

1. Il me semble qu’il aurait ´et´e plus pertinent de d´efinir ces trois variables al´eatoires X1, X2, X3 en d´ebut d’exercice, car leur introduction facilite la r´edaction ici.

2.1.2. L’ensemble des valeurs prises parY =X₁+X₂ est{2,3,4,5,6,7,8} carX₁ et X₂ ont comme ensemble de valeurs {1,2,3,4}.

2.1.3. La loi de Y est donn´e par le tableau suivant.

i 2 3 4 5 6 7 8

P(Y =i) 1 16

2 16 = 1

8 3 16

4 16 = 1

4 3 16

2 16 = 1

8 1 16

On v´erifie que :

8

X

i=2

P(Y =i) = 1

et on remarque une sym´etrie (ce qui n’est pas une surprise car on a d´etermin´e la loi deY =X₁+X₂, avec X₁etX₂ind´ependantes et de mˆeme loi). On justifie ci-dessous quelques unes des valeurs donn´ees dans le tableau.

P(Y= 3) = P(X1+X2= 3)

= P(([X1= 1]∩[X2= 2]) ∪ ([X1= 2]∩[X2= 1])) (cf. 2.1.1.)

= P(([X1= 1]∩[X2= 2])) +P(([X1= 2]∩[X2= 1])) (probabilit´e d’une r´eunion disjointe)

= P([X1= 1])×P([X2= 2]) +P([X1= 2])×P([X2= 1]) (ind´ependance des lancers de d´es)

= 1

4×1 4+1

4×1 4

= 1

8

P(Y= 6) = P(X1+X2= 6)

= P(([X1= 2]∩[X2= 4]) ∪ ([X1= 3]∩[X2= 3]) ∪ ([X1= 4]∩[X2= 2])) (cf. 2.1.1.)

= P(([X1= 2]∩[X2= 4])) +P(([X1= 3]∩[X2= 3])) +P(([X1= 4]∩[X2= 2])) (probabilit´e d’une r´eunion disjointe)

= P([X1= 2])×P([X2= 4]) +P([X1= 3])×P([X2= 3])) +P([X1= 4])×P([X2= 2]) (ind´ependance des lancers de d´es)

= 1

4×1 4+1

4×1 4+1

4×1 4

= 3

16

P(Y= 8) = P(X1+X2= 8)

= P([X1= 4]∩[X2= 4]) (cf. 2.1.1.)

= P([X1= 4])×P([X2= 4]) (ind´ependance des lancers de d´es)

= 1

4×1 4

= 1

16

2.2.1. L’ensemble des valeurs prises parZ=X1+X2+X3estJ ={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}carX1,X2etX3

ont comme ensemble de valeurs{1,2,3,4}.

2.2.2. Nous avons vu que la variableY a comme ensemble de valeursY(Ω) ={2,3,4,5,6,7,8}. Donc : ([Y =i])i∈{2,3,4,5,6,7,8} est un syst`eme complet d’´ev´enements.

Soit j ∈J ={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. On applique la formule des probabilit´es totales par rapport au syst`eme complet d’´ev´enements ([Y =i])i∈{2,3,4,5,6,7,8} pour obtenir :

P(Z =j) =

8

X

i=2

P([Z=j] ∩ [Y =i]).

Mais, si i∈ {2,3,4,5,6,7,8}, on a :

Z =j etY =i = X1+X2+X3=j et X1+X2=i

= X3=j−(X1+X2) etX1+X2=i

= X3=j−ietX1+X2=i

= X3=j−ietY =i.

La formule des probabilit´es totales pr´ec´edente se r´e´ecrit donc : P(Z=j) =

8

X

i=2

P(X₃=j−i etY =i).

2.2.3. D’apr`es la formule pr´ec´edemment ´etablie, on a :

P(Z= 5) =

8

X

i=2

P(X3= 5−ietY =i)

= P(X3= 3 etY = 2) +P(X3= 2 etY = 3) +P(X3= 1 etY = 4)

les autres probabilit´es apparaissant dans la somme sont nulles

= P(X3= 3)×P(Y= 2) +P(X3= 2)×P(Y = 3) +P(X3= 1)×P(Y = 4)

Y =X1+X2etX3sont ind´ependantes car les lancers des d´es sont ind´ependants

= 1

4× 1 16+1

4×1 8+1

4× 3

16 (2.1.3. etX3∼ U({1,2,3,4}))

= 3

32.

2.2.4. La probabilit´e que la somme des nombres amen´es par les trois d´es soit un multiple de 5 est : P(Z= 5 ouZ = 10) =P(Z= 5) +P(Z= 10)

carZ(Ω) ={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}(cf. question 2.2.1.). Il reste donc `a calculerP(Z= 10). Pour cela, on utilise `a nouveau la formule obtenue en 2.2.2..

P(Z= 10) =

8

X

i=2

P(X3= 10−ietY =i)

= P(X3= 4 etY = 6) +P(X3= 3 etY = 7) +P(X3= 2 etY = 8)

les autres probabilit´es apparaissant dans la somme sont nulles

= P(X3= 4)×P(Y= 6) +P(X3= 3)×P(Y = 7) +P(X3= 2)×P(Y = 8)

Y =X1+X2etX3sont ind´ependantes car les lancers des d´es sont ind´ependants

= 1

4× 3 16+1

4×1 8+1

4× 1

16 (2.1.3. etX3∼ U({1,2,3,4}))

= 3

32.

