Etuded’unprobl`emeelliptiquecoupl´e A N EDP ´ Notesdecoursmanuscritesautoris´ees-Dur´ee:4h MASTERMath´ematiques2`emeann´ee,2008-2009,Marseille.Sp´ecialit´eEDPetCalculScientifique.

MASTER Math´ematiques 2`eme ann´ee, 2008-2009, Marseille.

Sp´ecialit´e EDP et Calcul Scientifique.

Notes de cours manuscrites autoris ´ees - Dur´ee : 4h

A NALYSE N UM _{ERIQUE DES} ´ EDP

Etude d’un probl `eme elliptique coupl ´e

SoitΩun ouvert born´e r´egulier et connexe deR²dont on notenla normale unitaire sortante. On se donne une fonctionf ∈L²(Ω). On s’int´eresse dans ce probl`eme `a la r´esolution du probl`eme elliptique coupl´e suivant :

( ϕ−∆µ=f, dansΩ,

−µ−∆ϕ= 0, dansΩ, (1)

pour lequel on consid´erera plusieurs types de conditions aux limites.

Notations :

On d´efinit la moyenne surΩde toute fonction int´egrableupar la formule m(u) = 1

|Ω|

Z

Ω

u(x)dx,

o`u|Ω|d´esigne la mesure de Lebesgue deΩ.

On rappelle queH0¹(Ω)est l’ensemble des ´el´ements deH¹(Ω)dont la trace est nulle au bord. On notera aussi H_m¹(Ω)l’ensemble des ´el´ements deu∈H¹(Ω)dont la moyennem(u)est nulle.

Partie I- Pr´eliminaire : une in´egalit´e de Poincar´e-moyenne : Soit une fonctionθ∈L¹(Ω)telle quem(θ) = 1.

D´emontrer qu’il existe une constanteC_θ >0qui d´epend deΩet deθtelle que

∀u∈H¹(Ω), kuk_L2 ≤C_θ(k∇uk_L2+|m(uθ)|). (2) On pourra mettre en place un raisonnement par l’absurde.

Partie II- Conditions aux limites de Neumann :

On s’int´eresse dans cette partie au probl`eme (1) auquel on ajoute des conditions aux limites de Neumann

suivantes 





∂ϕ

∂n = 0, sur∂Ω,

∂µ

∂n = 0, sur∂Ω.

(3)

On propose la formulation variationnelle suivante du probl `eme (1)-(3) : Trouver(ϕ, µ) ∈H¹(Ω)×H¹(Ω) tel que

Z

Ω

ϕν dx+ Z

Ω

∇µ· ∇ν dx− Z

Ω

µψ dx+ Z

Ω

∇ϕ· ∇ψ dx

= Z

Ω

f ν dx, ∀(ψ, ν)∈H¹(Ω)×H¹(Ω). (4) 1. D´emontrer que le probl`eme (4) est ´equivalent `a : Trouver(ϕ, µ)∈H¹(Ω)×H¹(Ω)tel que







 Z

Ω

ϕν dx+ Z

Ω

∇µ· ∇ν dx= Z

Ω

f ν dx, ∀ν∈H¹(Ω),

− Z

Ω

µψ dx+ Z

Ω

∇ϕ· ∇ψ dx= 0, ∀ψ∈H¹(Ω).

2. En choisissant convenablement les fonctions testsψetν, montrer que si(ϕ, µ) ∈H¹(Ω)×H¹(Ω)est solution de (4), alors :

(a) ϕetµv´erifient les ´equations (1) au sens des distributions.

(b) ϕetµv´erifient les conditions aux limites (3) en un sens `a pr´eciser..

(c) on am(ϕ) =m(f)etm(µ) = 0.

3. D´emontrer que si (ϕ, µ) ∈ H¹(Ω)×H¹(Ω)est solution de (4) pour la donn´ee f = 0, alors on a

∇ϕ=∇µ= 0. En d´eduire qu’alorsϕ= 0etµ= 0.

4. D´emontrer que sif ∈L²(Ω)est quelconque, alors le probl`eme (4) admet au plus une solution(ϕ, µ).

5. On veut maintenant montrer que, pour toutf ∈L²(Ω), le probl`eme (4) admet en effet une solution.

Pour cela, on introduit un nouveau probl`eme variationnel : Trouver(ϕ,e µ)e ∈H_m¹(Ω)×H_m¹(Ω)tel que Z

Ω

e ϕν dxe +

Z

Ω

∇eµ· ∇ν dxe − Z

Ω

e µψ dxe +

Z

Ω

∇ϕe· ∇ψ dxe

= Z

Ω

(f −m(f))ν dx,e ∀(ψ,e νe)∈H_m¹(Ω)×H_m¹(Ω). (5) (a) En utilisant un r´esultat du cours, d´emontrer que le probl`eme (5) admet une unique solution.

(b) Soit(ϕ,e µ)e ∈H_m¹(Ω)×H_m¹(Ω)la solution de (5) obtenue `a la question pr´ec´edente.

i. Pour tout(ψ, ν)∈H¹(Ω), v´erifier que si on poseψe=ψ−m(ψ)etνe=ν−m(ν), alors on a(ψ,e ν)e ∈H_m¹(Ω)×H_m¹(Ω).

ii. En d´eduire que si on poseϕ=ϕe+m(f)etµ= eµ, alors le couple(ϕ, µ)est bien solution du probl`eme initial (4).

