Correction du devoir maison de math´ematiques n
◦2
Exercice 1
O I
J Cf
Cg
L’ensemble des solutions de l’´equation f(x) =g(x) est :
S ={−2; 1; 2}
L’ensemble des solutions de l’in´equa- tion f(x)> g(x) est :
S =]− ∞;−2[∪]1; 2[
Exercice 2
x 0 π3 π2 56π π
1
ր ց
sinx
√3 2
1 2
ր ց
0 0
On a √23 > 12 , on en d´eduit que 12 <sinx <1 pour π3 < x < 5π6 .
Exercice 3
1. Apr`es avoir factoris´e le d´enominateur, on obtient : f(x) = 2x+ 1
2(x+12)(x−3) On a doncDf = ]− ∞;−12[∪ ]−12; 3[∪ ]3; +∞[.
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2. Apr`es avoir factoris´e le trinˆome, on obtient : g(x) =p
(x+ 2)(x−1)
Le trinˆome est de signe positif `a l’ext´erieur des racines doncDg = ]− ∞;−2]∪[1; +∞[.
3. On commence par ´etudier le signe de la fraction 1+1 x
−x :
x −1 1
1 +x − 0 + | +
1−x + | + 0 −
1+x
1−x − 0 + || −
On obtient donc :Dh= [−1; 1[.
Exercice 4
1.
g◦f(x) =p
(2x+ 3)2−1 =p
4x2+ 12x+ 8 = 2p
x2+ 3x+ 2
2. La fonction g◦f est d´efinie pour x2 + 3x+ 2 > 0. Or x2+ 3x+ 2 = (x+ 1)(x+ 2), le trinˆome est positif `a l’ext´erieur des racines donc Dg◦f = ]− ∞;−2]∪[−1; +∞[ .
Probl` eme
1. On a Df =R etDg =R\{1}.
2. La fonctionf peut se mettre sous la forme canoniquef(x) = (x−12)2+(−214 ) , son tableau de variations est donc :
x −∞ 12 +∞
f(x) ց ր
−214
3. On peut d´ecomposer la fonction g sous la formeg=v◦u avec u(x) =x−1 etv(x) = x1. On obtient alors le tableau de variations de la fonctiong par composition :
x −∞ 1 +∞
ր
u(x) 0
ր
x −∞ 0 +∞
v(x) ց || ց
x −∞ 1 +∞
g(x) ց || ց
4. La fonction g◦f est d´efinie pour f(x) 6= 1 , les valeurs interdites sont les solutions de l’´equation x2−x−5 = 1 soitx2−x−6 = 0 dont les solutions sont−2 et 3.
On a doncDg◦f =R\{−2; 3} = ]− ∞;−2[∪]−2; 3[∪ ]3; +∞[ .
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5. On obtient le tableau de variations de la fonctiong◦f par composition :
x −∞ −2 12 3 +∞
ց ր
f(x) 1 1
ց ր
−214
x −∞ 1 +∞
g(x) ց || ց
x −∞ −2 12 3 +∞
−254
g◦f(x) ր ր ց ց
Exercice 5
1. On utilise la 2π-p´eriodicit´e de la fonction sinus : f(x+ 2) = sin(π(x+ 2) + π
6) = sin(πx+ 2π+π
6) = sin(πx+ π
6) =f(x) La fonction f est donc 2-p´eriodique.
2. On utilise la 2-p´eriodicit´e de la fonction f :
f(123456789) =f(61728394×2 + 1) =f(1) = sin(7π
6 ) =−1 2
Exercice 6
Il faut montrer que :
φ(h) = f(1−h) +f(1 +h)
2 = 4
φ(h) = (1−h)3−3(1−h)2+ 6 + (1 +h)3−3(1 +h)2+ 6 2
φ(h) = 1−3h+ 3h2−h3−3 + 6h−3h2+ 6 + 1 + 3h+ 3h2+h3−3−6h−3h2+ 6 2
φ(h) = 4
Exercice 7
La fonction inverse est d´ecroissante sur R∗+ :
si x6y alors 1 x > 1
y La moyenne de x1 et y1 est m1 et on a donc :
1 x > 1
m > 1 y
En utilisant `a nouveau la d´ecroissance de la fonction inverse surR∗+, on obtient : x6m6y
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