ASPECTS G´EOM´ETRIQUES ET ARITHM´ETIQUES DES COURBES ELLIPTIQUES
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VERSION DU 20 OCTOBRE 2008
OLIVIER DEBARRE
Table des mati`eres
1. Equations de Weierstrass et loi de groupe (V. Brault—13´
octobre) 2
2. Plan projectif et r´eduction `a la forme de Weierstrass (M.
Costa—13 octobre) 3
3. Courbes alg´ebriques planes (T. Lupu—20 octobre) 3 4. Associativit´e de la loi de groupe I (F. Ben Aribi—20
octobre) 3
5. Associativit´e de la loi de groupe II (R. Boutonnet—27
octobre) 3
6. L’invariant j (M. Ulrich—27 octobre) 3
7. Endomorphismes des courbes elliptiques (H. Leman—3
novembre) 4
8. Points d’ordre fini (J. Daniel—3 novembre) 4 9. Courbes elliptiques sur les corps finis (Z. Tong—17
novembre) 4
10. Structure des groupes ab´eliens de type fini (T. Roussel—17
novembre) 4
11. Accouplement de Weil ( —24 novembre) 5
12. Th´eor`eme de Hasse ( —24 novembre) 5 13. Th´eor`eme de Nagell-Lutz, I ( —1er d´ecembre) 5 14. Th´eor`eme de Nagell-Lutz, II ( —1er d´ecembre) 5 15. Exemples de calcul du sous-groupe de torsion de E(Q) (
—8 d´ecembre) 5
16. Exemples de calcul deE(Q) ( —8 d´ecembre) 5 17. Th´eor`eme de Mordell faible, I ( —15 d´ecembre) 6 18. Th´eor`eme de Mordell faible, II ( —15 d´ecembre) 6
19. Hauteur canonique, I ( —5 janvier) 6
20. Hauteur canonique, II ( —5 janvier) 6
1
21. Th´eor`eme de Mordell ( —19 janvier) 6
R´ef´erences 6
El`´ eves int´eress´es : J. Bureaux, S. Rideau, N. Fran¸cois, G. Lucchini Servetto, L. Fu, L. Wang, J. Xie, M. Fathi, Y. Lu, O. Bernard, (P.
Tarrago), (G. Thomas)
L’´etude des courbes elliptiques pr´esente des aspects `a la fois analy- tiques, g´eom´etriques, arithm´etiques et cryptographiques.
Les aspects analytiques seront abord´es dans le coursAnalyse com- plexe et harmonique, de L. Saint-Raymond au second semestre (il faut d’abord d´evelopper la th´eorie des fonctions holomorphes et m´ero- morphes). Les aspects cryptographiques rel`event du cours Th´eorie algorithmique des nombres de G. Hanrot, aussi au second semestre.
Ce groupe de lecture se propose de d´ecouvrir de faon ´el´ementaire les aspects g´eom´etriques et arithm´etiques. Le sujet g´en´eral sera donc d’´etudier les solutions, par exemple dans l’anneau Z, dans les corps Q ou C, ou dans les corps finis, d’une ´equation f(x, y) = 0, o`u f est un polynˆome de degr´e 3 `a deux variables. La courbe du plan d´efinie par une ´equation de ce type s’appelle une courbe elliptique (mais ce n’est pas une ellipse !).
En g´en´eral, nous essaierons de suivre [W] (ne pas h´esiter `a inclure certains des exercices), mais je vous encourage `a parcourir les autres ouvrages cit´es dans la biliographie, qui ont des points de vue parfois diff´erents, donc enrichissants. En particulier, [ST] est relativement in- formel et facile `a lire.
1. Equations de Weierstrass et loi de groupe (V.´ Brault—13 octobre)
On suit [W], § 2.1, qui pr´esente l’objet principal que nous allons
´
etudier : les courbes planes donn´ees par une ´equation du type y2 =x3 +ax+b
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a coefficients a et b dans un corps quelconque k. Lorsque k est de caract´eristique 2 ou 3, il faut permettre des ´equations un peu plus compliqu´ees.
On explique ensuite le fait essentiel que l’ensemble des points de la courbe admet une structure de groupe ([W], § 2.2 ; s’arrˆeter apr`es l’exemple 2.1). On montrera le point difficile, l’associativit´e, plus tard.
