Correction du devoir de Math´ematiques n
◦7
Exercice 1
1. FAUX : Si u0 = 1 et u1 = 2 alorsv0 =−2 etv1 =−1 et v0< v1. 2. FAUX : Si un= 1
n+ 1 (convergente vers 0) alorsvn=−2(n+ 1) (divergente vers−∞).
3. VRAI : Si 26un alors 1 2 > 1
un
et−16 −2 un
=vn.
4. FAUX : Si un= (−1)n (divergente) alors vn=−2(−1)n (divergente).
5. VRAI : Si (vn) converge vers 0 alors|un|= 2
|vn| diverge vers +∞donc (un) ne peut ˆetre convergente.
Exercice 2
Partie A
1. La fonctionf est d´erivable comme compos´ee, quotient et somme de fonctions d´erivables sur ]−1 ; +∞[.
On a :
f′(x) = 1−
1
1+x ×(1 +x)−ln(1 +x)×1
(1 +x)2 = 1−1−ln(1 +x)
(1 +x)2 = (1 +x)2−1 + ln(x+ 1) (1 +x)2
2. On a N(x) = (1 +x)2−1 + ln(1 +x). La fonction N est d´erivable sur ]−1 ; +∞[ comme somme et compos´ee de fonctions d´erivables.
On a :
N′(x) = 2(1 +x) + 1
1 +x = 2(1 +x)2+ 1 1 +x
Commex appartient `a ]−1 ; +∞[, 1 +x >0 et par cons´equent,N(x)>0. On en d´eduit queN est croissante sur ]−1 ; +∞[.
N(0) = 0 donc N(x)<0 pourx∈]−1 ; 0[ etN(x)>0 pourx >0.
De plusf′(x) = N(x)
(1 +x)2 est du signe du num´erateurN(x) car (1 +x)2 >0 pour toutx.
Par cons´equent,f′(x)<0 pourx∈ ]−1 ; 0[, f′(0) = 0 et f′(x)>0 pour x >0.
On en d´eduit le tableau de variations de la fonctionf :
x −1 0 +∞
f′(x) − 0 +
f(x) ց ր
0
3. Pour avoir les coordonn´ees du point d’intersection de D et deC, on r´esout l’´equation f(x) =x.
f(x) =x⇔ −ln(1 +x)
1 +x = 0⇔ln(1 +x) = 0⇔1 +x= 1⇔x= 0.
Commef(0) = 0, D etC se coupent `a l’origine du rep`ere.
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Correction du devoir de Math´ematiques n◦7
Partie B
1. La fonctionf est croissante sur l’intervalle [0 ; 4] donc pour toutxde [0 ; 4], 0 =f(0)6f(x)6f(4) de plus f(4) = 4−ln 5
5 <4 donc f(x)∈[0 ; 4].
2. (a)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1 0 1 2 3 4 5
1 1
O x
y
C D
u0
u1
u2
u3
(b) D´emontrons par r´ecurrence que pour tout n∈N,un∈[0 ; 4].
– Initialisation : u0 = 4∈[0 ; 4] donc la propri´et´e est vraie au rangn= 0.
– H´er´edit´e : supposons queun∈[0 ; 4] pour un entiern. Alorsun+1 =f(un)∈[0 ; 4] d’apr`es 1.
– Conclusion : la propri´et´e est vraie au rang 0 et est h´er´editaire donc d’apr`es l’axiome de r´ecur- rence elle est vraie pour toutn∈N.
Par cons´equent,un∈[0 ; 4] pour toutn∈N.
(c) Pour tout n∈N on a un+1−un =f(un)−un =un−ln(1 +un) 1 +un
−un =−ln(1 +un) 1 +un
60 car 1 +un>1 d’o`u ln(1 +un)>0.
Par cons´equent, la suite (un) est d´ecroisssante.
(d) La suite (un) est d´ecroissante et minor´ee par 0, d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, elle converge vers un r´eel l.
(e) On a un+1 =f(un), commef est continue on obtient par passage `a la limite quel=f(l), on en d´eduit d’apr`es la question A.3. quel= 0.
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