6. D´emontrer que la solution(ϕ, µ)obtenue ci-dessus v´erifie

kϕk_H1 +kµk_H1 ≤Ckfk_L2,

o`uC >0d´epend seulement deΩ.

7. D´emontrer enfin, en se servant de certains r´esultats vus en cours, que le probl`eme ´etudi´e satisfait une propri´et´e de r´egularit´e elliptique, c’est-`a-dire que pour toutf ∈L²(Ω)on aϕ∈H²(Ω),µ∈H²(Ω)et

kϕk_H2 +kµk_H2 ≤Ckfe k_L2,

o`uC >e 0d´epend seulement deΩ.

Partie III- Conditions aux limites Dirichlet-Neumann :

On s’int´eresse dans cette partie aux mˆemes ´equations (1) mais cette fois assorties des conditions aux limites

suivantes 





ϕ= 0, sur∂Ω,

∂µ

∂n = 0, sur∂Ω. (6)

On propose la formulation variationnelle suivante de ce nouveau probl`eme (1)-(6) : Trouver(ϕ, µ)∈H0¹(Ω)×

H¹(Ω)tel que Z

Ω

ϕν dx+ Z

Ω

∇µ· ∇ν dx− Z

Ω

µψ dx+ Z

Ω

∇ϕ· ∇ψ dx

= Z

Ω

f ν dx, ∀(ψ, ν)∈H0¹(Ω)×H¹(Ω). (7) 1. Comme dans la partie pr´ec´edente, on peut v´erifier (on ne demande pas de le refaire !) que toute solution de (7) v´erifie les ´equations (1) au sens des distributions et les conditions aux limites (6) en un sens convenable.

Montrer que l’on a encore la propri´et´e m(ϕ) = m(f). Pourquoi ne peut-on plus montrer quem(µ) = 0?

2. Montrer que si(ϕ, µ) ∈ H₀¹(Ω)×H¹(Ω)est solution de (7) pour la donn´ee f = 0, alors on a ∇ϕ =

∇µ= 0. En d´eduire d’abord queϕ= 0, puis ensuite queµ= 0.

Conclure que, pourf ∈L²(Ω)quelconque, le probl`eme (7) admet au plus une solution.

3. On va maintenant montrer qu’une telle solution existe effectivement pour toute donn´ee f ∈ L²(Ω).

Pour cela, on fixe une fois pour toute dans la suite une fonctionθ∈ C^∞_c (Ω)telle quem(θ) = 1et on introduit les espaces suivants

H0¹,m(Ω) ={ϕ∈H0¹(Ω), m(ϕ) = 0}, et H_m,θ¹ (Ω) ={µ∈H¹(Ω), m(µθ) = 0}.

On consid`ere alors le nouveau probl`eme variationnel suivant : Trouver(ϕ,e µ)e ∈ H0¹,m(Ω)×H_m,θ¹ (Ω) tel que

Z

Ωϕeeν dx+ Z

Ω

∇µe· ∇ν dxe − Z

Ωµeψ dxe + Z

Ω

∇ϕe· ∇ψ dxe

= Z

Ω

(f −m(f)θ)eν dx− Z

Ω

m(f)∇θ· ∇ψ dx,e ∀(ψ,e ν)e ∈H0¹,m(Ω)×H_m,θ¹ (Ω). (8) (a) D´emontrer que H₀¹_,m(Ω)et H_m,θ¹ (Ω)sont des espaces de Hilbert et que, sur ces deux espaces,

l’applicationu7→ k∇uk_L2 est une norme ´equivalente `a la normeH¹.

(b) D´emontrer que le probl`eme (8) admet une unique solution(ϕ,e eµ).

(c) Pour tout(ψ, ν)∈H₀¹(Ω)×H¹(Ω), v´erifier que si on poseψe=ψ−m(ψ)θeteν =ν−m(νθ), alors on a(ψ,e eν)∈H₀¹_,m(Ω)×H_m,θ¹ (θ).

(d) D´emontrer enfin que si on poseϕ=ϕe+m(f)θpuisµ=µe+m(∇ϕ· ∇θ), alors on a bien que (ϕ, µ) ∈H₀¹(Ω)×H¹(Ω)et que(ϕ, µ)est solution du probl`eme variationnel (7).

Partie IV- Approximation par El´ements FinisP¹de la solution du probl`eme (7) :

On suppose dans cette partie que Ωest polygonal, qu’on dispose d’un maillage T de Ω, g´eom´etriquement conforme et constitu´e de simplexesK. On note(a_i)1≤i≤N les sommets de ce maillage. On noteMle nombre de sommets du maillage situ´es sur le bord et on suppose que la num´erotation choisie est telle que ces sommets situ´es sur le bord sont exactement les sommetsai pour1≤i≤M. On rappelle ´egalement que la constante de r´egularit´eσ_T ≥1du maillage est d´efinie par

σ_T = sup

K∈T

h_K ρ_K,

o`uh<sub>K</sub> etρ<sub>K</sub> sont respectivement le diam`etre et la rondeur d’un ´el´ementK ∈ T. Enfin,h = maxK∈T h_K d´esigne la taille du maillage.