2. Plan projectif et r´eduction `a la forme de Weierstrass (M. Costa—13 octobre)
En suivant [W], §2.3, on d´efinit le plan projectif, qui justifie l’usage du point ∞ sur la courbe. On fera ensuite une incursion dans [ST], pp. 22-24, pour expliquer comment on r´eduit une cubique quelconque
`
a une forme de Weierstrass (faire l’exemple u3+v3 = 1). On utilise ici le langage projectif.
3. Courbes alg´ebriques planes (T. Lupu—20 octobre) On suit ensuite le d´ebut de [W],§ 2.4, pour parler de courbes alg´e- briques planes (d´efinies dans le plan projectif par l’annulation d’un polynˆome homog`ene en trois variables) et de leur intersection avec une droite. Pour celles qui sont non-singuli`eres (ou lisses), on d´efinit la tangente en chaque point.
4. Associativit´e de la loi de groupe I (F. Ben Aribi—20 octobre)
Le r´esultat central est [W], Theorem 2.6. La preuve est assez longue et technique. Essayer de rendre ¸ca pas trop r´ebarbatif.
5. Associativit´e de la loi de groupe II (R. Boutonnet—27 octobre)
On expliquera la d´emonstration de l’associativit´e selon le point de vue (plus g´eom´etrique) de [H], V.1 (qui ne fait pas tous les d´etails de la d´emonstration). On expliquera, en revenant `a [W], § 2.4.1, les th´eor`emes classiques de Pappus et Pascal en g´eom´etrie plane.
6. L’invariant j (M. Ulrich—27 octobre)
La forme de Weierstrass n’est pas unique : les transformations lin´eaires du type (x, y)7→ (µ2, µ3y) envoient une telle forme sur une autre. On concocte, `a l’aide des coefficients, un ´el´ement j de k qui, lui, reste invariant par ces transformations. Deux courbes elliptiques sont iso- morphes sur une clˆoture alg´ebrique de k si et seulement si elles ont le mˆeme invariantj. On suivra [W],§2.6.
Expliquer ce qui se passe lorsque la caract´eristique de k est 3 ([W], Exercice 2.13) ou 2 ([W], § 2.7).
7. Endomorphismes des courbes elliptiques (H. Leman—3 novembre)
Ce sont les morphismes de groupes E → E de la forme (x, y) 7→
(R1(x, y), R2(x, y)), o`uR1 etR2 sont des fractions rationnelles `a coef- ficients dans k.
On d´efinit le degr´e d’un tel endomorphisme, ainsi que la notion de s´eparabilit´e. Le r´esultat essentiel est que le cardinal du noyau d’un endomorphisme est toujours inf´erieur `a son degr´e, avec ´egalit´e si et seulement si l’endomorphisme est s´eparable ([W], Proposition 2.20).
On suit [W], § 2.8 (sauf Lemma 2.19 et Proposition 2.28).
8. Points d’ordre fini (J. Daniel—3 novembre)
On dit aussi points de torsion. On suit [W],§3.1, qui commence par calculer le groupe des points de 2, puis 3-torsion. Le cas g´en´eral est assez calculatoire. On d´emontrera [W], Theorem 3.1, o`u le groupe des points de n-torsion est calcul´e, mais on sera oblig´e d’admettre la formule qui donne les coordonn´ees de nP ([W], Theorem 3.6).
9. Courbes elliptiques sur les corps finis (Z. Tong—17 novembre)
Quelques pr´eliminaires sur les corps finis (ils sont suppos´es connus dans [W], donc il faut aller chercher ailleurs ; pas la peine de trop en faire, la construction et la d´efinition de l’endomorphisme de Frobenius devraient suffire).
On suit [W], Ch. 4, qui commence par quelques exemples (qui per- mettront aussi de se familiariser avec les calculs dans les corps finis).
On d´etermination ensuite, pour une courbe elliptique E sur un corps fini Fq, le groupe (fini) E(Fq) ([W], Theorem 4.1, qui r´esulte de l’ex- pos´e pr´ec´edent ainsi que d’un r´esultat de structure des groupes ab´eliens finis qui sera d´emontr´e dans l’expos´e suivant). Penser `a faire ici [W], Lemma 2.19.
10. Structure des groupes ab´eliens de type fini (T.
Roussel—17 novembre)
On d´emontre qu’un groupe ab´elien engendr´e par une partie finie est isomorphe `aZr⊕Z/d1Z⊕ · · · ⊕Z/dsZ, avec d1 | · · · |ds o`u les entiers positifsr, d1, . . . , ds sont uniquement d´etermin´es. La d´emonstration ne se trouve pas dans [W].
