Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 6 Th` eme : D´ eveloppements limit´ es
L’exercice propos´e au candidat
Soit f la fonction num´erique d´efinie sur l’intervalle ] − 2; 2[ par :
f (x) = 1
2xln 2 + x 2 − x
pour x 6= 0, et f (0) = 1.
On note (C) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e (O; I, J ) du plan, d’unit´e 4 cm.
1. Exprimer f (−x) en fonction de f (x). Que peut–on en d´eduire pour (C) ? 2. D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 au voisinage de 0 de la fonction g d´efinie sur ] − 2; 2[ par : g(x) = ln(2 + x)– ln(2–x). En d´eduire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 de f en 0.
3. (a) Montrer que f est d´erivable en 0.
(b) Montrer que la courbe repr´esentative (C) de f est tangente `a la parabole (P ) d’´equation y = 12 +241x2 au point A de coordonn´ees (0; 1).
(c) Pr´eciser les positions relatives de (C) et de (P ) au voisinage de A.
4. Soit h la fonction num´erique d´efinie sur [0; 2[ par : h(x) = 4−x4x2– ln
2+x 2−x
. Etudier les variations de h sur [0; 2[, puis en d´´ eduire le signe de h sur [0; 2[.
5. Calculer la d´eriv´ee de f sur [0; 2[, et l’exprimer `a l’aide de h(x). En d´eduire le tableau de variation de f .
6. Tracer (C) et (P ) dans le plan.
El´´ ements de r´eponse d’un ´el`eve `a la question 2.
Avec le cours : ln(2 + x) = ln(1 + (1 + x)) = ln(1 + u), avec u = 1 + x.
Donc : ln(2 + x) = u–u22 +u33–u44 +u55
= 1 + x–12(1 + x)2+13(1 + x)3−14(1 + x)4+15(1 + x)5. On fait pareil : ln(2–x) = 1 − x–12(1 − x)2+13(1 − x)3−14(1 − x)4+15(1 − x)5. Donc : g(x) = 2x–12(1 + x)2+12(1 − x)2+13(1 + x)3–13(1 − x)3 –14(1 + x)4+
1
4(1 − x)4+15(1 + x)5−15(1 − x)5.
et g(x) = 2x–2x+2x+23x3–8x–8x3+2x+4x3+25x5= −4x–263x3+25x5+x5(x).
On divise par 2x : f (x) = −2–133x2+15x4+ x4(x).
Le travail `a exposer devant le jury
1. Quelles sont les connaissances et les comp´etences mises en œuvre dans cet exercice ?
2. Repr´esenter (C) et (P ) `a l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3. Analyser la r´eponse de l’´el`eve `a la question 2.
4. Proposer une correction de la question 3 telle que vous l’exposeriez devant une classe de STS.
5. Proposer deux autres exercices se rapportant au th`eme D´eveloppements limit´es .
