Correction du devoir maison de math´ematiques n
◦3
Exercice 1
A B B M
I J
H
1. Le triangle ABI est inscrit dans un cercle dont son cˆot´e [AB] est un diam`etre donc il est rectangle enI. De mˆeme, le triangleABJ est rectangle enJ donc les droites (AJ) et (BI) sont deux hauteurs du triangleABM, leur point d’intersection H est donc l’orthocentre du triangle ABM.
2. La droite (H M) est donc une hauteur du triangle ABM et elle est donc perpendiculaire
`
a la droite (AB).
Exercice 2
O I
A B
C D
A′
B′
C′
D′ A′′
B′′
C′′
D′′
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Exercice 3
A B
C D
O I
J
1. CommeOest le centre du parall´elogrammeABC D, on a OA=OC. De plusAOI[ =C OJ[ car ce sont des angles oppos´es par le sommet. Comme AI O[ =C J O[ = 90◦, la somme des mesures des angles d’un triangle ´etant ´egale `a 180◦, on a ´egalementOAI[=OC J[. D’apr`es la propri´et´e de caract´erisation, les trianglesOAI etOC J sont donc isom´etriques.
2. On en d´eduit queOI =OJ etO est donc le milieu de [I J].
Exercice 4
A B
C D
E
F G
1. \ABG=\ABC+ 90◦ =DBC\.
2. On a \ABG=DBC\,AB=BD etBC=BG donc d’apr`es la propri´et´e de caract´erisation, les trianglesABG etBC Dsont isom´etriques.
3. On en d´eduit queAG=C D.
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Exercice 5 *
A
B C
M
N P
L’id´ee est de montrer que les triangles AC M,BC N etBC P sont isom´etriques, en effet : C M =BC =BC,AC =C N =BP etM C A\ =BC N\ =\C BP.
On en d´eduit que AM =BN =C P.
Exercice 6 **
A B
C D
O M
N
En remarquant que \OAD =OM D\ = 90◦ et que OA =OM, on obtient en appliquant le th´eor`eme de Pythagore queAD=DM (les trianglesAOD etDOM sont donc isom´etriques).
En remarquant que DM N\ =DC N\ = 90◦ et queDM =DC, on obtient en appliquant le th´eor`eme de Pythagore queM N =C N (les trianglesDM N etDC N sont donc isom´etriques).
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Exercice 7 **
A B
C
N M
P I
Les triangles AI P etC I N sont isom´etriques, en effet :
– AI =C I (dans un triangle rectangle, la longueur de la m´ediane issue de l’angle droit est
´egale `a la moiti´e de la longueur de l’hypot´enuse).
– AP =C N (le triangle C M N est rectangle isoc`ele doncC N =N M).
– I AP[ =I C N[ = 45◦ On en d´eduit que I N =I P.
On remarque queC I N[ +AI N[ = 90◦ et que C I N[ =AI P[. On a alorsM I P\=AI N[ +AI P[ =AI N[ +C I N[ = 90◦. Le triangle I N P est donc rectangle isoc`ele en I.
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