11. Accouplement de Weil ( —24 novembre)
Il s’agit de construire une forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee sur le groupe E[n] des points de n-torsion d’une courbe elliptique E, `a va- leurs dans le groupe des racinesni`emes de l’unit´e. On suivra [W], §3.3 (y compris l’exercice 3.2).
12. Th´eor`eme de Hasse ( —24 novembre)
Ce th´eor`eme donne une estimation du nombre de points d’une courbe elliptique E sur un corps fini Fq :
|q+ 1−CardE(Fq)| ≤2√ q.
C’est [W], Theorem 4.2, d´emontr´e dans§4.2. On fera toute cette section (sauf Theorem 4.10 et Proposition 4.11), puis§4.3.1 et, s’il y a le temps,
§4.3.2 et les exemples de §4.3.3.
13. Th´eor`eme de Nagell-Lutz, I ( —1er d´ecembre) 14. Th´eor`eme de Nagell-Lutz, II ( —1er d´ecembre) On se donne une courbe elliptiqueE d´efinie sur Qpar une ´equation de Weierstrass `a coefficients entiers. Le Th´eor`eme de Nagell-Lutz dit que chaque point de torsion est `a coordonn´ees enti`eres (x, y), et que soit y= 0, soit y2 divise le discriminant de E. En particulier,E(Q)tors est un groupe fini.
On suivra [W], §8.1, qu’on traitera jusqu’`a Corollary 8.8 inclus.
15. Exemples de calcul du sous-groupe de torsion de E(Q) ( —8 d´ecembre)
On suivra [W],§8.1, apr`es Corollary 8.8, qui consiste essentiellement en des exemples. S’il y a le temps, on peut mentionner le th´eor`eme de Mazur (Theorem 8.11) et faire (une partie de) l’exercice 8.1, p. 244.
16. Exemples de calcul de E(Q) ( —8 d´ecembre) On calcule le groupe des points rationnels de la courbe elliptique y2 = x(x− 2)(x + 2), en suivant [W], Example 8.5. Il y a d’autres exemples dans §8.4.
17. Th´eor`eme de Mordell faible, I ( —15 d´ecembre) 18. Th´eor`eme de Mordell faible, II ( —15 d´ecembre) On se donne une courbe elliptiqueEd´efinie surQ(on suppose aussi, pour simplifier, que son ´equation s’´ecrit y2 = (x−e1)(x−e2)(x−e3), avec ei ∈ Z). Le Th´eor`eme de Mordell faible dit que E(Q)/2E(Q) est fini (cela n’entraˆıne pas que E(Q) est de type fini : par exemple, R/2R= 0 !).
On couvrira, dans [W],§8.2, Proposition 8.13, Theorem 8.14 et Theo- rem 8.15.
19. Hauteur canonique, I ( —5 janvier) 20. Hauteur canonique, II ( —5 janvier)
On d´efinit une fonction tr`es simple h : E(Q) → R+ (la hauteur logarithmique) et il s’agit de montrer qu’elle v´erifie Proposition 8.19 de [W], elle-mˆeme la conjonction des in´egalit´es (8.7) et (8.8) de la page 210. Chaque in´egalit´e fait un expos´e.
21. Th´eor`eme de Mordell ( —19 janvier)
Le Th´eor`eme de Mordell dit que le groupeE(Q) est de type fini. Il se d´eduit des r´esultats pr´ec´edents, en suivant [W], §8.3, p. 208.
R´ef´erences
[C] Cassels, J. W. S., Lectures on elliptic curves. London Mathematical Society Student Texts 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
[E] Ekedahl, T., One semester of elliptic curves.EMS Series of Lectures in Ma- thematics, Zrich, 2006.
[H] Hindry, M.,Arithm´etique.Calvage & Mounet, Paris, 2008.
[Hu] Husem¨oller, D., Elliptic curves. Second edition. With appendices by Otto Forster, Ruth Lawrence and Stefan Theisen. Graduate Texts in Mathematics 111. Springer-Verlag, New York, 2004.
[K] Knapp, A. W.,Elliptic curves. Mathematical Notes 40. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.
[M] Milne, J. S.,Elliptic curves.BookSurge Publishers, Charleston, SC, 2006.
[ST] Silverman, J. H., Tate, J.,Rational points on elliptic curves. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1992.
[W] Washington, L. C.,Elliptic curves. Number theory and cryptography.Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2003.
DMA – ENS
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