La probabilit´e que la somme des nombres amen´es par les trois d´es soit un multiple de 5 est donc : 3

32+ 3 32 = 3

16.

3. On reconnaˆıt une situation de loi usuelle. On r´ep`ete un sch´ema de Bernoulli de fa¸con ind´ependante jusqu’`a l’obtention d’un premier succ`es et on consid`ere la variable al´eatoire N ´egale au nombre de r´ep´etitions effectu´ees. Dans ce sch´ema de Bernoulli :

• un succ`es est : la somme amen´ee par les trois d´es lors d’un lancer simultan´e est un multiple de 5 ;

• la probabilit´e de succ`es est : 3

16 (cf. 2.2.4.).

On en d´eduit queN∼ G 3

16

et queE(N) = 16 3 .

Exercice d’alg`ebre lin´eaire (d’apr`es le sujet du concours A-TB 2008)

Dans tout l’exercice,ad´esigne un nombre r´eel appartenant `a ]2,+∞[.

1. Puissance d’une matrice

SoitM la matrice carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels d´efinie par :M =

a 1−a

1 0

.

1.1. Spectre de M

1.1.1. Factoriser a²−4a+ 4. En d´eduire quea²−4a+ 4≥0 et calculer la valeur de√

a²−4a+ 4.

1.1.2. D´eterminer l’ensemble Spec(M) ={λ∈R : rang(M−λI2)6= 2}.

1.2. Sous-espaces propres deM 1.2.1. D´emontrer queE₁ =

x y

∈R² : M x

y

= x

y

est un sous-espace vectoriel deR². En donner une base et pr´eciser sa dimension.

1.2.2. D´emontrer que E_a−1 = x

y

∈R² : M x

y

= (a−1) x

y

est un sous-espace vectoriel deR². En donner une base et pr´eciser sa dimension.

1.3. Diagonalisation de M

On noteE= (e₁, e₂) la base canonique deR²,ϕl’endomorphisme deR²canoniquement associ´e `aM et id_R2: R²→R²; u7→u(endomorphisme identit´e deR²).

1.3.1. Montrer que la familleF =

f₁= 1

1

, f₂=

a−1 1

est une base deR². 1.3.2. Calculer la matriceD d´efinie par :D= Mat(ϕ,F,F).

1.3.3. Calculer la matriceP d´efinie par :P= Mat(id_R²,F,E).

1.3.4. Justifier, sans effectuer de calcul, que :

(a)P est inversible, (b)M =P DP⁻¹. 1.4. Puissances successives de M

1.4.1. Montrer que :∀n∈N, Mⁿ=P DⁿP⁻¹. 1.4.2. CalculerP⁻¹.

1.4.3. CalculerDⁿ, pour tout entier natureln.

1.4.4. En d´eduire que :

∀n∈N, Mⁿ= 1 2−a

1−(a−1)ⁿ⁺¹ 1−a+ (a−1)ⁿ⁺¹ 1−(a−1)ⁿ 1−a+ (a−1)ⁿ

.

2. Calcul des termes cons´ecutifs d’une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2

Soit (u_n)_n∈Nla suite d´efinie par ses deux premiers termesu₀, u₁et la relation de r´ecurrence : u_n+2=a u_n+1+ (1−a)u_n

valable pour toutn∈N.

2.1. Pour tout entier naturel n, on poseX_n = u_n+1

un

. 2.1.1. Soitn∈N. Reconnaˆıtre le produitM Xn.

2.1.2. Montrer que pour tout entier natureln: Xn=MⁿX0.

2.2. En utilisant la partie 1., exprimer pour tout entier natureln, le termeunen fonction den,a,u0etu1. Correction

1.1.1. On a :

a²−4a+ 4 = (a−2)².

On peut le voir en rep´erant une identit´e remarquable ou bien en calculant la forme canonique du trinˆome du second degr´ea²−4a+ 4.

Comme a²−4a+ 4 = (a−2)² et comme un carr´e r´eel est positif ou nul, on a : (a−2)² ≥0. De plus, a6= 2 (cara∈]2,+∞[) et donca−26= 0. Ainsi a-t-on :

(a−2)²>0.

√a²−4a+ 4 = p

(a−2)² (d’apr`es la factorisation pr´ec´edente)

= |a−2| (∀X∈R, √

X²=|X|)

= a−2 (a∈]2,+∞[ (i.e.a >2) =⇒a−2>0) 1.1.2. Soitλ∈R.

rang(M −λI2) = rang

a 1−a

1 0

− λ 0

0 λ

= rang

a−λ 1−a

1 −λ

= rang

1 −λ a−λ 1−a

(L₁↔L₂)

= rang

1 −λ

0 1−a−(a−λ)(−λ)

(L2←L2−(a−λ)L1)

= rang 1 −λ

0 −λ²+aλ+ 1−a

!

On en d´eduit que :

rang(M −λI2)6= 2 ⇐⇒ −λ²+aλ+ 1−a= 0.

On est ainsi conduit `a chercher les racines du trinˆome du second degr´e P = −X²+aX + 1−a. Son discriminant est :

∆ =a²−4×(−1)×(1−a) =a²−4a+ 4 =

1.1.1.(a−2)² >

1.1.1.0.

Le polynˆomeP admet donc deux racines distinctes : x1= −a−√

a²−4a+ 4

2×(−1) =

1.1.1.−−a−(a−2)

2 =a−1 et x2= −a+√

a²−4a+ 4

2×(−1) =

1.1.1.−−a+ (a−2)

2 = 1.

