Chapitre n°12 : Loi binomiale et applications

(1)

Chapitre n°12 : Loi binomiale et applications

Objectifs :

20. Modèle de la répétition d'expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues.

i. Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.

[Pour la répétition d'expériences identiques et indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat]

[La notion de probabilité conditionnelle est hors programme]

ii. Utiliser cette représentation pour déterminer la loi d'une variable aléatoire associée à une telle situation.

[On peut aussi traiter quelques situations autour de la loi géométrique tronquée]

[Algorithme : On peut simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme]

21. Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli : Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès). Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.

[La représentation à l'aide d'un arbre est privilégié : il s'agit ici d'installer une représentation mentale efficace.]

[On peut ainsi : 1) faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n (n  4) – 2) introduire le coefficient binomial

(

ⁿk

)

comme nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès pour n répétitions – 3) établir enfin la formule générale de la loi binomiale.]

22. Épreuve de Bernouilli, loi de Bernouilli : Coefficients binomiaux, triangle de Pascal.

i. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.

Démonstration : Démontrer que

(

ⁿk

)

⁺

(

kⁿ+

1 )

⁼

(

ⁿk⁺¹+1

)

[Cette égalité est établie en raisonnant sur le nombre de chemins réalisant k+1 succès pour n+1 répétitions.]

[On établit également la propriété de symétrie des coefficients binomiaux.]

ii. Représenter graphiquement la loi binomiale.

[L'utilisation des coefficients binomiaux dans des problèmes de dénombrement et leur écriture à l'aide de factorielles ne sont pas des attendus du programme]

[En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilités, et représenter graphiquement la loi binomiale]

23. Loi binomiale : espérance, variance et écart-type de la loi binomiale. Utiliser l'espérance d'une loi binomiale dans des contextes variés.

[La formule donnant l'espérance de la loi binomiale est conjecturée puis admise, celle de la variance est admise]

[Algorithme : on peut simuler la loi binomiale avec un algorithme]

Activité d'approche n°1 Partie I ( Source : Declic 2011 )

On dispose d'une urne contenant 2 boules vertes et une boule rouge. On tire une boule, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne.

On effectue deux fois cette expérience de manière identique (= l'expérience est reproduite dans les mêmes conditions) et indépendante (= le résultat de la seconde expérience n'est pas influencé par celui de la première).

1. Déterminer les probabilités des événements

(2)

2/22 suivants :

a. A= « Obtenir deux boules rouges ».

…...

b. B= « Obtenir une boule verte, puis une boule rouge ».

…...

c. C= « Obtenir deux boules vertes ».

…...

2. On décide de réécrire l'arbre de la façon suivante : Par quels calculs peut-on retrouver les résultats du 1 ?

…...

Cet arbre est appelé arbre pondéré.

3. On dispose cette fois de trois boules rouges et cinq

boules vertes. Construire un arbre pondéré et déterminer les probabilités des événements A,B et C définis à la question 1.

Partie II

( source : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee.htm )

Grégoire a pris des cours de tirs à l'issue desquels la probabilité qu'il atteigne sa cible est

^p=³₄

.

1)

On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X = 0, 1 ou 2).

Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre pondéré et on désignera par S les succès et E les échecs).

2)

On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès obtenus.

(Y {0 ; 1 ; ... ; 6})

∈

On voudrait calculer la probabilité de l'événement [Y = 4].

a) Peut-on encore facilement raisonner à l'aide d'un arbre ?

b) Calculer la probabilité qu'il commence par quatre succès suivis de deux échecs.

c) Mais les succès et les échecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre.

Parmi les "mots" de six lettres qui ne contiennent que des S et des E, combien contiennent exactement quatre fois la lettre S ?

d) En déduire la probabilité de l'événement [Y = 4].

2/22

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Cours n°1

Chapitre n°12 : Loi binomiale et applications

I) Loi de Bernoulli Définition 1

Soit une expérience aléatoire possédant deux issues : Succès ou Echec.

Soit p la probabilité de l’événement S. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur 1 en cas de Succès, 0 sinon.

La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

L'expérience aléatoire s'appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Tableau de la loi de Bernoulli de paramètre p :

…...

...

Espérance de la loi de Bernoulli de paramètre p :

…...

...

Variance de la loi de Bernoulli de paramètre p :

…...

...

II) Loi binomiale

(4)

4/22

(5)

Définition 2

Soit une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

On effectue l'expérience aléatoire consistant à ...

...

