I Loi biais´ ee par la taille et loi infiniment divisible

Processus avec sauts et applications au march´ e de l’´ energie

Examen du lundi 12 mars 2012 14h30-16h30

Les deux parties sont `a r´ediger sur des copies diff´erentes.

I Loi biais´ ee par la taille et loi infiniment divisible

La notationZ =^L Y signifie que les variables al´eatoiresZ etY ont mˆeme loi. On note ϕZ

la fonction caract´eristique de Z.

SoitXune variable al´eatoire r´eelle p.s. positive et int´egrable. On notea=E[X]. La loi de X biais´ee par la taille est la loi de la variable al´eatoireX^∗ d´efinie de la mani`ere suivante : pour toute fonction mesurable born´eeg :

E[g(X^∗)] = 1

aE[Xg(X)].

Le but de cet exercice est de montrer le th´eor`eme de Steutel<sup>1 2</sup> : X<sup>∗ L</sup>= X +Y, o`u Y est une variable al´eatoire positive ind´ependante de X, si et seulement si la loi de X est infiniment divisible.

1. Pr´eliminaires.

(a) V´erifier que la fonctionF^∗ d´efinie par : F^∗(x) = 1

aE

X1_{X≤x}

est une fonction de r´epartition i.e.une fonction croissante contininue `a droite telle que lim_x→+∞F^∗(x) = 1 et lim_x→−∞F^∗(x) = 0. En d´eduire que la loi de X biais´ee par la taille est bien d´efinie.

(b) Soit (X_k, k ∈N^∗) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi que X. Soit n ≥ 1. On pose Sn = Pn

k=1Xk. Montrer que pour g mesurable born´ee, on a :E[g(S_n^∗)] = ¹_aE[Xng(S_n−1+Xn)]. En d´eduire que :

S_n^∗ =^L S_n−1+X^∗, o`uX^∗ est choisi ind´ependant de (Xk, k∈N^∗).

2. On suppose queX est infiniment divisible. En particulier, pour toutn∈N^∗, il existe une suite de variables al´eatoires (X_k⁽ⁿ⁾, k ∈ N^∗) ind´ependantes et de mˆeme loi telle que :

X=^L S_n⁽ⁿ⁾, o`u S_m⁽ⁿ⁾=

m

X

k=1

X_k⁽ⁿ⁾.

On rappelle que X ´etant p.s. positive et int´egrable, alors X_k⁽ⁿ⁾ est ´egalement p.s.

positive et int´egrable.

(a) D´eduire de la question I.1b que :

X^{∗ L}= (S⁽ⁿ⁾_n −X_n⁽ⁿ⁾) +Y_n,

o`u Yn est ind´ependante (X_k⁽ⁿ⁾, k ∈N^∗) et dont la loi est la loi de X₁⁽ⁿ⁾ biais´ee par la taille.

1W. F. Steutel. Some recent results in infinite divisibility.Stoch. Pr. Appl.Vol. 1, pp. 125-143 (1973).

2R. Arratia and L.Goldstein. Size bias, sampling, the waiting time paradox, and infinite divisibility : when is the increment independent ?http://arxiv.org/abs/1007.3910(2010).

(b) Montrer que (Xn⁽ⁿ⁾, n ∈ N^∗) converge vers 0 dans L¹. En d´eduire que (Sn⁽ⁿ⁾− Xn⁽ⁿ⁾, n∈N^∗) converge en loi et identifier la limite.

(c) Montrer que pour tout K ≥0, P(Yn ≥K) ≤ P(X^∗ ≥ K). En d´eduire que la suite (Yn, n ∈ N^∗) est tendue et qu’il existe une sous-suite (Ynk, k ∈ N^∗) qui converge en loi vers une limiteY p.s. positive.

(d) Montrer que

X^{∗ L}=X+Y,

o`uY est une variable al´eatoire p.s. positive ind´ependante de X.

3. On suppose queX^{∗ L}=X+Y, o`uY est une variable al´eatoire p.s. positive ind´ependante deX. On note µla loi de Y :µ(A) =P(Y ∈A).

(a) Montrer que :

ϕ_X^∗(u) = 1

iaϕ^′_X(u).

(b) Montrer que pour ε > 0 suffisament petit, log(ϕ_X(u)) est bien d´efini et que pouru∈]−ε, ε[ :

d

dulog(ϕX(u)) =iaϕY(u).

(c) Montrer que pour u∈]−ε, ε[ :

ϕX(u) = exp iuaµ({0}) + Z

]0,+∞[

(e^iuy−1)a yµ(dy)

! .

(d) En d´eduire queX est infiniment divisible et donner son triplet caract´eristique.