On d´eduit de cette ´etude que :

Spec(M) ={λ∈R : rang(M−λI₂)6= 2}={a−1,1}.

Remarque : On a d´etermin´e ici les valeurs propres deM.

1.2.1. On a :

E1 = x

y

∈R² : M x

y

= x

y

= x

y

∈R² : M x

y

− x

y

= 0

0

= x

y

∈R² : M x

y

−I₂ x

y

= 0

0

= x

y

∈R² : (M−I₂) x

y

= 0

0

On en d´eduit queE1est l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire homog`ene (S₁) :

(a−1)x + (1−a)y = 0

x − y = 0

d’inconnue x

y

∈ R² et dont les coefficients sont r´eels. D’apr`es le cours, E1 est donc un sous-espace vectoriel deR². Pour d´eterminer une base deE1, r´esolvons (S1).

(a−1)x + (1−a)y = 0

x − y = 0 ⇐⇒

x − y = 0

(a−1)x + (1−a)y = 0 (L1↔L2)

⇐⇒

x − y = 0

((1−a) + (a−1))y = 0 (L₂←L₂−(a−1)L₁)

⇐⇒

x − y = 0

0 = 0

Le syst`eme (S1) est de rang 1 et poss`ede deux inconnues. On choisit un param`etre : y. De L1, on tire x=y. On a donc :

E1= y

y

: y∈R

= Vect 1

1

.

E₁ est engendr´e par le vecteur 1

1

qui est non nul. C’est donc un sous-espace vectoriel deR²de dimen- sion 1, dont

1 1

forme une base.

1.2.2. On a :

E_a−1 = x

y

∈R² : M x

y

= (a−1) x

y

= x

y

∈R² : M x

y

−(a−1) x

y

= 0

0

= x

y

∈R² : M x

y

−(a−1)I2

x y

= 0

0

= x

y

∈R² : (M−(a−1)I2) x

y

= 0

0

On en d´eduit queE_a−1 est l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire homog`ene (S_a−1) :

x + (1−a)y = 0 x + (1−a)y = 0 d’inconnue

x y

∈R² et dont les coefficients sont r´eels. D’apr`es le cours, E_a−1 est donc un sous-espace vectoriel deR². Pour d´eterminer une base deE_a−1, r´esolvons (S_a−1).

x + (1−a)y = 0

x + (1−a)y = 0 ⇐⇒

x + (1−a)y = 0

0 = 0 (L1=L2)

Le syst`eme (Sa−1) est de rang 1 et poss`ede deux inconnues. On choisit un param`etre :y. De L1, on tire x= (a−1)y. On a donc :

E_a−1=

(a−1)y y

: y∈R

= Vect

a−1 1

.

Ea−1 est engendr´e par le vecteur

a−1 1

qui est non nul. C’est donc un sous-espace vectoriel deR² de dimension 1, dont

a−1 1

forme une base.

Remarque : On a d´etermin´e ici une base de chacun des sous-espaces propres deM, apr`es avoir red´emontr´e qu’un sous-espace propre de M est un sous-espace vectoriel de R<sup>2</sup> (ce qui d´ecoule du cours `a pr´esent).

1.3.1. On a : F=

f1=

1 1

, f2= a−1

1

est une base deR² ⇐⇒

1

1

, a−1

1

est libre

Fposs`ede deux ´el´ements dim(R²) = 2

⇐⇒ det

1 a−1

1 1

6= 0 (crit`ere du d´eterminant) Or det

1 a−1

1 1

= 1×1−(a−1)×1 = 2−a6= 0 cara∈]2,+∞[. La familleFest donc une base deR². Remarque : On construit ici une base de vecteurs propres de M en concat´enant une base de E₁ et une base deE_a−1. La matriceM est donc diagonalisable, par d´efinition.

1.3.2. On calculeD= Mat(ϕ,F,F). Pour cela, il nous faut exprimer :

• ϕ(f1) =M f1 comme combinaison lin´eaire def1 et def2;

• ϕ(f2) =M f2 comme combinaison lin´eaire def1 et def2. Nous avons vu que f1 =

1 1

forme une base deE1. On a donc en particulier quef1∈E1. Mais alors, par d´efinition mˆeme deE₁, on a M f₁=f₁.On a donc :

ϕ(f1) =M f1=f1= 1f1+ 0f2. Nous avons ´egalement vu que f₂ =

a−1 1

forme une base de E_a−1. On a donc en particulier que f₂∈E_a−1. Mais alors, par d´efinition mˆeme deE_a−1, on a M f₂= (a−1)f₂. On a donc :

ϕ(f₂) =M f₂= (a−1)f₂= 0f₁+ (a−1)f₂. On en d´eduit que :

D= Mat(ϕ,F,F) =

1 0 0 a−1

.

Remarque : D est la matrice de l’endomorphisme ϕassoci´e canoniquement `aM dans la base F qui est form´ee de vecteurs propres pourM. On trouve bien sˆur une matrice diagonale, avec sur la diagonale, les valeurs propres correspondant aux diff´erents vecteurs propres de la matrice M.

1.3.3. On calculeP = Mat(id_R2,F,E). Pour cela, il nous faut exprimer :

• id_R2(f₁) =f₁ comme combinaison lin´eaire dee₁ et dee₂;

• id_R2(f2) =f2 comme combinaison lin´eaire dee1 et dee2. Comme

e₁=

1 0

, e₂=

0 1

est la base canonique de R², c’est tr`es simple. On a :

f1= 1

1

= 1e1+ 1e2 et f2=

a−1 1

= (a−1)e1+ 1e2. On a donc :

P = Mat(id_R2,F,E) =

1 a−1

1 1

.