Cette expérience aléatoire s'appelle un schéma de Bernoulli, de paramètres

n et p.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètre n et p.

On la note B (n,p).

Exemple n°1 : schéma de Bernoulli ou non ?

Une urne contient 3 boules rouges et deux boules vertes. On tire

successivement, sans remise, deux boules. Est-ce un schéma de Bernoulli ? Justifier.

…...

...

Une urne contient 3 boules rouges et deux boules vertes. On tire

successivement, avec remise, deux boules. Est-ce un schéma de Bernoulli ? Justifier.

…...

...

Propriété n°1

Dans un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences identiques et indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le …...

des probabilités de chaque résultats.

Exemple n°2 : Utiliser la loi binomiale.

Une urne contient 3 boules rouges et deux boules vertes. On tire

successivement, avec remise, deux boules.

(6)

6/22

(7)

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule verte ?

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Exercice n°1

Ex.3 p.306

Exercice n°2

Ex.15 p.307

Exercice n°3

Ex.22 p.307

Exercice n°4

Ex.23 p.307

Exercice n°5

Une expérience aléatoire a pour probabilité p d'être un succès.

1. On répète cette expérience aléatoire deux fois, de façon indépendante.

a. Calculer la probabilité d'avoir deux succès, en fonction de p.

b. Calculer la probabilité d'avoir un succès, en fonction de p.

c. Calculer la probabilité de ne pas avoir de succès, en fonction de p.

2. On répète cette expérience aléatoire trois fois, de façon indépendante.

a. Calculer la probabilité d'avoir deux succès, en fonction de p.

b. Calculer la probabilité d'avoir un succès, en fonction de p.

c. Calculer la probabilité de ne pas avoir de succès, en fonction de p.

(8)

8/22

(9)

Activité d'approche n°2

On reprend l'activité n°1, partie I, mais en faisant quatre tirages au lieu de deux :

1. On s'intéresse à la probabilité de tirer 3 boules vertes :

a. Combien de chemins possibles permettent d'obtenir 3 boules vertes ? …...

On note (

ⁿk

) le nombre de chemins possibles pour k succès parmi n tirages.

Comment note-t-on le nombre de chemins ici ?

...

b. Que peut-on dire des produits des probabilités de chaque chemin ?

…...

c. Combien de chemins possibles permettent d'obtenir 1 boule verte ? …...

d. Déduire de ce qui précède une égalité.

...

2. a. À quoi correspond ( ³ ² ) ^?

b. Exprimer ( 3 ⁴ ) en fonction de ( ³ 2 ) ^et ( ³ 3 ) ^.

V

R

V

R

V

R

1 3 2 3

2 3

1 3

V

V R

R

2 3

2 3 1 3

1 3

V V R R V V R R V V R R V V R R

2 3

2 3 1 3 1 3

1 3

(10)

10/22

(11)

Cours n°2

III) Coefficients binomiaux et loi binomiale Définition n°3 : coefficient binomiaux

On appelle coefficient binomial (

ⁿk

) le nombre de chemins correspondants à

k

succès parmi n répétitions d'un schéma de Bernoulli.

Exemple n°3

( ³ ² ) Représente le nombre de chemins possibles pour …. succès parmi … Ce qui donne …..

Propriété n°2

La probabilité d'obtenir

k

succès parmi

n

répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre

p

est donnée par (

ⁿk

)

^p^k

^{(1 –}

^p)^n-k

^.

Exemple n°4

Dans une urne contenant 7 boules vertes et 3 boules bleues, la probabilité de tirer 3 fois une boule verte en effectuant 5 tirages est donnée par :

…...

...

Propriété n°3

Les relations suivantes entre les coefficients binomiaux permettent de les calculer de proche en proche :

1. (

ⁿ

⁰ )

^{= 1,}

(

ⁿ

¹ )

^{= n,}

(

ⁿⁿ

)

^{= 1}

2. (

ⁿk

) ⁼ ( ...−... ^... )

3. (

ⁿk

) ⁺ (

kⁿ+1

) ⁼ ( ^...+... ...+... )

(12)

12/22

(13)

Démonstration

1. (

ⁿ

⁰ ) , c'est le chemin qui conduit à 0 succès pour n tirages : i n'y a qu'un seul chemin. Etc.

2. Il y a autant de chemins réalisant k succès que de chemins réalisant k échecs.

3. k+1 succès sur n+1 essais, c'est soit :

- k succès sur les n tirages, et un …... sur le n+1ème tirage. →

( ^... ^... )

-

k+1

succès sur les

n

tirages, et un …... sur le

n+1

ème tirage.

