La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats seront encadrés.
Les élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité traiteront l’exercice 2 (arithmétique) sur une feuille séparée.
Exercice 1 Probabilités
EXERCICE 2 (5 points) Les nombres complexes Le plan est rapporté au repère orthonormé ( ; , )O u v
(unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 1 i 3, zB = 1 i 3et zC = 2.
1. Placer ces points sur un dessin.
2. a. Vérifier que : B C i3
A C
z z
z z e
Vérifions que B C i3
A C
z z
z z e
.
3
1 3 2
1 3 2
3 3
3 3
( 3 3)²
9 3
9 6 3 3
9 3
1 3
2 2
B C
A C
i
z z i
z z i
i i i i
i e
b. En déduire la nature du triangle ABC.
Interprétons géométriquement B C
A C
z z
z z
et arg B C
2A C
z z
z z
.
D’après la propriété liant module et quotient, B C B C
A C A C
z z
z z
z z z z
. Or zBzC = CB et zAzC = CA.
Ainsi B C
A C
z z CB
z z CA
et comme ei3 1
on déduit que CB = CA.
De plus, on sait (et on pourrait le redémontrer) arg B C
;
2A C
z z
CA CB
z z
. Ainsi
; arg 3 2
3 2
i
CA CB e
Par conséquent, le triangle ABC est un triangle isocèle possédant un angle de mesure 3
, il est donc équilatéral.
a. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC.
Tracer le cercle Γ1.
Le triangle ABC étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est aussi l’isobarycentre de A, B et C. Nommons le G.
3 0
A B C
G
z z z
z
Par conséquent, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le rayon est donc le module de zA, | 1 i 3| = 1 + 3 = 2
3. a. Etablir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient 2(z +z) + z z = 0 est un cercle de centre d’affixe -2. Préciser son rayon. Construire Γ2.
2 M z( ) P tel que 2(z +z) + z z = 0
Soit z , z x iy x, , y .
2
2
( ) 2(z +z) + z z = 0
( ) ssi 4 ² ² 0
( 2)² ² 2
M z P tel que
M z x x y
ssi x y
Γ2 est donc le cercle de centre (-2 ; 0) et de rayon 2. b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.
(xA2)²yA²2 donc A2. (xB2)²yB²2 donc B2.
4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle 3
.
a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? A est le centre de la rotation donc r1 (A) = A.
r1 est la rotation de centre A et d’angle 3
donc r1 a pour écriture complexe
' 3( )
1 3
1 3
2 2
i
A A
z e z z z
i z i
Soit B’ = r1 (B) alors ' 1 3
1 3
2 2
B B
z i z i
soit zB' 2c’est-à-dire r1 (B) = C (il n’y avait pas besoin de calcul !!!! )
Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.
Soit C1 = r1 (C) alors
1
1 3
1 3
2 2
C C
z i z i
soit
1 2 2 3
zC i . b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.
Soit ’= r1 () alors ' 1 3
1 3
2 2
z i z i
soit z' 0.
Une rotation est une isométrie (elle conserve les longueur), l’image d’un cercle est donc un cercle de même rayon. L’image du cercle Γ2 par la rotation r1 est donc le cercle de centre O et de rayon 2.
5. Soit r une rotation. Pour tout point M d’affixe z, on note M′ l’image de M par r et z′ l’affixe de M′.
On posera : z′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a1.
On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.
a. Quelle est l’image du point par r ? En déduire une relation entre a et b.
r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1 donc r () = O et par suite, -2a + b = 0.
b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient à un cercle fixe que l’on définira.
Soit C’ = r1 (C) alors zC'2a b soit zC'4a. Par suite, zC' 4a et comme a 1, zC' 4. Ainsi C’ est sur le cercle de centre O et de rayon 4.
Vérifier que ce cercle passe par C1.
1 2 2 3
4 zC i
donc C1 est bien sur ce cercle.
EXERCICE 2 (5 points) Arithmétique et congruences Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n −1, lorsque n est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors ap1−1 ≡ 0 mod p ».
Partie A. Quelques exemples.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 4 −1 est divisible par 29. 28
3. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 44k −1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n −1 est-il divisible par 5 ?
5. À l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 4 −1. 28 Partie B. Divisibilité par un nombre premier
Soit p un nombre premier différent de 2.
1. Démontrer qu’il existe un entier n 1 tel que 4n ≡ 1 mod p.
2. Soit n 1 un entier naturel tel que 4n ≡ 1 mod p. On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4b
≡ 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.
a. Démontrer que 4r ≡ 1 mod p. En déduire que r = 0.
b. Prouver l’équivalence : 4n −1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.
c. En déduire que b divise p −1.
EXERCICE 3 (Fonction exponentielle et équations différentielles) Commun à tous les candidats
1. Restitution organisée de connaissances L’objet de cette question est de démontrer que lim
x x
e
x . On supposera connus les résultats suivants :
la fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa fonction dérivée
e0 1
Pour tout réel x, on a ex x.
Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [A ; +∞[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [A ; +∞[, ψ(x) ϕ(x) et si lim ( )
x x
, alors lim ( )
x x
. a. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par ²
( ) 2
x x
g x e . Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) 0.
Afin de démontrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) 0, étudions la fonction g.
g est la différence de deux fonctions dérivables sur
0;
donc g est dérivable sur
0;
et pourtout x
0;
, '( )g x exx.Or, d’après les prérequis, on a ex xdonc x
0;
, '( )g x 0.Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc g est strictement croissante sur
0;
.De plus, g (0) = 1. Donc pour tout x
0;
, ( ) 1g x soit g x( )0.b. En déduire que lim
x x
e
x .
On a montré que pour tout x
0;
, ( )g x 0, donc pour tout
0;
, ²2
x x
x e et comme x > 0, 2
ex x
x . Or lim 2
x
x
, donc d’après le théorème de comparaison rappelé dans les prérequis, lim
x x
e
x
.
2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par 1 2 ( ) 4
x
f x xe . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; , )O i j
. La courbe C est représentée en annexe.
a. Montrer que f est positive sur [0 ; +∞[.
On sait que la fonction exp est strictement positive sur , donc x
0;
,e2x 0.Donc pour toutx
0;
donc le produit 1 20 ( ) 0
4
x
xe ie f x . b. Déterminer la limite de f en +∞.
NOUS SOMMES EN PRESENCE D’UNE FORME INDETERMINEE !!!
Transformons l’écriture de f (x).
pour tout
0;
, ( ) 1 22 2
x x
x f x e .
Erreur de signe
lim 2
lim 0
x
X X
x
Xe par croissance comparée
donc par composition, lim 2 0 2
x x
x e
donc lim ( ) 0
x f x
.
En déduire une conséquence graphique pour C . Comme lim ( ) 0
x f x
, la droite d’équation y = 0 est asymptote à C en . c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.
f est de la forme u v avec 1
: 4
u x x et : 2
x
v xe .
u est dérivable sur
0;
v est de la forme :
2
w x
e avec w x . w étant dérivable sur
0;
à valeurs dans et exp étant dérivable sur , par composition v est dérivable sur
0;
et pour tout
0;
, '( ) 1 22
x
x v x e .
Par conséquent, f est dérivable sur
0;
et pour tout
0;
, '( ) 1 2 1 2 14 2 4
x x
x f x e e x c’est-
à-dire 1 1 2
'( ) 8 4
x
f x x e
ou encore '( ) 1
2
28
x
f x x e .
0;
, 2x 0x e
(voir 2) donc le signe de f x'( )dépend du signe de x 2.
x 2 0 x 2
x 2 0 x 2
Ainsi f x'( ) 0 x 2et f x'( ) 0 x 2.
Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc f est strictement croissante sur
0; 2 et strictement décroissante sur
2;
.3. Etude d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) : 1 1 2
' 2 4
x
y y e
a. On considère à présentDf . Montrer que f est solution de (E).
On sait que f est dérivable sur et , '( ) 1
2
28
x
x f x x e
.
Donc , '( ) 1 ( ) 1
2
2 1 22 8 8
x x
x f x f x x e xe
soit 1 1 2
, '( ) ( )
2 4
x
x f x f x e
donc f est solution
de (E).
b. On considère l’équation différentielle (E0) : 1
' 0
y 2y . Soit g une fonction définie et dérivable sur .
Montrer que g – f est solution de (E0) si et seulement si g est solution de (E).
g – f est solution de (E) si et seulement si 1
, ( ) '( ) ( )( ) 0
x g f x 2 g f x
ssi 1 1
, '( ) '( ) ( ) ( ) 0
2 2
x g x f x g x f x
ssi 1 1
, '( ) ( ) '( ) ( )
2 2
x g x g x f x f x
ssi 1 1 2
, '( ) ( )
2 4
x
x g x g x e
car f est solution de (E) ssi g est solution de (E)
c. Donner les solutions de (E0).
Les solutions de l’équation différentielle 1
' 2
y y sont les fonctions fKdéfinies sur par
1
( ) 2x ( )
fK x Ke K . d. En déduire les solutions de (E).
Soit g une fonction définie et dérivable sur .
On a montré en b, g – f est solution de (E0) si et seulement si g est solution de (E).
Par conséquent g est solution de (E) ssi g – f est solution de (E0) ssi
1
, ( )( ) 2x ( )
x g f x Ke K
ssi
1
, ( ) ( ) 2x ( )
x g x f x Ke K
ssi
1
2 2
, ( ) 1 ( )
4
x x
x g x xe Ke K
ssi
1
1 2
, ( ) ( )
4
x
x g x x K e K
Par conséquent, les solutions de (E) sont les fonctions
1
1 2
( )
4
x xK e x K
.
Exercice 4 :
