20 CLASSE DE QUATRIEME Composition de Mathématiques de juin 2010

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CLASSE DE QUATRIEME

Composition de Mathématiques de juin 2010

Pour toute la partie numérique vous prendrez soin de détailler chaque étape de vos calculs.

L’emploi des calculatrices est autorisé. (Vous pouvez vérifier vos calculs) En géométrie toute réponse doit être justifiée par une propriété, un raisonnement suivi d’un calcul, une démonstration …

Le sujet doit être traité directement sur le polycopié.

Numérique géométrique

20

……….

………..

……….

………..

……….

………..

……….

………..

Partie numérique :

Exercice n°1 :

Donner l’écriture scientifique de chacune des longueurs du tableau de gauche ci-

dessous puis associer (à l’aide de flèches) chaque longueur à l’ «objet » qui lui correspond dans le tableau de droite ci-dessous.

Longueurs Notation scientifique « Objets »

72,86×10^-6 m 1 A Distance Terre – Lune

175×10^-2 m 2 B Distance Paris – Lyon

384,4×10⁶ m 3 C Diamètre d’un cheveu

440×10³ m 4 D Epaisseur d’un ongle

0,4807×10⁴ m 5 E Taille d’un homme

0,8×10^-3 m 6 F Altitude du Mont Blanc

3

(2)

2

Exercice n°2 :

Compléter le tableau suivant à l’aide de la figure ci-dessus

Expression Ce que permet de calculer l’expression x + 5

5×a (x + 5)×y (5 + a) × 2

y – a 2x + 2y + 10

5(y – a) : 2

Exercice 3 : A = 2×

 5x – 7

4 - 11 2

a) Développer et réduire A.

………

b) Calculer A en détaillant chaque étape pour x = 3

10

………...

………

………..

3,5

4

x 5

a y

(3)

3

Exercice 4 : Compléter la dernière colonne du tableau suivant :

A B C Rép.

1. 4(- 7x) est égal à ... - 28x 4 – 7x - 11x 2. a désigne un nombre

relatif négatif. Le nombre – a_{est ...}

positif quelle que soit la valeur

de a

négatif quelle que soit la valeur de a

du même signe que a 3. (3x)(7y) est égal à ... 10xy 21xy 37xy 4. L’opposé de 6x est ... - 6x - 6 – x (- 6)(- x)

5. y_{– 3}y est égal à ... - 3y_² ₂y _{- 2}y

6. Le triple de a + b est ... 3a + b 3a + 3b 3 + a + b 7. L’opposé de – x + 3 est ... x - 3 x + 3 3 – x 8. 10 – 2(x + 3y) est égal à

... 10 – 2x + 6y 8(x + 3y) 10 – 2x – 6y

9. Les 3 4 des 2

5 d’une pizza représentent les ...

5

9 de la pizza 3

10 de la pizza 23

20 de la pizza

10. 1

2x + 1 – 3 4x – 1

4 est égal à ...

- 3 8x – 1

4

3 4x – 1

4 - 1

4x + 3 4

Exercice 5 : Simplifier, réduire et ordonner les expressions suivantes : B = -2 × 2x + 4x × (- 2)x + 3

………

……….

C = (5x – 4) – (-4 + 3x)

………

…...

D = 5 + 4(-2x + 3)

………

………..

E = 2x(4 – 3x) – 2(x – 1)

………

………..

2,5

4

(4)

4

Exercice 6 : En utilisant la calculette donner la valeur arrondie à 10^-2 près de A puis de B pour x = 6,4 et y = - 4,7

A = - 2,5 + 3x – 2x² + 3x⁴ B = 5,3 - 3y y - 5 A ≈ ……….. B ≈ ………….

Partie géométrique :

Exercice n°1 :

Greg, placé en T, observe une éclipse de Soleil que l’on schématise ainsi.

(La figure n’est pas à l’échelle).

Le rayon SO du Soleil mesure 696 000 km.

Le rayon LU de la Lune mesure 1 738 km.

La distance TS (Terre – Soleil) est égale à 150 millions de km.

Calculer l’arrondi au km près de la distance TL (Terre – Lune).

………

………..

3

6

(5)

5

Exercice n°2 :

1) Que représente [AH] pour le triangle ABC ?

………

2) Démontrer que (AR) est perpendiculaire à (MN).

………

……….

………..

Que représente [AR] pour le triangle AMN ?

….……….

1 4,5

(6)

6

3) Démontrer que le point R est le milieu de [AH].

………

……….

………

Exercice n°3 : Démontrer que les droites (AB) et (CF) sont parallèles.

………..

………

………..

……….

………

3,5

5

(7)

CORRECTION

7

Partie numérique :

Exercice n°1 :

Donner l’écriture scientifique de chacune des longueurs du tableau de gauche ci-dessous puis associer (à l’aide de flèches) chaque longueur à l’ «objet » qui lui correspond dans le tableau de droite ci-dessous.