→

( ...+... ^... )

Ceci correspond au « triangle de Pascal » :

n=0 : 1

n=1 : 1 1 n=2 : 1 2 1 n=3 : 1 3 3 1 n=4 : 1 4 6 4 1 n=5 : 1 5 10 10 5 1

etc.

Exemple n°5

Calculer ( ⁶ ⁴ )

n=0 : 1 n=1 : 1 1 n=2 : 1 2 1 n=3 : 1 3 3 1 n=4 : 1 4 6 4 1 n=5 : 1 5 10 10 5 1 n=6 : 1 … …. ….. … …. …..

Donc ( ⁶ ⁴ ) ^=...

Propriété n°4 : Utilisation de la calculatrice pour calculer les

coefficients binomiaux :

(14)

14/22

(15)

Exemple n°6 :

Utiliser la calculatrice pour calculer ( ⁹ ⁷ ) : …...

Exercice n°6

Ex.9 p.306

Exercice n°7

Ex.10 p.306

Exercice n°8

Ex.27 p.308

Exercice n°9*

Ex.37 p.308

Exercice n°10*

Ex.39 p.308

Exercice n°11*

Ex.41 p.309

Exercice n°12**

Ex.43 p.309

Construire un histogramme avec les valeurs de P(X=0), P(X=1), P(X=2), …, P(X=10).

Cours n°3

IV) Espérance et variance de la loi binomiale Propriété n°5

L'espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est n×p.

Sa variance est np(1 – p).

Utilisation de la calculatrice :

(16)

16/22

(17)

Exercice n°13**

Ex.47 p.309

Exercice n°14**

Ex.48 p.309

(18)

18/22

(19)

Exercice n°15**

Ex.64 p.311

Exercice n°16***

Ex.96 p.317

Exercice n°17***

Ex.98 p.317

Exercice n°18***

Ex.105 p.319

(20)

20/22

Indices et résultats

Act.1 : P.I : a. un seul chemin... b. 2 9 2.

×

3.A: 9

64 B : 25

64 C : 15 64 P.II : 1.

P

(

X

=

0

)=

1 16 ;P

(

X

=

1

)=

3 16 ;P

(

X

=

2

)=

9 16 2.b. 81

256

×

1 16 c. 15 d. 1215 4098 Ex.1 : Non.

Ex.2 : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et

p=

4 52

Ex.3 : 1. X suit une loi binomiale de paramètres n=2 et p=0,2. 2. P(X=1)=0,32 ;

P(X=2)=0,04

Ex.4 : 1.

X

suit une loi binomiale de paramètres

n=2

et

p=0,058

2.

P(X=0)=0,836 ;P(X=1)≈0,154 ;P(X1)=1–P(X=0)≈0,164.

Ex.5 : 1a. p² 1b. 2p(1-p) 1c. (1–p)² 2a. 3p²(1–p) 2b.3p(1–p)²

Act.2 : 1a. 4 ( ³ ⁴ ) ^1b. ⁸¹ ⁸ 1c. 4 1d. ( ³ ⁴ )

⁼

( ⁴ ¹ ) 2a. Au nb de chemins si on a trois tirages et …. 2b. ( ³ ² ) ^=3, ( ³ ³ ) ^=1...

Ex.6 : 210;3003;184756;5852925;env.10

¹⁰

;1198774720 Ex.7 : 2.5;10;10;5

Ex.8 : 15;1;40;16;1

Ex.9 : à 10

^-3

près : 1.0,236;0,647 2.0,175;0,927;0,95

Ex.10 : 1. n=4 et p=0,6 2. 0,0256 3. 0,3456 Ex.11 :1. n=200 et p ≈ 0,233 2. 0,197 3. 0,911 Ex.12 : 1. n=10 et p ≈ 0,25 2. 0,0004 3.

Ex.13 : 1. 0,186 2. 0,636 3. 1 Ex.14 : 1.

2. sym./(d) : x=0,5 3. Pour k=4, 0,273 Ex.15 : 1. 0,994 2. au moins 21

Ex.16 : 1.a. 10 et 0,05 1.b. 0,599 1.c. 0,988 2.a. 5 2.b. 0,564 bien fondée.

→

Ex.17 : 2. 0,60;0,09 3.

a=

31

b=

50 bien représentatif

→

Ex.18 : 2. 58 3. Si n<58 : imposteur. 4. Pas imposteur

20/22

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :