EXEMPLES D’ÉQUATIONS EN ARITHMÉTIQUE.

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�� EXEMPLES D’ÉQUATIONS EN ARITHMÉTIQUE.

Définition d’une équation diophantienne [Com��, §��.�, p��]

I. Équations diophantiennes linéaires

[Rom��, §��.�, p��]

Cas de l’équationax=b

PGCDd’une famille d’éléments, algorithme d’E��, théorème deB��-B��

Lemmes d’E��, deG��sur la divisibilité d’un produit

Équationax+ny=c, réécriteax©c modn: ensemble des solutions, existence ssia·n|b, dans ce cas une solution particulière est donnée par l’identité deB��, exemples

Soientn, mØ2.

T��. SoitaœN^ú, bœZ. On note”=a·net on écrita=”a^Õetn=”n^Õ. L’équation ax ©b modna des solutions entières si et seulement si”| bet dans ce cas, sib =”b^Õ, les solutions sont lesb^Õx^Õ₀+kn^ÕaveckœZetx^Õ₀est une solution particulière dea^Õx©1 modn^Õ. Généralisation àq

aixi=b: calcul par récurrence d’une solution Équivalent du nombre de solutionsSndeq

–ini=n [Gou��, §�.�, p��]

II. Systèmes de congruence

[Rom��, §��.�-�, p��–��]

T��. [�� ]

Soient n1, . . . , nr œ N des entiers distincts. Ces entiers sont premiers entre eux si et seulement siZ/nZetrr

j=1Z/njZsont isomorphes, oùn=rr

j=1nj. Plus précisément, l’application„:kn ‘≠æ(kⁿⁱ)1ÆiÆrest un isomorphisme d’anneaux.

E��. Z/4Zn’est pas isomorphe à(Z/2Z)².

T��. L’isomorphisme inverse est donné par(ki ni

)1ÆiÆr‘≠æqr

j=1kjuj n nj

noù l’on a choisit(uj)1ÆjÆrtels queqr

j=1uj n nj = 1.

Soientn, mØ2.

A��. Soita, b œ Zet(S)le système d’équations;

x©a modn

x©b modm d’inconnue xœZ. Sin·m= 1, alors

• on cherche une relation deB��un+vm= 1avecu, vœZ,

• on a alors une solution particulière deS:x₀=unb+vma,

• les solutions deS sont les(x0+knm)_kœZ.

E��. Les solutions de;

x©2 mod 3

x©4 mod 5 sont les(14 + 15k)_kœZ.

III. Nombres premiers et équations diophantiennes

Théorème deD��(faible) : existence d’un nombre infini de nombres premiers d’une cer- taine forme

III. A. Réduction

[Rom��, §��.�-�, p��–��] [Per��, §�.�, p��–��]

SoitpœP. On peut regarder l’équation modulop.

S’il n’y a pas de solution dansZ/pZ, il n’y en a pas non plus surZ. SoitpœP. On noteF^ple corpsZ/pZ, puisF²p=)

x²|xœF^p*etF^úp2=F²pﬂF^úp. P��. Sip= 2, alorsF²p=F^p. Sinon, on a--F²p

--=^p+1₂ .

On suppose dans la suitepimpair.

L��. On axœF^úp2

≈∆x^p^≠1² = 1.

E��. DansZ/7Z,2est un carré mais par3.

On aimerait savoir rapidement si un entieradonné est un carré modulop, donc savoir six²©a modpadmet ou non une solution entière.

D��. [�� L��]

SoitaœZ, on appelle symbole deL��(deamodulop) l’entier : 3a

p 4=

Y] [

1 six²©a modpest résoluble etp-a 0 sip|a

≠1 sinon

P��. On a1

a p

2©a^p≠1² modppour toutaœZ.

E��. ≠1est un carré modulopsi et seulement sip©1 mod 4. Doncx²+ 1 =pn’a pas de solution pourp©3 mod 4.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Exemples d’équations en arithmétique.

P��. 1

a p

2=1_a+kp

p

2pour touta, kœZ. On peut donc définirxœFp‘≠æ1

x p

2. C’est l’unique morphisme de groupes non trivial de(F^úp,◊)vers({±1},◊).

A��. PouraœZ, le nombre de solutions dex²=adansF^pest1 +1

a p

2.

A��. Poura, bœF^úpetcœF^p,ax²+by²=cadmet des solutions dansF^p. Exemple :x²+y²=pz²selonp mod 4 [Com��, §��.�, p��]

T��. [�� ]

Soientp”=qdes nombres premiers impairs. Alors1

p q

2 1q p

2= (≠1)^p^≠1² ^q^≠1² .

