Chapitre de rattrapage : Loi binomiale et applications

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Chapitre de rattrapage : Loi binomiale et applications

Activité d'approche n°1 Partie I (Source : Declic 2011)

On dispose d'une urne contenant 2 boules vertes et une boule rouge. On tire une boule, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne.

On effectue deux fois cette expérience de manière identique (= l'expérience est reproduite dans les mêmes conditions) et indépendante (= le résultat de la seconde expérience n'est pas influencé par celui de la première).

1. Déterminer les probabilités des événements suivants : a. A= « Obtenir deux boules rouges ».

…...…

………...

b. B= « Obtenir une boule verte, puis une boule rouge ».

…...…

………...

c. C= « Obtenir deux boules vertes ».

…...…

………...

2. On décide de réécrire l'arbre de la façon suivante : Par quels calculs peut-on retrouver les résultats du 1 ?

…...…

………...

Cet arbre est appelé arbre pondéré.

3. On dispose cette fois de trois boules rouges et cinq boules vertes. Construire un arbre pondéré et déterminer les

probabilités des événements A,B et C définis à la question 1.

Partie II ( source : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee.htm)

Grégoire a pris des cours de tirs à l'issue desquels la probabilité qu'il atteigne sa cible est p=3

4 .

1) On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X = 0, 1 ou 2).

Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider

(2)

d'un arbre pondéré et on désignera par S les succès et E les échecs).

………

………...

………

…..………

………

………...

………

…..………...

………

………...

………

…..………...

………

………...

………

…..………...

2) On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès obtenus.

(Y {0 ; 1 ; ... ; 6})∈

On voudrait calculer la probabilité de l'événement [Y = 4].

a) Peut-on encore facilement raisonner à l'aide d'un arbre ?

……….

b) Calculer la probabilité qu'il commence par quatre succès suivis de deux échecs.

………

………...

………

…..………...

c) Mais les succès et les échecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre.

Parmi les "mots" de six lettres qui ne contiennent que des S et des E, combien contiennent exactement quatre fois la lettre S ?

………

………...

………

…..………...

………

………...

………

…..………...

d) En déduire la probabilité de l'événement [Y = 4].

………

………...

………

………...

………

………...

………

(3)

………

………...

………

………...

………

………...

………

Cours n°1

Chapitre n°12 : Loi binomiale et applications

I) Loi de Bernoulli Définition 1

Soit une expérience aléatoire possédant deux issues : Succès ou Echec.

Soit p la probabilité de l’événement S. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur 1 en cas de Succès, 0 sinon.

La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

L'expérience aléatoire s'appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Tableau de la loi de Bernoulli de paramètre p :

…...

...

...……….

Espérance de la loi de Bernoulli de paramètre p :

…...

...

...………

Variance de la loi de Bernoulli de paramètre p :

…...

...p(1-p)

...

………...

II) Loi binomiale Définition 2

Soit une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

On effectue l'expérience aléatoire consistant à répéter n fois cette épreuve de Bernoulli.

(4)

Cette expérience aléatoire s'appelle un schéma de Bernoulli, de paramètres n et

p.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètre n et p.

On la note B (n,p).

Exemple n°1 : schéma de Bernoulli ou non ?

Une urne contient 3 boules rouges et deux boules vertes. On tire successivement, sans remise, deux boules. Est-ce un schéma de Bernoulli ? Justifier.

…...

...

... NON

Une urne contient 3 boules rouges et deux boules vertes. On tire successivement, avec remise, deux boules. Est-ce un schéma de Bernoulli ? Justifier.

…...

...

... OUI

Propriété n°1

Dans un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences identiques et

indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultats.

Exemple n°2 : Utiliser la loi binomiale.

Une urne contient 3 boules rouges et deux boules vertes. On tire successivement, avec remise, deux boules.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

…...

...

...………...

…...

...

...………...

…...

...

...………...

…...

...

9/25

Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule verte ?

…...

...

...………...

…...

...

…...

...…

12/25

(5)

Exercice n°1

Une expérience aléatoire a pour probabilité p d'être un succès.

1. On répète cette expérience aléatoire deux fois, de façon indépendante.

a. Calculer la probabilité d'avoir deux succès, en fonction de p.

b. Calculer la probabilité d'avoir un succès, en fonction de p.

c. Calculer la probabilité de ne pas avoir de succès, en fonction de p.

2. On répète cette expérience aléatoire trois fois, de façon indépendante.

a. Calculer la probabilité d'avoir deux succès, en fonction de p.

b. Calculer la probabilité d'avoir un succès, en fonction de p.

c. Calculer la probabilité de ne pas avoir de succès, en fonction de p.