4. Soit p ∈]0,1[ et q = 1 −p. Soit Y une variable al´eatoire de loi g´eom´etrique de param`etrep. On rappelle que :

P(Y =k) =pq^q−1 pour k∈N^∗, E[Y] = 1

p et ϕ_Y(u) = pe^iu 1−qe^iu· Soit X une variable al´eatoire ind´ependante de Y et de loi g´eom´etrique d´ecal´ee : P(X =k) =pq^k pour k∈N, autrement dit X=^L Y −1. Montrer que X^{∗ L}=X+Y. En d´eduire que la loi g´eom´etrique d´ecal´ee est infiniment divisible et donner son triplet caract´eristique.

II G´ en´ erateur infinit´ esimal d’un processus de L´ evy

Sur l’espace de probabilit´e (Ω,F,P) soit (X_t)_t≥0 un processus de L´evy de triplet de caract´eristiques (b, c, F) avec b ∈ R, c ∈ R₊ et F mesure sur R t.q. F({0}) = 0 et R

R(1∧x²)F(dx)<+∞ etFt=σ(Xs,0≤s≤t). On note N(dt, dx) = X

δ_(s,∆Xs)(dt, dx)

2. Montrer que∀x∈R,R

R

f(x+y)−f(x)−f^′(x)y1_{|y|≤1}

F(dy)<+∞ et que x7→

R

R f(x+y)−f(x)−f^′(x)y1_{|y|≤1}

F(dy) est une fonction continue.

On noteM_t^f =f(Xt)−Rt

0Lf(Xs)ds o`u Lf(x) =bf^′(x) + c

2f^′′(x) + Z

R

f(x+y)−f(x)−f^′(x)y1_{|y|≤1}

F(dy).

3. Justifier queM_t^f =f(Xt)−Rt

0Lf(X_s−)ds puis que M_t^f =√

c Z t

0

f^′(X_s)dW_s+ Z

]0,t]×R

(f(X_s−+y)−f(X_s−)) ˜N(ds, dy).

4. Montrer que sif^′ est born´ee,

∀y∈R, sup

x∈R

(f(x+y)−f(x))²≤(kf^′k²∞∨4kfk²∞)(1∧y²) et en d´eduire queM_t^f est alors uneF^t-martingale de carr´e int´egrable.

5. V´erifier que

[L(f g)−f Lg−gLf](x) =cf^′g^′(x) + Z

R

(f(x+y)−f(x))(g(x+y)−g(x))F(dy).

6. Calculer [M^f, M^g]t. V´erifier que [M^f, M^g]t−Rt

0[L(f g)−f Lg−gLf](Xs)ds est une martingale locale.

Lorsqueg^′ est born´ee, v´erifier que ∀y ∈R, sup

x∈R|(f(x+y)−f(x))(g(x+y)−g(x))| ≤2kfk∞(2kgk∞∨ kg^′k∞)(1∧ |y|) et en d´eduire que [M^f, M^g]t−Rt

0[L(f g)−f Lg−gLf](Xs)dsest alors une martingale de carr´e int´egrable.

7. ExprimerM_t^fM_t^g−Rt

0[L(f g)−f Lg−gLf](Xs)dssous forme d’une somme d’int´egrales stochastiques. En d´eduire que ce processus est une martingale locale. V´erifier que

E Z t

0

Z

R

(M_s^g₋)²(f(X_s−+y)−f(X_s−))²F(dy)ds

≤4E((M_t^g)²)t(kf^′k²∞∨4kfk²∞) Z

R

(1∧y²)F(dy).

En d´eduire que lorsquef^′ etg^′ sont born´eesM_t^fM_t^g−Rt

0[L(f g)−f Lg−gLf](Xs)ds est une martingale de carr´e int´egrable.

Correction

I Loi biais´ ee par la taille et loi infiniment divisible

1. (a) Par croissance de l’esp´erance, on a que F^∗ est croissante. Par convergence domin´ee, on obtient que F^∗ est une fonction contininue `a droite telle que lim_x→+∞F^∗(x) =E[X]/a= 1 et lim_x→−∞F^∗(x) = 0. On en d´eduit que F^∗ est bien une fonction de r´epartition. La loi deX biais´ee par la taille est donc bien d´efinie.

(b) Soitg une fonction mesurable born´ee. On a : E[g(S_n^∗)] = 1

naE[S_ng(S_n)] = 1 na

n

X

k=1

E

"

X_kg(X_k+

n

X

i=1

X_i1_{i6=k})

#

= 1

aE[Xng(Sn−1+Xn)]

=E[g(S_n−1+X^∗)], o`u on a utilis´e que (Xk,Pn

i=1Xi1_{i6=k}) a mˆeme loi que (Xn, S_n−1) pour la 4`eme

´egalit´e, puis queXn (etX^∗) est ind´ependant deS_n−1 pour la derni`ere ´egalit´e.