Remarque : P est la matriceP_E,F de passage de la base canonique `a la base de diagonalisationF.

1.3.4. On aP = Mat(id_R2,F,E).P est la matrice de l’isomorphismeid_R2 deR² dans les basesE et E. D’apr`es le cours,P est donc inversible et :

P⁻¹= Mat((id_R2)⁻¹,E,F) = Mat(id_R2,E,F) ((id_R2)⁻¹=id_R2).

On a alors :

DP⁻¹ = Mat(ϕ,F,F)×Mat(id_R2,E,F)

= Mat(ϕ◦id_R2,E,F) (cf. lien entre composition d’applications lin´eaires et produit de matrices)

= Mat(ϕ,E,F) (ϕ◦id_R2 =ϕ)

et donc :

P DP⁻¹ = Mat(id_R2,F,E)×Mat(ϕ,E,F)

= Mat(id_R2◦ϕ,E,E) (cf. lien entre composition d’applications lin´eaires et produit de matrices)

= Mat(ϕ,E,E) (id_R2◦ϕ=ϕ)

Or comme ϕest l’endomorphisme canoniquement associ´e `aM, on a : M = Mat(ϕ,E,E).

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a donc :P DP⁻¹=M.

Remarque : Ici, on a finalement red´emontr´e le th´eor`eme de changement de base, dans un cas particu- lier. Compte tenu des derniers r´esultats du cours, on peut maintenant justifier cette relation en citant le th´eor`eme de changement de base, qui donne :

Mat(ϕ,E,E) =P_E,F×Mat(ϕ,F,F)×(P_E,F)⁻¹

et en identifiant les diff´erentes matrices intervenant dans la formule, avec celles de l’´enonc´e.

1.4.1. Pour toutn∈N, on pose :

P_n : Mⁿ=P DⁿP⁻¹.

• Initialisation

La propri´et´e P0 s’´ecrit : M⁰ = P D⁰P⁻¹. Comme M⁰ = D⁰ = I2, la propri´et´e P0 se r´e´ecrit I2 = P I2P⁻¹. Elle est vraie.

• H´er´edit´e

Supposons la propri´et´ePn vraie pour un entiern∈Nfix´e, i.e. : Mⁿ =P DⁿP⁻¹. Montrons que la propri´et´ePn+1 est vraie, i.e. que :

Mⁿ⁺¹=P Dⁿ⁺¹P⁻¹. Mⁿ⁺¹ = MⁿM

= P DⁿP⁻¹

| {z }

Mⁿ

P DP⁻¹

| {z }

M

= P DⁿP⁻¹P

| {z }

I₂

DP⁻¹

= P DⁿD

| {z }

Dⁿ⁺¹

P⁻¹

= P Dⁿ⁺¹P⁻¹

• Conclusion

De l’initialisation au rangn= 0, de l’h´er´edit´e et de l’axiome de r´ecurrence on d´eduit que la propri´et´e P_n est vraie pour toutn∈N, i.e. que :

∀n∈N, Mⁿ=P DⁿP⁻¹.

1.4.2. Pour calculer P⁻¹, on r´esout le syt`eme : (S) :

x1 + (a−1)x2 = y1

x1 + x2 = y2

d’inconnue x1

x2

∈R², o`u y1

y2

∈R² est un param`etre.

(S) ⇐⇒











x₁ + (a−1)x₂ = y₁ (1−(a−1))

| {z }

(2−a)

x₂ = y₂−y₁ (L₂←L₂−L₁)

Notons que comme a∈]2,+∞[, (2−a)6= 0. On retrouve le r´esultat prouv´e en 1.3.4. (P est inversible), car (S) est de Cramer.

De (L2), on d´eduit que :

x2=− 1

2−ay1+ 1 2−ay2. De (L1), on d´eduit alors que :

x1=y1−(a−1)x2=y1+a−1

2−ay1−a−1

2−ay2= 1

2−ay1−a−1 2−ay2. D’o`u :











x1 = 1

2−ay1 − a−1 2−ay2

x2 = − 1

2−ay1 + 1 2−ay2

.

On en d´eduit que :

P⁻¹= 1 2−a

1 −(a−1)

−1 1

.

1.4.3. La matriceD=

1 0 0 a−1

´

etant diagonale, pour calculer sa puissancen-i`eme (n∈N), il suffit d’´elever chacun de ses coefficients diagonaux `a la puissancen. On a donc :

∀n∈N, Dⁿ=

1ⁿ 0 0 (a−1)ⁿ

=

1 0 0 (a−1)ⁿ

.

1.4.4. Soitn∈N.

Mⁿ = P DⁿP⁻¹ (cf. 1.4.1.)

=

1 a−1

1 1

1 0

0 (a−1)ⁿ 1

2−a

1 −(a−1)

−1 1

(cf. 1.3.3., 1.4.3., 1.4.2.)

= 1

2−a

1 a−1

1 1

1 0

0 (a−1)ⁿ

1 −(a−1)

−1 1

= 1

2−a

1−(a−1)ⁿ⁺¹ 1−a+ (a−1)ⁿ⁺¹ 1−(a−1)ⁿ 1−a+ (a−1)ⁿ

2.1.1. Soitn∈N.

M Xn =

a 1−a

1 0

un+1

un

=

aun+1+ (1−a)un

un+1

=

un+2

u_n+1

(cf. relation de r´ecurrence)

= X_n+1 2.1.2. Pour toutn∈N, on pose :

Pn : Xn=MⁿX0.

