• Les élèves ayant choisi l’enseignement de spécialité traiteront les exercices 1 - 2 - 4 - 5

Durée : 4 heures Vendredi 30 mars 2012

Calculatrice Autorisée

Le sujet comporte 4 exercices :

• Les élèves n’ayant pas choisi l’option Mathématiques en spécialité traiteront les exercices 1 - 2 - 3 - 4

• Les élèves ayant choisi l’enseignement de spécialité traiteront les exercices 1 - 2 - 4 - 5

La page 6 (feuille Annexe) est à rendre complétée, avec la copie, pour les élèves suivant l’enseigne- ment de spécialité.

Bon travail.

EXERCICE 1 sur 5 points

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

• « A quel niveau est votre bureau ? »

• « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? » Voici les réponses :

• 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1

niveau, 75 vont au 2

niveau et 100 vont au 3

niveau.

• Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2

niveau, les autres vont au 1

niveau.

On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les événements suivants :

◮ N

: « La personne va au premier niveau. »

◮ N

: « La personne va au deuxième niveau. »

◮ N

: « La personne va au troisième niveau. »

◮ E : « La personne emprunte l’escalier. » 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. (a) Montrer que la probabilité que la personne prenne l’escalier et qu’elle se rende au 2

niveau est égale à 1

12 .

(b) Montrer que les événements N

, N

et N

sont équiprobables.

Pour tout nombre réel k strictement positif, on considère la fonction f

définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par : f

(x) = ln(x) − kx

+ 1

Aide : Dans l’expression de f

, k est une constante et il existe autant de fonctions f

que de valeurs de k.

Partie A

Dans cette partie, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche proposée, un résultat de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; + ∞ [, positive sur [1 ; + ∞ [, et vérifie :



 

 

 

 

ln 1 = 0

Pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy) = ln x + ln y Pour tout réel strictement positif x, [ln(x)]

= 1

ln(2) ≈ 0, 69 à 10

près x On considère la fonction f définie sur ]0 ; + ∞ [ par

f (x) = √ x − ln x

1. Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur ]0 ; + ∞ [.

2. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 < ln x x <

√ x x . 3. En déduire que lim

x→+∞

ln x

x = 0 puis démontrer que lim

x→+∞

ln(x) x

= 0.

Partie B

1. Déterminer la limite de la fonction f

en 0.

2. En utilisant les résultats de la partie A., calculer la limite de la fonction f

en + ∞ . 3. Montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, f

(x) = 1 − 2kx

x .

4. Pour un nombre réel k strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction f

. x

Variations de f

0

+ ∞

1−ln 2k 2 1−ln 2k

2

Justifier les renseignements sur les variations de la fonction f

figurant dans ce tableau.

5. On a tracé ci-dessous la courbe C

représentative d’une fonction f

pour une certaine valeur du nombre réel k strictement positif. Le point A

1 ; 1

2

appartient à la courbe C

.

Quelle est la valeur du nombre réel k correspondant ? Justifier la démarche.

1 A

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A

1. Déterminer le nombre complexe α tel que

α(1 + i) = 1 + 3i iα

= − 4 + 3i 2. Pour tout nombre complexe z, on pose f (z) = z

− (1 + 3i)z + ( − 4 + 3i).

Montrer que f (z) s’écrit sous la forme (z − α)(z − iα).

En déduire les solutions sous forme algébrique de l’équation f (z) = 0.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, ~ u, ~ v), unité graphique : 5 cm.

1. On considère les points A et B d’affixes respectives a = 2 + i et b = − 1 + 2i.

Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.

Montrer que b = ia, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que −→ OA, −→ OB

= π 2 . 2. On considère le point C d’affixe c = − 1 + 1

2 i. Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que −→ OC, −→ OD

= π 2 .

On pourra conjecturer l’affixe de D à l’aide de la figure pour traiter la question suivante.

3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z

et z

les affixes respectives des vecteurs −−→ OM et −→ DA. Prouver que : z

z

= 1 2 i.

4. Donner une mesure en radians de l’angle −→ DA, −−→ OM .

5. Prouver que OM = 1 2 DA.

6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].

On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c’est un carré.

Soit v = (v

)

une suite.

On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u

= e

+ 1.

Partie A

Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte.

Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie.

Une bonne réponse donne 0, 75 point, une mauvaise réponse enlève 0, 25 point et l’absence de réponse est comptée 0 point.

Tout total négatif est ramené à zéro.

1. a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien.

Si v

= ln a alors : a. u

= 1

a + 1 b. u

= 1

1 + a c. u

= − a + 1 d. u

= e

+ 1 2. Si v est strictement croissante, alors :

(a) u est strictement décroissante et majorée par 2 (b) u est strictement croissante et minorée par 1 (c) u est strictement croissante et majorée par 2 (d) u est strictement décroissante et minorée par 1 3. Si v diverge vers + ∞ , alors :

(a) u converge vers 2 (b) u diverge vers + ∞ (c) u converge vers 1

(d) u converge vers un réel ℓ tel que ℓ > 1 4. Si v est majorée par 2, alors :

(a) u est majorée par 1 + e

(b) u est minorée par 1 + e

(c) u est majorée par 1 + e

(d) u est minorée par 1 + e

Partie B (1 point)

Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln (u

) + v

> 0.

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A

On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation : (E) : 16x − 3y = 4

1. Vérifier que le couple (1, 4) est une solution parliculière de (E).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, ~ u, ~ v).

On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d’ affixe z, associe le point M

d’affixe z

définie par z

= √ 2e

z

On définit une suite de points (M

) de la manière suivante :

le point M

a pour afflxe z

= i et pour tout entier naturel n, M

= f (M

).

On note z

l’affixe du point M

Les points M

, M

, M

et M

sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On note g la transformation f ◦ f ◦ f ◦ f .

(a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.

(b) En déduire que pour tout entier naturel n, OM

= 4OM

et que −−−→ OM

, −−−−−→ OM

= − π

2 + k × 2π où k est un entier relatif.

(c) Compléter la figure en construisant les points M

, M

et M

. 3. Démontrer que pour tout entier naturel n, z

= √ 2

e

(

).

4. Soient deux entiers naturels n et p tels que p 6 n.

(a) Exprimer en fonction de n et p une mesure de −−−→ OM

, −−−→ OM

.

(b) Démontrer que les points O, M

et M

sont alignés si et seulement si n − p est un multiple de 8.

5. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que le point M

appartienne à la demi-droite [Ox). On pourra

utiliser la partie A.

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 5 (enseignement de spécialité)

2 4 6

− 2

− 4

− 6

2 4 6 8

− 2

− 4

− 6

− 8 +

+ +

+

+

M

M

M

−

→ u

−

→ v

x y

O M

NOM , Prénom : ...