6.7 1) lim
k→+∞
uk+1
uk = lim
k→+∞
(k+ 1)!
10k+1 k! 10k
= lim
k→+∞
(k+ 1)!
k! · 10k
10k+1 = lim
k→+∞
k+ 1 10
= lim
k→+∞
k
10 = +∞>1
La série diverge, au vu du critère de d’Alembert.
2) lim
k→+∞
uk+1 uk
= lim
k→+∞
k+ 3 2k+1 k+ 2
2k
= lim
k→+∞
k+ 3 k+ 2 · 2k
2k+1 = lim
k→+∞
k+ 3 k+ 2 · 1
2
= lim
k→+∞
k k · 1
2 = lim
k→+∞1· 1 2 = 1
2 <1
Le critère de d’Alembert certifie que la série converge.
3) lim
k→+∞
uk+1
uk = lim
k→+∞
3k+1 (k+ 1)·2k+1
3k k·2k
= lim
k→+∞
3k+1 3k ·
k
k+ 1 · 2k 2k+1
= lim
k→+∞
3· k k · 1
2 = 3 2 >1
Le critère de d’Alembert conclut à la divergence de la série.
4) lim
k→+∞
uk+1
uk = lim
k→+∞
(k+ 1)!
3·5·7·. . .·(2k+ 1)·(2k+ 3) k!
3·5·7·. . .·(2k+ 1)
= lim
k→+∞
(k+ 1)!
k! · 3·5·7·. . .·(2k+ 1) 3·5·7·. . .·(2k+ 1)·(2k+ 3)
= lim
k→+∞
(k+ 1)· 1
2k+ 3 = lim
k→+∞
k+ 1
2k+ 3 = lim
k→+∞
k 2k = 1
2 <1 Grâce au critère de d’Alembert, on obtient la convergence de la série.
5) lim
k→+∞
uk+1
uk = lim
k→+∞
2k+ 1 (√
2)k+1 2k−1
(√ 2)k
= lim
k→+∞
2k+ 1 2k−1 · (√
2)k (√
2)k+1
= lim
k→+∞
2k 2k · 1
√2 = lim
k→+∞
√1
2 = 1
√2
<1
La convergence de la série est assurée par le critère de d’Alembert.
6) lim
k→+∞
uk+1
uk = lim
k→+∞
2·5·8·. . .·(3k−1)·(3k+ 2) 1·5·9·. . .·(4k−3)·(4k+ 1)
2·5·8·. . .·(3k−1) 1·5·9·. . .·(4k−3)
Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.7
= lim
k→+∞
2·5·8·. . .·(3k−1)·(3k+ 2)
2·5·8·. . .·(3k−1) · 1·5·9·. . .·(4k−3) 1·5·9·. . .·(4k−3)·(4k+ 1)
= lim
k→+∞
(3k+ 2)· 1
4k+ 1 = lim
k→+∞
3k+ 2
4k+ 1 = lim
k→+∞
3k 4k = 3
4 <1 La convergence de la série résulte du critère de d’Alembert.
Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.7