On note maintenantV_hle sous-espace deH¹(Ω)constitu´e des fonctions dont la restriction sur chaque ´el´ement K du maillage T est P¹. On d´efinit ´egalement V_h,0 = V_h ∩H₀¹(Ω). On note enfin I_h¹ : H²(Ω) 7→ V_h l’op´erateur d’interpolation de Lagrange d´efini et ´etudi ´e en cours.

On souhaite approcher num´eriquement la solution (ϕ, µ) du probl`eme (7). Pour cela, on met en place une m´ethode de Galerkin bas´ee sur les espaces V_h et V_h,0 d´ecrits ci-dessus. Plus pr´ecis´ement on va chercher (ϕh, µ_h)∈V_h,0∩V_h tel que

Z

Ω

ϕ_hν_hdx+ Z

Ω

∇µh· ∇νhdx− Z

Ω

µ_hψ_hdx+ Z

Ω

∇ϕh· ∇ψhdx

= Z

Ω

f ν_hdx, ∀(ψh, ν_h)∈V_h,0×V_h. (9) On admet que ce probl`eme (9) admet une unique solution (cela peut se d´emontrer par la mˆeme m´ehode que dans la partie pr´ec´edente).

1. Quelle est la dimension deV_h? D´ecrire rapidement la base deV_hconstitu´ee des fonctions de formeP¹ associ´ees au maillage consid´er´e.

2. D´ecrire l’espaceV_h,0: on en pr´ecisera notamment la dimension et une base.

3. D´emontrer que l’on a Z

Ω

(ϕ−ϕ_h)ν_hdx+ Z

Ω

∇(µ−µ_h)· ∇ν_hdx− Z

Ω

(µ−µ_h)ψ_hdx+ Z

Ω

∇(ϕ−ϕ_h)· ∇ψ_hdx

= 0, ∀(ψ_h, ν_h)∈V_h,0×V_h. (10) 4. V´erifier queV_hcontient les fonctions constantes. D´eduire de (10) que l’on am(ϕ−ϕh) = 0. En d´eduire

qu’il existe une constanteC1>0d´ependant seulement deΩtelle que

kϕ−ϕ_hk_L2 ≤C1k∇(ϕ−ϕ_h)k_L2, (11)

5. Soitθ∈ C_c^∞(Ω)telle quem(θ) = 1.

(a) Justifier queI_h¹θ∈V0,het qu’il existe une constanteC2 >0qui d´epend seulement deΩtelle que kθ− I_h¹θk_L2 ≤C2h²kθk_H2, k∇I_h¹θk_L2 ≤C2(1 +σ_Th)kθk_H2.

(b) En choisissant convenablement les fonctions tests dans (10), montrer que

m

(µ−µ_h)θ

≤C2(1 +σ_Th)k∇(ϕ−ϕ_h)k_L2kθk_H2+C2h²kµ−µ_hk_L2kθk_H2.

(c) Montrer finalement qu’il existeC3 > 0et h^∗ > 0 ne d´ependant que deΩet de θtels que : si h≤h^∗, alors on a

kµ−µ_hk_L2 ≤C2σ_T(k∇(ϕ−ϕ_h)k_L2+k∇(µ−µ_h)k_L2). (12) 6. En choisissant convenablement les fonctions tests dans (10), montrer que

k∇(µ−µ_h)k²_L2 +k∇(ϕ−ϕ_h)k²_L2

≤ k∇(µ− I_h¹µ)k²_L2+k∇(ϕ− I_h¹ϕ)k²_L2+ 2kϕ−ϕ_hk_L2kµ− I_h¹µk_L2+ 2kµ−µ_hk_L2kI_h¹ϕ−ϕk_L2.

7. D´emontrer maintenant qu’il existeC4 >0ne d´ependant que deΩet deθtelle que, sih≤h^∗, on a k∇(µ−µ_h)k²_L2 +k∇(ϕ−ϕ_h)k²_L2 ≤C4 kµ− I_h¹µk²_H1 +σ²_Tkϕ− I_h¹ϕk²_H1

.

8. Montrer que si on suppose que(ϕ, µ)∈H²(Ω)×H²(Ω), alors il existe une constanteC5ne d´ependant que deΩet deθtelle que, sih≤h^∗, on a

kϕ−ϕ_hk_H1 +kµ−µ_hk_H1 ≤C5σ²_Th(kϕk_H2 +kµk_H2).

9. Expliquer comment le probl`eme (9) se met sous la forme d’un syst`eme lin´eaire carr´e AU = F `a r´esoudre. On pr´ecisera notamment :

• la taille de ce syst`eme,

• la nature des inconnues Uet leur lien avec les fonctions inconnuesϕ_h etµ_h,

• la structure particuli`ere de la matrice Aet les expressions de ses diff´erents coefficients,

• les coefficients du second membreF.