• Initialisation

La propri´et´eP₀s’´ecrit :X₀=M⁰X₀. CommeM⁰=I₂, la propri´et´eP₀se r´e´ecritX₀=X₀. Elle est vraie.

• H´er´edit´e

Supposons la propri´et´ePn vraie pour un entiern∈Nfix´e, i.e. : X_n=MⁿX₀. Montrons que la propri´et´ePn+1 est vraie, i.e. que :

Xn+1=Mⁿ⁺¹X0. Xⁿ⁺¹ = M X_n (cf. 2.1.1.)

= M MⁿX₀ (hypoth`ese de r´ecurrence)

= Mⁿ⁺¹X₀

• Conclusion

De l’initialisation au rangn= 0, de l’h´er´edit´e et de l’axiome de r´ecurrence on d´eduit que la propri´et´e Pn est vraie pour toutn∈N, i.e. que :

∀n∈N, Xn =MⁿX0.

2.2. Soitn∈N. D’apr`es 2.1.2. et 1.4.4., on a : Xn= 1

2−a

1−(a−1)ⁿ⁺¹ 1−a+ (a−1)ⁿ⁺¹ 1−(a−1)ⁿ 1−a+ (a−1)ⁿ

X0

ce qui se r´e´ecrit :

un+1

un

= 1

2−a

1−(a−1)ⁿ⁺¹ 1−a+ (a−1)ⁿ⁺¹ 1−(a−1)ⁿ 1−a+ (a−1)ⁿ

u1

u0

ou encore :

un+1

un

=











1−(a−1)ⁿ⁺¹

2−a u₁+1−a+ (a−1)ⁿ⁺¹

2−a u₀

1−(a−1)ⁿ

2−a u₁+1−a+ (a−1)ⁿ 2−a u₀









 .

On en d´eduit que :

un=1−(a−1)ⁿ

2−a u1+1−a+ (a−1)ⁿ 2−a u0.

Probl`eme d’analyse (extrait du sujet du concours A-TB 2009)

Consid´erons la suiteud´efinie par :∀n∈N^∗, un=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k . 1. Convergence de la suite u

1.1. Soitnun entier naturel non nul.

1.1.1. Montrer que pour tout entier naturel non nulk: 1 k =

Z 1 0

x^k−1dx.

1.1.2. En d´eduire que :un = Z 1

0

1−(−x)ⁿ 1 +x dx, puis que :un = ln(2) + (−1)ⁿ⁺¹

Z 1 0

xⁿ 1 +x dx.

1.2. Soitnun entier naturel non nul.

En encadrant la fonctionx7→ 1

1 +x sur [0,1], montrer que : 1

2(n+ 1) ≤ Z 1

0

xⁿ

1 +x dx≤ 1 n+ 1. 1.3. Etablissons la convergence de la suite´ u.

1.3.1. Montrer que :∀n∈N^∗, |un−ln(2)| ≤ 1 n+ 1.

1.3.2. En d´eduire, avec soin, que la suiteuconverge et pr´eciser sa limite.

1.4. Vitesse de convergence

A l’aide de la question 1.3.1., d´` eterminer un entier naturelptel que :

|up−ln(2)| ≤10⁻⁴. 2. Acc´el´eration de la convergence de la suite u

2.1. A l’aide d’une int´` egration par parties, montrer que :

∀n∈N^∗, Z 1

0

xⁿ

1 +xdx= 1

2(n+ 1)+ 1 n+ 1

Z 1 0

xⁿ⁺¹ (1 +x)² dx.

2.2. En d´eduire que :∀n∈N^∗, u_n= ln(2) +(−1)ⁿ⁺¹

2(n+ 1)+(−1)ⁿ⁺¹ n+ 1

Z 1 0

xⁿ⁺¹ (1 +x)² dx.

2.3. Consid´erons la suiteν d´efinie par :∀n∈N^∗, νn= 2u_4n−1−u_2n−1. 2.3.1. Montrer que :∀n∈N^∗, ν_n= ln(2) + 1

2n Z 1

0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx.

2.3.2. Montrer que :∀n∈N^∗,

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

≤ 1 2n+ 1. 2.3.3. En d´eduire que :∀n∈N^∗, |νn−ln(2)| ≤ 1

4n².

2.4. Concluons sur la convergence et la rapidit´e de convergence de la suiteν. 2.4.1. Montrer, avec soin, que la suite ν converge vers ln(2).

2.4.2. A l’aide de la question 2.3.3., d´` eterminer un entier naturelqtel que :

|νq−ln(2)| ≤10⁻⁴. 2.5. Algorithme de calcul des termes de la suite ν

2.5.1. Montrer que :∀n∈N^∗, ν_n=

2n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

! + 2

4n−1

X

k=2n

(−1)^k−1 k

! .

2.5.2. nd´esigne un entier naturel non nul.

Recopier et compl´eter les cadres de l’algorithme de calcul deν_n suivant.

x←

signe←1

pourkallant de 1 `a faire







x←x+signe / k signe←

pourkallant de `a faire







 x←

signe←

Correction 1.1.1. Soitk∈N^∗.

Z 1 0

x^k−1dx= 1

k x^{k 1}

0

= 1 k1^k−1

k 0^k

|{z}

0 cark entier non nul

= 1 k.

1.1.2. Soitn∈N^∗. u_n =

n

X

k=1

(−1)^k−1 k

=

n

X

k=1

(−1)^k−11 k

=

n

X

k=1

(−1)^k−1 Z 1

0

x^k−1dx (cf. 1.1.1.)

= Z 1

0 n

X

k=1

(−1)^k−1(x)^k−1

| {z }

(−x)^k−1

dx (lin´earit´e de l’int´egrale)

= Z 1

0 n−1

X

k⁰=0

(−x)^k0 dx (changement d’indicek⁰=k−1)

= Z 1

0

1−(−x)ⁿ 1−(−x) dx



car ∀q∈R\ {1}, ∀N ∈N,

N

X

k=0

q^k = 1−q^N+1 1−q





= Z 1

0

1−(−x)ⁿ 1 +x dx Or :

Z 1 0

1−(−x)ⁿ 1 +x dx =

Z 1 0

1 1 +x+

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

z }| {

−(−x)ⁿ 1 +x dx

= Z 1

0

1

1 +xdx+ (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

xⁿ

1 +xdx (lin´earit´e de l’int´egrale)

= [ln(|1 +x|)]¹₀+ (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

xⁿ 1 +x dx

= ln(2) + (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

xⁿ 1 +xdx.

On a doncun= ln(2) + (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

xⁿ 1 +x dx.

1.2. Soitnun entier naturel non nul.

Soitx∈[0,1].

0≤x≤1 =⇒ 1≤1 +x≤2 (ajout de 1 `a chaque membre)

=⇒ 1≥ 1 1 +x ≥1

2 (la fonction inverse est (strictement) d´ecroissante sur ]0,+∞[)

=⇒ xⁿ≥ xⁿ 1 +x≥ xⁿ

2 (multiplication de chaque membre parxⁿ ≥0)

On a donc :

∀x∈[0,1], xⁿ 2 ≤ xⁿ

1 +x ≤xⁿ. En int´egrant cette relation entre 0 et 1 (cf. croissance deR1

0), on obtient : Z 1

0

xⁿ 2 dx≤

Z 1 0

xⁿ 1 +x dx≤

Z 1 0

xⁿdx soit, d’apr`es la lin´earit´e de l’int´egrale et la question 1.1.1. :

1 2

Z 1 0

xⁿdx

| {z } 1 n+ 1

≤ Z 1

0

xⁿ 1 +x dx≤

Z 1 0

xⁿdx

| {z } 1 n+ 1

.

On a donc :

1 2(n+ 1) ≤

Z 1 0

xⁿ

1 +x dx≤ 1 n+ 1. 1.3.1. Soitn∈N^∗. De 1.1.2., on d´eduit que :un−ln(2) = (−1)ⁿ⁺¹

Z 1 0

xⁿ

1 +xdx. On a :

|un−ln(2)| =

(−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

xⁿ 1 +x dx

(d’apr`es la pr´ec´edente ´egalit´e)

=

(−1)ⁿ⁺¹ ×

Z 1 0

xⁿ 1 +xdx

(multiplicativit´e de la valeur absolue)

=

Z 1 0

xⁿ 1 +xdx

(car

(−1)ⁿ⁺¹ = 1).

On rappelle qu’en 1.2., on a vu :

1 2(n+ 1)

| {z }

>0

≤ Z 1

0

xⁿ

1 +x dx≤ 1 n+ 1.

On a donc Z 1

0

xⁿ

1 +x dx >0 et donc :

Z 1 0

xⁿ 1 +x dx

= Z 1

0

xⁿ 1 +xdx.

On en d´eduit :

|un−ln(2)|= Z 1

0

xⁿ 1 +xdx.

En rempla¸cant Z 1

0

xⁿ

1 +x dxpar|un−ln(2)|dans la relation obtenue en 1.2., on obtient alors : 1

2(n+ 1) ≤ |un−ln(2)| ≤ 1 n+ 1 d’o`u :

|un−ln(2)| ≤ 1 n+ 1. 1.3.2. Soitn∈N^∗.

|un−2| ≤ 1

n+ 1 =⇒ − 1

n+ 1 ≤un−ln(2)≤ 1

n+ 1 (∀A∈R⁺, ∀X ∈R, |X| ≤A⇐⇒ −A≤X ≤A)

=⇒ ln(2)− 1

n+ 1 ≤u_n ≤ln(2) + 1

n+ 1 (ajout de ln(2) `a chaque membre) De ln(2)− 1

n+ 1 →

n→+∞ln(2), de ln(2) + 1 n+ 1 →

n→+∞ln(2) et du th´eor`eme d’encadrement, on d´eduit que : u_n →

n→+∞ln(2).

1.4. Soitp∈N^∗. D’apr`es 1.3.1., on a :

|up−ln(2)| ≤ 1 p+ 1. Donc sipest tel que :

1

p+ 1 ≤10⁻⁴ on a, par transitivit´e de la relation d’ordre :

|up−ln(2)| ≤10⁻⁴. Il suffit donc de trouverptel que :

1

p+ 1 ≤10⁻⁴. 1

p+ 1 ≤10⁻⁴ ⇐⇒ p+ 1≥10⁴ (la fonction inverse est (strictement) d´ecroissante sur ]0,+∞[)

⇐⇒ p≥10⁴−1 = 9999.

Donc pour p= 9999, on a|up−ln(2)| ≤10⁻⁴. 2.1. Soitn∈N^∗.