On en d´eduit le r´esultat.

2. (a) C’est une application directe de la question I.1b.

(b) On a :

E[|X_n⁽ⁿ⁾|] =E[X_n⁽ⁿ⁾] = 1

nE[S_n⁽ⁿ⁾] = 1 nE[X].

On en d´eduit que (Xn⁽ⁿ⁾, n∈N^∗) converge vers 0 dansL¹et donc en loi. Comme (Sn⁽ⁿ⁾, n ∈ N^∗) converge en loi vers X, on d´eduit du th´eor`eme de Slutski que (Sn⁽ⁿ⁾−Xn⁽ⁿ⁾, n∈N^∗) converge en loi versX.

(c) CommeX^∗ a m´eme loi que (Sn⁽ⁿ⁾−Xn⁽ⁿ⁾) +Yn et que (Sn⁽ⁿ⁾−Xn⁽ⁿ⁾) est positif, on en d´eduit que pour tout K ≥ 0, P(Yn ≤K) ≤P(X^∗ ≤ K). Comme Yn et X^∗ sont positifs, on en d´eduit que :

K→+∞lim sup

n∈N∗

P(|Y_n| ≥K) = 0.

Ceci assure que la suite (µn, n ∈ N^∗), o`u µn est la loi de Yn, est tendue. Le th´eor`eme de Prohorov assure que cette suite est relativement compacte. Donc il existe une sous-suite (Ynk, k ∈ N^∗) qui converge en loi vers une limite Y. CommeYn est positif pour tout n∈N^∗, on en d´eduit que Y est positif.

(d) On a par ind´ependance : ϕX^∗(u) =ϕ

S_nk^(nk)−Xn^(nk)(u)ϕY_nk(u) −−−−→

k→+∞ ϕX(u)ϕY(u).

etψ(0) = 0, etψ ainsi d´etermin´e est unique. On noteψ(u) = log(ϕX(u)) pour u∈I. Enfin, commeϕ_X est de classeC¹, on en d´eduit que ψ est ´egalement de classeC¹. De plus, on a ϕ^′_X(u) =ψ^′(u)ϕX(u) soit :

ψ^′(u) =iaϕ_Y(u) pour u∈I.

(c) Commeψ(u) = 0, on d´eduit de la question pr´ec´edente et du th´eor`eme de Fubini que, pouru∈I :

ψ(u) =ia Z u

0

dv Z

e^ivy µ(dy) =ia Z

µ(dy) Z u

0

dv e^ivy

=iuaµ({0}) + Z

]0,+∞[

(e^iuy−1)a yµ(dy).

(d) L’´egalit´e ci-dessus est valable sur tout intervalle ouvertI contenant 0 sur lequel ϕ_X ne s’annule pas. En particulier elle est valable sur I =]u₋, u₊[, o`u u₊ = inf{u ≥ 0;ϕX(u) 6= 0} et u− = sup{u ≤ 0;ϕX(u) 6= 0} avec les conventions inf∅= +∞ et sup∅=−∞. En particulier ψ est d´efini sur ]u₋, u₊[.

On remarque que |ψ(u)| ≤ a|u|. Si u₊ est fini, on a lim_u↑u+ϕX(u) = 0 mais lim sup_u↑u+|ψ(u)| < +∞. Ceci est absurde car ϕ_X(u) = exp(ψ(u)). On en d´eduit que u+ est infini. De mˆeme on montre que −u− est infini. Donc la formule

ϕ_X(u) = exp iuaµ({0}) + Z

]0,+∞[

(e^iuy−1)a yµ(dy)

! .

est vraie sur R. Ceci assure que la loi de X est infiniment divisible et son triplet caract´eristique est

aµ({0}),0,^a_y1_]0,+∞[(y)µ(dy)

(avec la fonction de troncature nulle).

4. On a a = E[X] = E[Y]−1 = q/p ainsi que ϕX(u) = ϕY−1(u) = e^−iuϕY(u) = p/(1−qe^iu). On en d´eduit que :

ϕ_X∗(u) = 1 i

p

q ϕ^′_X(u) = p²e^iu

(1−qe^iu)² =ϕ_X(u)ϕ_Y(u).

On en d´eduit que X^{∗ L}= X+Y avec X int´egrable p.s. positive et Y p.s. positive ind´ependante de X. D’apr`es la question I.3, on obtient que la loi de X est infini- ment divisible. Comme la loi de Y ne charge par {0}, on en d´eduit que son triplet caract´eristique (avec la fonction de troncature nulle) est, en utilisant la notationδx

pour la masse de Dirac enx :

0,0, X

k∈N∗

1

kq^kδk(dy)

! .