Correction du devoir maison de math´ematiques n
◦5
Exercice 1
On fait apparaˆıtre un multiple de 2π pour se ramener `a une valeur dans l’intervalle ]−π;π] :
15π
2 = 16π
2 −π
2 = 4×2π−π
2 = −π
2[2π]
34π
7 = 28π
7 +6π
7 = 2×2π+6π
7 = 6π
7 [2π]
−65π
3 = −66π
3 + π
3 = −11×2π+π
3 = π
3[2π]
−73π
6 = −72π
6 − π
6 = −6×2π− π
6 = −π
6[2π]
2007π
5 = 2010π
5 −3π
5 = 201×2π−3π
5 = −3π 5 [2π]
−5π 3 = π
3[2π] cos(−5π 3 ) = 1
2 sin(−5π
3 ) =
√3 2 7π
4 =−π
4[2π] cos(7π 4 ) =
√2
2 sin(7π
4 ) =−
√2 2 19π
6 =−5π
6 [2π] cos(19π 6 ) =−
√3
2 sin(19π
6 ) =−1 2
Exercice 2
On utilise les sym´etries du cercle trigonom´etrique :
O
O II
J
x
x+5π
cos(5π+x) =−cos(x)
O
O II
J
x
x+3π
2
sin(3π2 +x) =−cos(x)
O
O II
J
x
−x
−x+3π
cos(3π−x) =−cos(x)
O
O II
J
x
−x
−x+5π
2
sin(5π2 −x) = cos(x)
1/3
Correction du devoir maison de math´ematiques n◦5
Exercice 3
On utilise des tableaux de variations : cosx=−
√3
2 ; x∈[π 2;3π
2 ] x π2 5π6 π 7π6 3π2
0 0
ր
cosx −√23 −√23
ց
−1 S ={5π
6 ;7π 6 }
−1
2 <sinx <
√3
2 ; x∈[−π 2;π
2] x −π2 −π6
π 3
π 2
1
√ ր
3 2
sinx
−12
−1 S=]−π
6;π 3[
Exercice 4
On poseX= cosx etY = sinx ,
L1 : 2Y −4X = √ 3 + 2 L2 : Y +√
3X = 0
L1−2L2 : (−4−2√
3)X = √
3 + 2
L2 : Y = −√
3X
X =
√3 + 2
−4−2√ 3 =
√3 + 2
−2(2 +√
3) =−1 2
Y = −√
3×(−1 2) =
√3 2 Doncx= 2π
3 .
Exercice 5
1. On utilise les formules x=rcosθ ety=rsinθ.
A(2 cos(3π
2 ); 2 sin(3π
2 )) = A(0;−2) B(2 cos(−π
4); 2 sin(−π
4)) = B(√ 2;−√
2)
C(1
2cos(11π 6 );1
2sin(11π
6 )) = C(
√3 4 ;−1
4) 2. On utilise la formule r=p
x2+y2 puis on factorise parr pour trouver l’angle θ.
D(3√ 2×
√2 2 ; 3√
2×(−
√2
2 )) donc D(3√ 2;−π
4) E(−1
2;
√3
2 ) donc E(1;2π
3 ) F(2×
√3 2 ; 2×1
2) donc F(2;π
6) 2/3
Correction du devoir maison de math´ematiques n◦5
Exercice 6
A B
C
−π2 π 3
En utilisant la relation de Chasles :
(−→CA,−−→CB) = (−→CA,−−→BA) + (−−→BA,−−→CB) [2π]
Or (−→u ,−→v) = (−−→u ,−−→v) [2π] et (−→u ,−→v) = (−−→u ,−→v) +π [2π] , donc : (−→CA,−−→CB) = (−→AC,−−→AB) + (−−→BA,−−→BC) +π [2π]
Et finalement :
(−→CA,−−→CB) = π 2 + π
3 +π [2π] =−π 6 [2π]
Exercice 7*
D’apr`es l’exercice pr´ec´edent : (−→CA,−−→CB) = (−→AC,−−→AB) + (−−→BA,−−→BC) +π [2π] . Donc : (−→CA,−−→
CB) =−(−−→AB,−→
AC)−(−−→BC,−−→
BA) +π [2π] .
En conclusion, pour tout triangleABC : (−−→AB,−→AC) + (−−→BC,−−→BA) + (−→CA,−−→CB) =π [2π] .
Exercice 8*
1. r = 3 , l’ensemble des points M est le cercle de centreO et de rayon 3.
2. θ= π3 [2π] , l’ensemble des points M est une demi-droite d’origine O faisant un angle de π3 avec l’axe des abscisses (O,−→i).
3. rcosθ= 3 , l’ensemble des points M est la droite d’´equation x= 3 en coordonn´ees cart´esiennes.
Exercice 9**
L’´equation de ce cercle en coordonn´ees cart´esiennes est :
IM2 = 1 soit (x−1)2+y2 = 1 D’o`u en coordonn´ees polaires :
(rcosθ−1)2+ (rsinθ)2 = 1 r2cos2θ−2rcosθ+ 1 +r2sin2θ = 1 r2(cos2θ+ sin2θ)−2rcosθ = 0 r2−2rcosθ = 0 r(r−2 cosθ) = 0
r−2 cosθ = 0 (Le point O est toujours solution)
Exercice 10**
A B
O
On construit dans un premier temps sur la m´ediatrice du segment [AB] le point O verifiant (−→OA,−−→OB) = 2×(−π6) [2π] =−π3 [2π].
En raison du th´eor`eme de l’angle inscrit, l’ensemble des points M cherch´es est la portion du cercle de centreO passant par les pointsA etB situ´ee du cˆot´e du pointO par rapport `a la droite (AB).
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