La fonctionu: [0,1]→R; x7→ 1

n+ 1xⁿ⁺¹est C¹sur [0,1] (fonction polynˆome).

La fonctionv: [0,1]→R; x7→ 1

1 +x estC¹ sur [0,1] (fraction rationnelle).

De plus, pour toutx∈[0,1], on a :

u⁰(x) =xⁿ et v⁰(x) =− 1 (1 +x)².

Z 1 0

xⁿ 1 +x

| {z }

u⁰(x)×v(x)

dx =









 1 n+ 1

xⁿ⁺¹ 1 +x

| {z }

u(x)×v(x)











1

0

| {z } 1 2(n+ 1)

− Z 1

0

1 n+ 1xⁿ⁺¹

− 1 (1 +x)²

| {z }

u(x)×v⁰(x)

dx (int´egration par parties)

= 1

2(n+ 1) + 1 n+ 1

Z 1 0

xⁿ⁺¹

(1 +x)² dx (lin´earit´e de l’int´egrale) On a donc :

Z 1 0

xⁿ

1 +xdx= 1

2(n+ 1)+ 1 n+ 1

Z 1 0

xⁿ⁺¹ (1 +x)² dx.

2.2. Soitn∈N^∗.

u_n = ln(2) + (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

xⁿ

1 +xdx (cf. 1.1.2.)

= ln(2) + (−1)ⁿ⁺¹ 1

2(n+ 1) + 1 n+ 1

Z 1 0

xⁿ⁺¹ (1 +x)² dx

(cf. 2.1.)

= ln(2) +(−1)ⁿ⁺¹

2(n+ 1)+(−1)ⁿ⁺¹ n+ 1

Z 1 0

xⁿ⁺¹ (1 +x)² dx 2.3.1. Soitn∈N^∗.

νn = 2u_4n−1−u_2n−1 (d´efinition deνn)

= 2

ln(2) + (−1)^(4n−1)+1

2((4n−1) + 1)+(−1)^(4n−1)+1 (4n−1) + 1

Z 1 0

x^(4n−1)+1 (1 +x)² dx

−

ln(2) + (−1)^(2n−1)+1

2((2n−1) + 1)+(−1)^(2n−1)+1 (2n−1) + 1

Z 1 0

x^(2n−1)+1 (1 +x)² dx

(cf. 2.2.)

= 2









 ln(2) +

1

z }| { (−1)⁴ⁿ

8n +

1

z }| { (−1)⁴ⁿ

4n Z 1

0

x⁴ⁿ (1 +x)² dx











−









 ln(2) +

1

z }| { (−1)²ⁿ

4n +

1

z }| { (−1)²ⁿ

2n Z 1

0

x²ⁿ (1 +x)² dx











= 2 ln(2) +

1 4n+ 1

2n Z 1

0

x⁴ⁿ

(1 +x)² dx−ln(2)− 1 4n− 1

2n Z 1

0

x²ⁿ (1 +x)² dx

= ln(2) + 1 2n

Z 1 0

x⁴ⁿ

(1 +x)² dx− Z 1

0

x²ⁿ (1 +x)² dx

= ln(2) + 1 2n

Z 1 0

x⁴ⁿ

(1 +x)² − x²ⁿ

(1 +x)² dx (lin´earit´e de l’int´egrale)

= ln(2) + 1 2n

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1)

z }| { x⁴ⁿ−x²ⁿ

(1 +x)² dx

D’o`u : ν_n = ln(2) + 1 2n

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx.

2.3.2. Soitn∈N^∗. On a :

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

≤ Z 1

0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)²

dx (majoration de la valeur absolue d’une int´egrale).

Soitx∈[0,1]. On a :

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)²

= |x²ⁿ| |x²ⁿ−1|

|(1 +x)²| (multiplicativit´e de la valeur absolue).

Un carr´e de nombre r´eel ´etant positif, on a :|(1 +x)²|= (1 +x)²et |

(xⁿ)²

z}|{

x²ⁿ|=x²ⁿ.On a donc :

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)²

=x²ⁿ|x²ⁿ−1|

(1 +x)² . On va chercher `a encadrerx7→ |x²ⁿ−1|

(1 +x)² sur [0,1].

0≤x≤1 =⇒ 0 = 0

6=0

z}|{2n ≤x²ⁿ≤1²ⁿ= 1 (x7→x²ⁿ est (strictement) croissante sur [0,+∞[)

=⇒ −1≤x²ⁿ−1≤0 (soustraction de 1 `a chaque membre)

=⇒ −1≤x²ⁿ−1≤1 (0≤1 et transitivit´e de la relation d’ordre)

=⇒ |x²ⁿ−1| ≤1 (∀A∈R⁺, ∀X ∈R, |X| ≤A⇐⇒ −A≤X ≤A).

0≤x≤1 =⇒ 1≤1 +x≤2 (ajout de 1 `a chaque membre)

=⇒ 1 = 1²≤(1 +x)²≤2²= 4 (la fonction carr´ee est (strictement) croissante sur [0,+∞[)

=⇒ 1 = 1

1 ≥ 1

(1 +x)² ≥1

4 (la fonction inverse est (strictement) d´ecroissante sur ]0,+∞[)

En multipliant membre `a membre les deux in´egalit´es :

|x²ⁿ−1| ≤1 et 1

(1 +x)² ≤1 qui ne mettent en jeu que des nombres positifs, on obtient :

|x²ⁿ−1|

(1 +x)² ≤1.