Activité d'approche n°2

On reprend l'activité n°1, partie I, mais en faisant quatre tirages au lieu de deux :

1. On s'intéresse à la probabilité de tirer 3 boules vertes : a. Combien de chemins possibles permettent d'obtenir 3 boules vertes ? …...

On note

(

ⁿ^k

)

le nombre de chemins possibles pour k succès parmi n tirages. Comment note-t-on le nombre de chemins ici ?

...…...…..

...………..

...….

b. Que peut-on dire des produits des probabilités de chaque chemin ?

…...

c. Combien de chemins possibles permettent d'obtenir 1 boule verte ? …...

d. Déduire de ce qui précède une égalité.

...

2.

a. À quoi correspond

(

³²

)

^?

...……….

...….

b. Exprimer

(

³⁴

)

en fonction de

(

³²

)

^et

(

³³

)

^.

...…..

...….

...…..

...….

...…..

...….

V

R

V

R

V

R

1 3 2 3

2 3

1 3

V

V R

R

2 3

2 3 1 3

1 3

V V R R V V R R V V R R V V R R

2 3

2 3 1 3 1 3

1 3

(6)

Cours n°2

III) Coefficients binomiaux et loi binomiale Définition n°3 : coefficient binomiaux

On appelle coefficient binomial

(

ⁿ^k

)

le nombre de chemins correspondants à k

succès parmi n répétitions d'un schéma de Bernoulli.

Exemple n°3

(

³²

)

Représente le nombre de chemins possibles pour …. succès parmi … Ce qui donne ….. 3

La probabilité d'obtenir k succès parmi n répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p est donnée par

(

ⁿ^k

)

^p^k^{(1 –}^p)^n-k^.

Pour pouvoir utiliser cette relation, il faut que la règle des 3 « I » soit respectée : une épreuve à

→ deux Issues.

le succès ou l’échec d’une épreuve ne doit pas influencer la probabilité de

→

l’épreuve suivante : Indépendance.

chaque épreuve doit être

→ Identique.

Exemple n°4

Dans une urne contenant 7 boules vertes et 3 boules bleues, la probabilité de tirer 3 fois une boule verte en effectuant 5 tirages est donnée par :

…...

...

...………

(

⁵³

)

^(0,7)³^(0,3)²

Les relations suivantes entre les coefficients binomiaux permettent de les calculer de proche en proche :

1.

(

ⁿ⁰

)

^{= 1,}

(

ⁿ¹

)

^{= n,}

(

ⁿⁿ

)

^{= 1}

2.

(

ⁿ^k

)

⁼

⁽

^n−kⁿ

⁾

3.

(

ⁿ^k

)

⁺

(

^kⁿ⁺¹

)

⁼

⁽

ⁿ^k⁺¹⁺¹

⁾

Ceci correspond au « triangle de Pascal » :

(7)

n=0 : 1 n=1 : 1 1 n=2 : 1 2 1 n=3 : 1 3 3 1 n=4 : 1 4 6 4 1 n=5 : 1 5 10 10 5 1 etc.

Exemple n°5

Calculer

(

⁶⁴

)

n=0 : 1 n=1 : 1 1 n=2 : 1 2 1 n=3 : 1 3 3 1 n=4 : 1 4 6 4 1 n=5 : 1 5 10 10 5 1 n=6 : 1 … …. ….. … …. …..

Donc

(

⁶⁴

)

^{=… 15}

Propriété n°4 : Utilisation de la calculatrice pour calculer les coefficients binomiaux :

Exemple n°6 :

Utiliser la calculatrice pour calculer

(

⁹⁷

)

: …...36

Cours n°3

IV) Espérance et variance de la loi binomiale Propriété n°5

L'espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est n×^p^{. Sa}

variance est np(1 – p).

(8)

Utilisation de la calculatrice :

Cours n°4

1) P(X ≤ k)=P(X=0)+P(X=1)+..+P(X=k) 2) P(X ≤ k)= 1 – P(X….k)

Pour la calculatrice : voir ci-dessus.

(9)

Indices et résultats

Act.1 : P.I : a. un seul chemin... b. 2 9 ^c.

4 9 2. × 3.A: 9

64 ^{B :} 25 64 ^{C :}

15 64 P.II : 1.P(X=0)= 1

16;P(X=1)= 6

16;P(X=2)= 9 16 2.b. 81

256× 1

16 ^{c. 15 d.}

1215 4096

Ex.1 : 1a. p² 1b. 2p(1-p) 1c. (1–p)² 2a. 3p²(1–p) 2b.3p(1–p)²

Act.2 : 1a. 4

(

³⁴

)

^1b. ⁸¹⁸ ^1c.⁴^1d.

(

³⁴

)

⁼

(

⁴¹

)

2a. Au nb de chemins si on a trois tirages et …. 2b.

(

³²

)

^=3,

(

³³

)

^=1...