P��. Pourppremier impair, on a1₂

p

2= (≠1)^p²⁸^≠1. Ainsi2est un carré modulo

psi et seulement sip©±1 mod 8.

On peut donc calculer1

n p

2pour tout entiern.

E��. !₂₆

307"₌! ₂

307" !₁₃

307"₌_≠(≠1)^13≠1₂ ^307≠1₂ !₃₀₇

13"₌

≠!₈

13"₌

≠!₂

13" !₄

13"₌_≠1 Ainsi26n’est pas un carré modulo307.

x²+py=ravecppremier impair erp-r, alors on a une solution si et seulement si1_q

p

2= 1

et dans ce cas on a une paramétrisation de l’ensemble des solutions

IV. Équations diophantiennes non linéaires

IV. A. Exemples de résolutions

[Com��, §��.�, p��] [FGN��, §�.��, p��]

Solutions dex²+y²=z²

Méthode de descente infinie, exemple dex⁴+y⁴=z²ouz⁴ Autre exemple [FGN��, §�.��, p��]

T��. [�� S��G��]

Soitpun nombre premier impair tel queq = 2p+ 1est premier. Alors il n’existe pas de triplet(x, y, z)œZ³tel quep-xyzetx^p+y^p+q^p= 0.

Théorème deF��

IV. B. L’anneau des entiers de G��

[Per��, §�.�, p��] [Rom��, §�.�.�, p��]

D��. On noteZ[i] ={a+ib|a, bœZ}l’ensemble des entiers deG��.

P��. Muni du stathmeN(a+ib) =a²+b²,Z[i]est euclidien.

P��. Z[i]^◊=N^≠1({1}) ={±1,±i}. On définit =)

nœN|÷a, bœN|n=a²+b²*. On cherche à quelle(s) condition(s)nœ . E��. 0,1,2,4,5,8,9,10œ mais pas3,6,7,11.

L��. est stable par produit.

L��. SipœP, alorspœ ≈∆p©1,2 mod 4.

T��. [T�� F��]

nœ si et seulement si pour toutpœPtel quep|netp|3 mod 4, alors2|vp(n).

P��. Les irréductibles deZ[i]sont :

• lespœPtels quep©3 mod 4,

• lesa+ibtels quea²+b²œP.

Généralisation : anneaux quadratiques [Duv��, Ch�, p��]

Ou encore théorème des quatre carrés deL��: tout nombre entier est somme de�carrés.

[Duv��, §�.�, p��] [FGN��, §�.��, p��]

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Agrégation – Leçons ��– Exemples d’équations en arithmétique.

��

Q On s’intéresse ày²=x³≠xet au nombre de points de cette courbe surF^p. On noteNple nombre de solutions. Montrer queNp =p+q

xœF^p

1x³≠x p

R On utilise le fait quecard()

y²=a|yœF^p*) = 1 +1

a p

2. On a :

Np =ÿ

x

card()

y²=x³≠x*|yœF^p) =ÿ

x

1 +3 x³≠x

p

4=p+ ÿ

xœFp

3x³≠x p

4

Pour calculerN7, on calcule les1

x³≠x 7

2pourx œ F7, on obtient dans l’ordre pourx = 0, . . . ,6:0,1,≠1,≠1,1,1,≠1, d’oùN7= 7.

p

2=1_≠f(x)

p

2=1_≠1

p

2 1_f

p

2=≠1_f(x)

p

2ce qui assure que la somme est nulle dans la formule deNp, et ainsiNp=p.

Q Que dire def :x≠æ _1≠^1+xxpourxœF^p\ {1}.

R L’application est-elle injective? sif(x) =f(y), on a(1 +x)(1≠y) = (1≠x)(1 +y)donc 2x= 2ypuisx=ysipØ3. SupposonspØ3. L’application est injective et son image est F^pprivée d’un point :≠1puisque1 +x=x≠1n’a pas de solution.

Q En déduire le nombre de solutions dex²+y²= 1? R Écrivonsx²= 1≠y²= ^1+y_1≠_y(1≠y)². Donc :

Np=p+ÿ

y

31≠y² p

4=p+ 0 +ÿ

y”=1

A_1+y

1≠y

p B

=p+ ÿ

z”=≠1

3z p

4=p≠ 3≠1

p 4

��

[Com��] F.C��:Algèbre et géométrie. Bréal,��.

[Duv��] D.D��:Théorie des nombres. Dunod,��.

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

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