En multipliant cette derni`ere in´egalit´e parx²ⁿ≥0, on a enfin : x²ⁿ|x²ⁿ−1|

(1 +x)²

| {z }

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)²

≤x²ⁿ.

En int´egrant cette in´egalit´e entre 0 et 1 (cf. croissance deR1

0), il vient : Z 1

0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)²

dx≤ Z 1

0

x²ⁿdx =

(cf. 1.1.1.)

1 2n+ 1. De cette in´egalit´e et de la premi`ere obtenue, on tire :

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

≤ Z 1

0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)²

dx≤ 1 2n+ 1 d’o`u, par transitivit´e de la relation d’ordre :

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

≤ 1 2n+ 1. 2.3.3. Soitn∈N^∗.

On a :

νn−ln(2) = 1 2n

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1)

(1 +x)² dx (cf. 2.3.1.) et ainsi

|νn−ln(2)|=

1 2n

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

=

1 2n

| {z } 1 2n

×

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

o`u l’on a appliqu´e la multiplicativit´e de la valeur absolue pour obtenir la derni`ere ´egalit´e. De

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

≤ 1

2n+ 1 (cf. 2.3.2.) on d´eduit :

1 2n×

Z 1 0

x²ⁿ(x²ⁿ−1) (1 +x)² dx

| {z }

|ν_n−ln(2)|

≤ 1

2n× 1 2n+ 1

en multipliant chaque membre par 1

2n >0. Mais : 2n≤2n+ 1 =⇒ 1

2n≥ 1

2n+ 1 (la fonction inverse est (strictement) d´ecroissante sur ]0,+∞[)

=⇒ 1

4n² ≥ 1

2n× 1 2n+ 1

multiplication de chaque membre par 1 2n >0.

En rassemblant les derniers r´esultats obtenus, il vient :

|νn−ln(2)| ≤ 1

2n× 1

2n+ 1 ≤ 1 4n² d’o`u |νn−ln(2)| ≤ 1

4n² par transitivit´e de la relation d’ordre.

2.4.1. Soitn∈N^∗.

|νn−2| ≤ 1

4n² =⇒ − 1

4n² ≤νn−ln(2)≤ 1

4n² (∀A∈R⁺, ∀X ∈R, |X| ≤A⇐⇒ −A≤X ≤A)

=⇒ ln(2)− 1

4n² ≤νn≤ln(2) + 1

4n² (ajout de ln(2) `a chaque membre) De ln(2)− 1

4n² →

n→+∞ln(2), de ln(2) + 1 4n² →

n→+∞ln(2) et du th´eor`eme d’encadrement, on d´eduit que : νn →

n→+∞ln(2).

2.4.2. Soitq∈N^∗. D’apr`es 2.3.3., on a :

|νq−ln(2)| ≤ 1 4q². Donc siqest tel que :

1

4q² ≤10⁻⁴ on a, par transitivit´e de la relation d’ordre :

|νq−ln(2)| ≤10⁻⁴. Il suffit donc de trouverq tel que :

1

4q² ≤10⁻⁴. 1

4q² ≤10⁻⁴ ⇐⇒ 4q²≥10⁴ (la fonction inverse est (strictement) d´ecroissante sur ]0,+∞[)

⇐⇒ 2q≥10² (la fonction racine carr´ee est (strictement) croissante sur [0,+∞[)

⇐⇒ q≥50 (division par 2>0 de chaque membre) Donc pour q= 50, on a|νq−ln(2)| ≤10⁻⁴.

Remarque : Pour calculer ν₅₀ `a l’aide de la d´efinition propos´ee, il faut calculer le terme u₁₉₉. Calculer les 199 premiers termes de(u_n)_n∈N^∗ estbien moins coˆuteux que de calculer les 9999 premiers termes.

2.5.1. Soitn∈N^∗. On a :

νn = 2u_4n−1−u_2n−1 (cf .d´efinition deν)

= 2

4n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

!

−

2n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

!

(cf. d´efinition deu)

= 2

2n−1

X

k=1

(−1)^k−1

k +

4n−1

X

k=2n

(−1)^k−1 k

!

−

2n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

!

(1<2n <4n−1 et relation de Chasles)

= 2

2n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

! + 2

4n−1

X

k=2n

(−1)^k−1 k

!

−

_2n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

!

=

2n−1

X

k=1

(−1)^k−1 k

!

| {z }

S1

+ 2

4n−1

X

k=2n

(−1)^k−1 k

!

| {z }

S2

2.5.2. Soitnun entier naturel non nul.

x← 0 \∗ initialisation de la variablexdans laquelle on calcule la somme `a 0∗\

signe←1 \∗ initialisation de la variablesignedans laquelle on calcule les puissances successives de−1, i.e. (−1)^k−1∗\

pourkallant de 1 `a (2n−1) faire \∗ boucle de calcul de la sommeS1 ∗ \











x←x+signe / k \∗on ajoute le termeuk=signe / k`a ce qui a d´ej`a ´et´e calcul´e ∗\

signe← (−1)∗signe \∗on change le signe pour pr´eparer le calcul suivant ∗\

pourkallant de 2n `a (4n−1) faire \∗ boucle de calcul de la sommeS2 ∗ \













x← x+ 2∗signe / k \∗ comme pourS1, mais on ajoute un 2∗, pour tenir compte du 2 qui est en facteur au d´ebut deS2 ∗ \ signe← (−1)∗signe \∗on change le signe pour pr´eparer le calcul suivant ∗\