Longueurs Notation scientifique « Objets »

72,86×10^-6 m 7,286×10^-5 m 1 A Distance Terre – Lune

175×10^-2 m 1,75×10⁰ m 2 B Distance Paris – Lyon

384,4×10⁶ m 3,844×10⁸ m 3 C Diamètre d’un cheveu

440×10³ m 4,4×10⁵ m 4 D Epaisseur d’un ongle

0,4807×10⁴ m 4,807×10³ m 5 E Taille d’un homme

0,8×10^-3 m 8×10^-4 m 6 F Altitude du Mont Blanc

Exercice n°2 :

Compléter le tableau suivant à l’aide de la figure ci-dessus

Expression Ce que permet de calculer l’expression x + 5 La longueur du segment [AB]

5×a L’aire du rectangle EBGF

2×(5 + a) Le périmètre du rectangle EBGF 2x + 2y + 10 Le périmètre du rectangle ABCD

y – a La longueur du segment [GC]

y(x + 5) L’aire du rectangle ABCD 5(y – a) : 2 L’aire du triangle FGC

3,5

x 5

a y

(8)

CORRECTION

8 Exercice 3 : A = 2×

 5x – 7

4 - 11 2

a) Développer et réduire A.

A = 2×5x - 2×7 4 - 11

2

A = 10x –7 2 – 11

2 A = 10x - 9

Calculer A en détaillant chaque étape pour x = 3

10

A = 10×3 10 - 9 A = 3 – 9 A = -6

Exercice 4 : Compléter la dernière colonne du tableau suivant :

A B C Rép.

1. 4(- 7x) est égal à ... - 28x 4 – 7x - 11x A 2. a désigne un nombre

relatif négatif. Le nombre – a est ...

positif quelle que soit la valeur

de a

négatif quelle que soit la valeur de a

du même signe

que a ^A

3. (3x)(7y) est égal à ... 10xy 21xy 37xy B

4. L’opposé de 6x_{est ...} _{- 6}x _{- 6 –}x _{(- 6)(-}x₎ _A

5. y – 3y est égal à ... - 3y² 2y - 2y C

6. Le triple de a + b est ... 3a + b 3a + 3b 3 + a + b B 7. L’opposé de – x + 3 est ... x_{- 3} x_{+ 3} _{3 –}x _A 8. 10 – 2(x_{+ 3}y) est égal à

... 10 – 2x + 6y 8(x + 3y) 10 – 2x – 6y C

9. Les 3 4 des 2

5 d’une pizza représentent les ...

5

9 de la pizza 3

10 de la pizza 23

20 de la pizza B

10. 1

2x + 1 – 3 4x – 1

4 est égal à ...

- 3 8x – 1

4

3 4x – 1

4 - 1

4x + 3

4 C

4

(9)

CORRECTION

9 Exercice 5 : Simplifier, réduire et ordonner les expressions suivantes :

B = -2 × 2x + 4x × (- 2)x + 3 B = -4x – 8x² + 3

B = -8x² - 4x + 3

C = (5x – 4) – (-4 + 3x) C = 5x – 4 + 4 – 3x C = 2x

D = 5 + 4(-2x + 3)

D = 5 -2×4x + 4×3 D = -8x + 5 + 12 D = -8x + 17

E = 2x(4 – 3x) – 2(x – 1)

E = 2x×4 – 2x×3x – 2x -2×(-1) E = 8x – 6x² - 2x + 2

E = -6x² + 6x + 2 .

Exercice 6 : En utilisant la calculette donner la valeur arrondie à 10^-2 près de A puis de B pour x = 6,4 et y = - 4,7

A = - 2,5 + 3x – 2x² + 3x⁴ B = 5,3 - 3y y - 5 A ≈ 4967,94 ….. B = -2

4

3

(10)

CORRECTION

10

Partie géométrique :

Exercice n°1 :

Greg, placé en T, observe une éclipse de Soleil que l’on schématise ainsi.

(La figure n’est pas à l’échelle).

Le rayon SO du Soleil mesure 696 000 km.

Le rayon LU de la Lune mesure 1 738 km.

La distance TS (Terre – Soleil) est égale à 150 millions de km.

Calculer l’arrondi au km près de la distance TL (Terre – Lune).

Les droites (OS) et (UL) étant perpendiculaires à la même droite (OT) sont donc parallèles.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles TUL et TOS : TU

TO = TL TS = UL

OS

Soit : 1738

696 000 = TL 150 000 000

D’où : TL = 150 000 000 × 1738

696 000 ≈ 374 569 km La distance Terre-Lune est d’environ 374 569 km.

6

(11)

CORRECTION

11 Exercice n°2 :

1) Que représente [AH] pour le triangle ABC ? [AH] est la hauteur issue de A du triangle ABC.

2) Démontrer que (AR) est perpendiculaire à (MN).

Données : M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC].

Propriété : La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

Conclusion : (MN) // (BC)

Données : (MN) // (BC) et (AR) ⊥ (BC)

Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Conclusion : (AR) ⊥ (MN)

Que représente [AR] pour le triangle AMN ? [AR] est la hauteur issue de A dans le triangle AMN.

3) Démontrer que le point R est le milieu de [AH].

Données : Dans le triangle ABH, M est le milieu de [AB] et (MR) // (BH).

Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d’un segment et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Conclusion : R est le milieu de [AH].

1 4,5

3,5

(12)

CORRECTION

12 Exercice n°3 : Démontrer que les droites (AB) et (CF) sont parallèles.

AC² = 15,6² = 243,36

AB² + BC² = 14,4² + 6² = 243,36

On a l’égalité : AC² = AB² + BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.

Données : (AB) ⊥ (BC) (car le triangle ABC est rectangle en B) (CF) ⊥ (BC) (par codage)

Propriété : Deux droites perpendiculaires à la même droite sont parallèles.

Conclusion : (AB) // (CF)