Leçon 246 - Séries de Fourier. . Exemples et application.

Leçon 246 - Séries de Fourier. . Exemples et application.

On considèref :→CT-périodique. Quitte à dilater, on suppose queT = 2π. On pose T=R/2πZ.

1. Définition de la série de Fourier d’une fonction périodique intégrable. — 1. Définitions et notations. —

– On se place d’abord surL²(R/2πZ,C), avec< f, g >= _2π¹ R2π

0 f(x)g(x)dx.

– Def : en(x) = e^in2πx pour n ∈ Z. C’est une famille orthonormée. On appelle polynôme trigonométrique une combi lin desen.

– Def : Pourf ∈L², c_n(f) =_2π¹ R2π

0 f(x)e^inxdx=< f, e_n >.

– Rem : PourP(x) =PN

n=−Ncnen(x), on acn=cn(P).

– Def deS_N(f), la somme partielle de la série de Fourier de f.

– Rem : Ra+2π

a f(x)dxne dépend pas de a.

– Def : Commeen(x) = cos(nx)+isin(nx), un polynôme trigonométriquePN

n=−Ncnen(x) s’écrit aussi de la forme ^a₀⁰ +PN

n=1(ancos(nx) +bnsin(x)n avecam =cm+c_−m, bm=i(cm−c_−m).

– Rem : Pourcn(f) coefficients de Fourier de f, on a alorsan=_π¹R2π

0 f(x)cos(nx)dx, pareil pourbn.

2. Propriétés des coefficients de Fourier. —

– Si f est paire, lesbn sont nuls. Si f est impaire, lesan sont nuls.

– Si une série trigonométrique converge uniformément surT, sa somme est égale à sa série de Fourier.

– Si f est de classeC^k,c_n(f^(k)) = (in)^kc_n(f).

– S_N(f) =PN

n=−Nc_n(f)e_n(x) est aussi le projeté orthogonal de f sur Vect(e_n,−N≤ n≤N), qui converge donc dans L² vers le projeté orthogonal sur V ect(en). On a donc une convergence dansL² de la série de Fourier de f.

De plus,kfk²₂−PN

n=−N|cn(f)|²= inf_g∈PNkf−gk²₂ . – Lemme de Riemann-Lebesgue : c_n(f)→_|n|→+∞0 – c_n(f∗g) =c_n(f)c_n(g).

– Propriétés sur lesa_n etb_n. 3. Des exemples. —

– Exemples du Z-Q.

2. Différents modes de convergence. — 1. Convergence au sens de Césaro. —

– Def : DN :=PN

n=−Nen,FN :=_N¹₊₁.PN n=0Dn.

– Dev : Théorème de Féjer : La suite des FN est une approximation de l’unité et FN ∗f = _N¹ PN−1

n=0 Sn(f) converge uniformément vers f pour tout f 2π−périodique

continue.

Si f admet juste une limite à droite et à gauche en tout point, alorsFN∗f(x)→N 1

2(f(x⁺) +f(x⁻)) ponctuellement.

– Les polynômes trigonométriques sont denses dans C⁰(T) pour k.k_∞, donc denses dans lesL^p(T), carC⁰(T) y est dense pour la normeL^p.

(e_n)_n est donc une famille totale desL^p.

– Les fonctions polynômiales sont denses dansC⁰(K) pour tout K compact deR. 2. Base hilbertienne de Fourier et convergence L². —

– Inégalité de Bessel : P

n|cn(f)|²≤ kfk²₂.

– Théorème de Bessel-Parseval : (en)n est une base hilbertienne de L². – Les (cos(2πnx))n et (sin(2πnx))n forment donc uneR-base deL². – Def : C^k par morceaux

– Egalité de Parseval : Pour f 2π-périodique et continue par morceaux, les (cn)n, (an)n

et (b_n)_n sont de carré sommable et P

n|cn(f)|² = ^|a0(f)|₄ ² +¹₂P

n(|an|²+|bn|²) = kfk²₂.

– Corollaire : PourP

nαnzⁿ série entière de rayon de convergence R, pour tout r∈ ]0, R[, on a : P

n≥0|α_n|².rⁿ= _2π¹ R2π

0 |f(re^it)|²dt.

– Corollaire : S_N(f) converge vers f en normeL². 3. Convergences ponctuelle et uniforme. —

– Théorème : Si f est continue, et siP

|cn(f)|<+∞, alorsSN(f) converge uniformé- ment vers f.

– Corollaire : Si f est de classeC¹, alorsP

|cn(f)|<+∞, etSN(f) CV unif vers f.

– Théorème de convergence ponctuelle : Soit f 2π-périodique et intégrable, qui admet en un x des limites à droite et à gauche.

AlorsSN(f)(x) converge vers ¹₂(f(x⁺) +f(x⁻)).

– Théorème de Dirichlet : Si f est C⁰ et C¹ par morceaux, alors la série de Fourier de f converge uniformément vers f. Si f est justeC¹ par morceaux, alors la série de Fourier de f converge uniformément versx→ ¹₂(f(x⁺) +f(x⁻)).

– Rem : Il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge.

– Le phénomène de Gibbs et son dessin.

3. Aplications. —

1. Calculs de sommes et de séries. —

– Pour f 2π-périodique, paire, telle quef(x) =χ_[0,π/2[−χ_]π/2,π] sur[0, π] , la formule de Parseval donne : P

k 1

(2k+1)² = ^π₈². On en déduitP

k 1 k² =^π₆².

– Pour f 2π-périodique, paire, telle quef(x) =|x|sur ]−π, π[, la formule de Parseval nous donne : P

k 1

(2k+1)⁴ =^π₉₆⁴. On en déduit P

k 1 k⁴ = ^π₉₀⁴.

– Formule sommatoire de Poisson : Soit f de classeC¹telle telle quef(x) =O(_x¹2) et f⁰(x) =O(_x¹2).

1

Alors la fonctionS(t) =P+∞

n=−∞f(t+n) est bien définie, continue, et 1-périodique, et la fonctionf^∗(n) =R

Rf(x).e^−2iπnxdxest bien définie, et l’on a : S(t) =_a¹P+∞

m=−∞f^∗(n)e^im2πt – Corollaire du Gourdon.

2. Liens entre régularité de f et de ses coefficients de Fourier. — – Z-Q : Théorème de régularité liant f à ses coeffs de Fourier

3. Résolution d’équations aux dérivées partielles linéaires sur des domaines simples. — – Concept de solution stationnaire.

– Dev : Equation de la chaleur sur le cercle : Pour u0 ∈ L²(R/2πZ), l’équation différentielle∂tu−∂x(∂xu) = 0 sur ]0,+∞[×R/2πZadmet une unique solution f de classeC² telle quef(t, .)→_t→0+u0 dansL²(R/2πZ).

C’est pour résoudre des équations de cette forme que la théorie de Fourier a été inventée.

– On peut aussi résoudre l’équation des ondes ou l’équation de Laplace avec la trans- formation de Fourier.

Références

Gourdon : Inégalité de Parseval.Egalité de Parseval. Formule sommatoire de Poisson.

Hauchecorne : Contre-Exemple de fonction dont dont la série de Fourier divege.

Zuily, Queffélec : Equation de la chaleur sur le cercle. (Dev) Faraut : Théorème de Féjer (Dev), Calcul deP

k 1

k², phénomène de Gibbs

May 9, 2017

Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes

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